资源简介

24.2　第2课时　垂径分弦
素养目标
1.通过折叠、作图的方法,探索圆的轴对称性.
2.知道垂径定理及其推论,并了解相关的证明过程.
3.能用垂径定理及其推论,解决相关的几何问题.
◎重点:垂径定理及其推论的应用.
【预习导学】
知识点一：圆的对称性
阅读课本本课时“探究”部分的内容,回答下列问题.
“直径是圆的对称轴,圆心是对称中心”,你认为这句话对吗
知识点二：垂径定理及其推论
阅读课本本课时相关内容,回答下列问题.
1.在对折☉O后,用针在半圆上刺一小孔,得两个重合的点A,B,如图.把对折的圆摊平,那么折痕CD就是直径,A,B就是关于直线CD的一对对称点.连接AB,得弦AB,用量角器度量∠AEC和∠BEC,可知∠AEC=　 　,∠BEC=　 　,所以　 　.
2.用刻度尺量AE,EB的长或用圆规进行比较,可以得到AE　 　EB(填“=”“>”或“<”).
3.与、与各有怎样的关系
　　归纳总结　(1)垂直于弦的直径　 　,并且　 　.(2)如图,垂径定理用几何语言可表示为∵CD为直径,CD⊥AB(OD⊥AB),∴ EA=　 　,= 　,= 　.OE的长度称为　 　.
推论:平分弦(　 　)的直径垂直于弦,并且　 　.定理用几何语言可表示为∵CD为直径,AE=BE,∴　 　⊥　 　,= 　,= 　.
1.圆是轴对称图形,它的对称轴有 ( )
A.一条 B.两条
C.三条 D.无数条
2.如图,☉O的弦AB⊥OC,且OD=2DC,AB=2,则☉O的半径为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.9
3.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5 cm,CD=6 cm,则AE=　 　cm.
【合作探究】
任务驱动一
定理辨析
1.填空:如图,在☉O中,
(1)若MN⊥AB,垂足为C,MN为直径,则　 　,　 　,　 　;
(2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则　 　,　 　,　 　;
(3)若MN⊥AB,AC=BC,则　 　,　 　,　 　;
(4)若弧AM=弧BM,MN为直径,则　 　,　 　,　 　.
方法归纳交流　对于直线MN,(1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的劣弧;(5)平分弦所对的优弧,只要符合以上五个条件中的两个,就能得到其他三个结论.
任务驱动二
垂径定理的实际应用
2.某居民区一处圆形下水管道破裂,修理人员准备更换一段新管道.如图,污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道
1.一块圆形宣传标志牌如图所示,点A,B,C在☉O上,CD垂直平分AB于点D.现测得AB=8 dm,DC=2 dm,则圆形标志牌的半径为 ( )
A.6 dm B.5 dm C.4 dm D.3 dm
2.在☉O中,直径AB=15,弦DE⊥AB于点C.若OC∶OB=3∶5,则DE的长为 ( )
A.6 B.9 C.12 D.15
3.已知☉O的直径AB=10,CD是☉O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且CD=6,则AP的长为　 　.
参考答案
【预习导学】
知识点一
不对,因为对称轴应该是直线,所以圆的对称轴是直径所在的直线,圆心是对称中心是对的,因为圆是中心对称图形.
知识点二
1.90°　90°　AB⊥CD
2.=
3.=,=.
归纳总结　(1)平分弦　平分弦所对的两条弧
(2)EB　　　弦心距
不是直径　平分弦所对的两条弧　CD　AB　　
对点自测
1.D　2.C
3.9
【合作探究】
任务驱动一
1.(1)AC=CB　弧AN=弧BN　弧AM=弧BM
(2)MN⊥AB　弧AN=弧BN　弧AM=弧BM
(3)弧AN=弧BN　弧AM=弧BM　MN为直径
(4)AC=BC　MN⊥AB　弧AN=弧BN
任务驱动二
2.解:如图,连接OA,过点O作OE⊥AB,垂足为E,交圆于点F,则AE=30 cm.令☉O的半径为R,则OE=R-10.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10)2,解得R=50 cm,内径=2R=2×50=100 (cm),∴修理人员应准备内径为100 cm的管道.
素养小测
1.B　2.C
3.9或1

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