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24.2　第3课时　圆心角、弧、弦、弦心距间关系
素养目标
1.知道圆是旋转对称图形,旋转中心为圆心,知道圆心角的概念.
2.知道圆心角、弧、弦、弦心距之间的对应关系定理及其推论.
3.能运用圆心角、弧、弦、弦心距四者对应相等的关系解决相关问题.
◎重点:圆心角、弧、弦、弦心距四者对应关系定理及推论.
【预习导学】
知识点一：圆的旋转对称性
阅读课本本课时“探究”,回答下列问题.
1.概念:圆既是一个轴对称图形,又是一个　 　对称图形,　 　是旋转中心.
2.如图,所对应的∠AOB,顶点在　 　上,称为　 　角.
知识点二：弦、弧、圆心角、弦心距四者关系定理
阅读课本本课时“例4”之前的内容,回答下列问题.
观察:在如图所示的☉O中取一段弧,连接OA,OB,将绕点O旋转至任意一个位置.
　　说一说:你能发现哪些等量关系 能说说你猜测的结论吗
归纳总结　运用“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”时要注意:(1)不能忽略“　 　”这个前提条件,否则,虽然圆心角相等,但所对的　 　不一定相等;(2)此定理中的“弧”一般指　 　.
1.下列说法正确的是 ( )
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.在同圆中,相等的弦所对的弧相等
D.相等的弦所对的弧相等
2.在半径为1的☉O中,若弦AB的长为1,则弦AB所对的圆心角的度数为 ( )
A.90° B.60° C.30° D.15°
3.如图,AB为半圆O的直径,C,D为的三等分点.若∠COD=50°,则∠BOE的度数是 ( )
A.25° B.30° C.50° D.60°
【合作探究】
任务驱动一
圆心角的度数和弧的度数
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以点C为圆心,CA的长为半径的圆交AB于点D,求弧AD的度数.
任务驱动二
弦、弧、圆心角、弦心距四者关系定理的应用
2.如图,在☉O中,C,D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,点M,N在☉O上.
(1)求证:=.
(2)若C,D分别为OA,OB的中点,则==成立吗 为什么
1.如图,在☉O中,若C是的中点,∠AOC=45°,则∠AOB的度数为 ( )
A.45° B.80° C.85° D.90°
2.如图,AB是☉O的直径,CD为☉O的弦,若AB⊥CD于点E,下列结论:①CE=DE,②=,③=,④AC=AD.其中正确的有　 　(填序号).
3.如图,AB为☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F.且=.
(1)求证:AE=BF.
(2)作半径ON⊥AB于点M,若AB=12,MN=3,求OM的长.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.旋转　圆心
2.圆心　圆心
知识点二
△AOB≌△A'OB',∠AOB=∠A'OB',=,AB=A'B'.
因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
归纳总结　(1)在同圆或等圆中　弧、弦、弦心距
(2)劣弧
对点自测
1.B　2.B　3.B
【合作探究】
任务驱动一
1.解:如图,连接CD.
∵∠ACB=90°,∠B=25°,
∴∠A=65°.
∵CD=CA,
∴∠CDA=65°,
∴∠DCA=180°-65°×2=50°,
∴弧AD的度数为50°.
任务驱动二
2.解:(1)如图,连接OM,ON,
在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON,OA=OB,
∵AC=DB,∴OC=OD,
∴Rt△OCM≌Rt△ODN,
∴∠AOM=∠BON,∴=.
(2)成立.
∵OC=OM,可知∠AOM=60°,
同理可证∠BON=60°,故∠MON=60°,
∴==.
素养小测
1.D
2.①②③④
3.解:(1)证明:如图1,连接OA,OB.
∵OA=OB,
∴∠A=∠B.
∵=,
∴∠AOE=∠BOF.
在△AOE和△OBF中,
∴△AOE≌△BOF(ASA),
∴AE=BF.
(2)连接OA,如图2所示.
∵OM⊥AB,
∴AM=AB=6,
设OM=x,则OA=ON=x+3,
在Rt△AOM中,由勾股定理得62+x2=(x+3)2,
解得x=4.5,
∴OM=4.5.

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