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24.3　第1课时　圆周角定理
素养目标
1.知道圆周角、圆心角的相关概念.
2.知道圆周角定理及其两条推论,了解圆周角定理的证明过程.
◎重点:圆周角定理.
【预习导学】
知识点一：圆周角的定义
阅读课本本课时“探究”之前的内容,回答下列问题.
概念:顶点在　 　,并且两边都与圆　 　的角叫圆周角.
知识点二：圆周角定理及其推论
阅读课本本课时“探究”的相关内容,回答下列问题.
1.一条弧所对的圆心角有几个 圆周角有几个
2.讨论:请学生动手画出☉O中劣弧所对的圆心角和圆周角.观察所对的圆周角的个数以及它们的大小关系.
3.观察“图24-35”,一条弧所对的圆心角与圆周角有几种位置关系 每一种位置关系中,圆心角的大小与圆周角的大小有什么关系
归纳总结　圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对　 　的　 　.
4.想一想:(1)在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角都等于它所对圆心角的一半,说明这些圆周角都　 　,反之,相等的圆周角所对的弧
也　 　.
(2)如图,半圆所对的圆心角∠AOB是　 　,由圆周角定理可知,半圆所对的圆周角∠ACB是　 　.反之,　 　所对的弧为半圆,弦即为　 　.
1.下列图形中的角是圆周角的是 ( )
A.　　　　 B.　　　　C. 　　　　D.　
　　2.如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.若∠C=35°,则∠ABD的度数为 ( )
A.55° B.45° C.35° D.65°
3.如图,在边长为1的正方形方格中,以AB为直径的圆过C,D两点,则tan∠BCD的值为　 　.
【合作探究】
任务驱动一
求圆周角的度数
1.已知弦AB把圆周分成1∶3的两部分,弦AB所对的圆周角的度数是　 　.
任务驱动二
关于圆周角定理及其推论
2.如图,点A,B,D,E在☉O上,弦AE,BD的延长线相交于点C.若AB是☉O的直径,D是BC的中点.
(1)试判断AB,AC之间的大小关系,并给出证明.
(2)在上述题设条件下,△ABC还需满足什么条件,E才一定是AC的中点 (直接写出结论)
方法归纳交流　“直径所对的圆周角是直角”是圆的又一个基本性质,遇到直径常设法构造直角三角形,再应用直角解决问题.
任务驱动三
利用圆周角定理推论及解直角三角形求角度
3.在半径为1的☉O中,弦AB,AC的长分别为和,求∠BAC的度数.
1.如图,AB是☉O的直径,若∠BDC=40°,则∠BOC的度数为 ( )
A.40°
B.80°
C.14°
D.无法确定
2.如图,☉O的弦AB与CD交于点E,点F在AB上且FD∥BC.若∠AFD=125°,则∠ADC=　 　°.
3.如图,以△ABC的一边为直径的半圆与其他两边AC,BC分别交于点D,E,连接AE,BD,且=.
(1)求证:AC=AB.
(2)若BC=8,BA=6,求CD的长.
参考答案
【预习导学】
知识点一
圆上　还有另一个公共点
知识点二
1.圆心角只有一个,圆周角有无数个.
2.
3.3种位置关系.圆周角都等于圆心角的一半.
归纳总结　圆心角　一半
4.(1)相等　相等
(2)180°　90°　90°　直径
对点自测
1.A　2.A
3.
【合作探究】
任务驱动一
1.45°或135°
任务驱动二
2.解:(1)AB=AC.
证法一:如图,连接AD,
则AD⊥BC.
∵AD公共边,BD=DC,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD,
∴AB=AC.
证法二:如图,连接AD,则AD⊥BC.又BD=DC,
∴AD是线段BD的垂直平分线,∴AB=AC.
(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠A=∠B或∠A=∠C.
任务驱动三
3.
解:如图,当圆心在∠BAC内部时,连接AO并延长交☉O于点E.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE=1=AE,
所以∠BAE=30°.
同理,在Rt△CAE中,EC=AC,
所以∠EAC=45°,∠BAC=30°+45°=75°.
如图,当圆心O在∠BAC的外部时(∠BAC'),由轴对称性可知∠BAC'=45°-30°=15°.
所以∠BAC为75°或15°.
素养小测
1.B
2.55
3.解:(1)证明:∵=,
∴∠CAE=∠BAE.
∵AB为直径,
∴∠AEB=90°.
∵∠ABE+∠BAE=90°,∠C+∠CAE=90°,
∴∠ABC=∠C,
∴AC=AB.
(2)∵∠CAE=∠CBD,∠ACE=∠BCD,
∴△CAE∽△CBD,
∴=,即=,
∴CD=.

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