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24.4　第2课时　切线的判定
素养目标
1.能过圆上一点,准确作出圆在该点处的切线l.
2.通过作圆的切线与切线的性质,探究切线的判定定理.
3.能证明直线与圆相切,解决与切线相关的问题.
◎重点:切线的判定定理.
【预习导学】
知识点：切线的判定定理
阅读课本本课时的相关内容,回答下列问题.
1.阅读“思考”中的内容,并讨论:过圆内一点,作圆的切线,可作　 　条;过圆上一点,作圆的切线,可作　 　条;过圆外一点,作圆的切线,可作　 　条.
2.在“例2”中,过圆上一点P做圆的切线l,只需要让切线l与　 　垂直即可,理由是什么
归纳总结　(1)如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个:①垂直于切线;②过切点;③过圆心.即过圆心和切点的半径会　 　切线.
(2)与过切点、过圆心的半径垂直的直线不一定就是切线,该直线还需要经过　 　.
3.(1)切线判定定理中的两个条件:①经过半径外端;②垂直于这条半径.缺少一个条件行不行 举例说明.
　　(2)你能归纳出切线的判定方法吗
1.下列四个命题:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④经过直径的端点,垂直于这条直径的直线是圆的切线.其中正确的是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2.如图,∠ABC=70°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB的长为半径作☉O,要使射线BA与☉O相切,应将射线绕点B按顺时针方向旋转 ( )
A.35°或70° B.40°或100°
C.40°或90° D.50°或110°
　　3.如图,∠APB=30°,点O在射线PA上,☉O的半径为2,当☉O与PB相切时,OP的长度为　 　.
【合作探究】
任务驱动一
切线的相关证明
1.如图,PA是☉O的切线,切点是A,过点A作AH⊥OP于点H,AH交☉O于点B.求证:PB是☉O的切线.
2.如图,已知同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E.求证:CD是小圆的切线.
任务驱动二
圆的切线在生活中的应用
3.某广场有一个圆形的喷水池,如图,这是它的示意图.图中的圆环部分是喷水池的围墙.为了测量圆环的面积,小亮与小莹取来了根卷尺,拉直后使它与内圆相切,与外圆交于A,B两点,量得AB的长为12 m,你能由此求出圆环的面积吗 (精确到0.1 m2)
任务驱动三
切线的综合运用
4.如图,AB为☉O的直径,C是☉O上一点,D在AB的延长线上,且∠DCB=∠A.
(1)CD与☉O相切吗 如果相切,请你加以证明;如果不相切,请说明理由.
(2)若CD与☉O相切,且∠D=30°,BD=10,求☉O的半径.
方法归纳交流　运用切线的性质解题时,通常都需要连接半径,构造垂直,利用直角三角形的性质来解题.
1.如图,点B在☉A上,点C在☉A外,以下条件不能判定BC是☉A切线的是 ( )
A.∠A=50°,∠C=40°
B.∠B-∠C=∠A
C.AB2+BC2=AC2
D.☉A与AC的交点是AC中点
　　2.如图,在平面直角坐标系xOy中,☉P的半径为2,点P的坐标为(-3,0),若将☉P沿x轴向右平移,使得☉P与y轴相切,则☉P向右平移的距离为　 　.
　　3.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
(1)求证:△ABD≌△ACD.
(2)判断直线DE与☉O的位置关系,并说明理由.
参考答案
【预习导学】
问题导入
(1)略.
(2)略.
知识点
1.零　一　两
2.OP
答案不唯一,回答有理即可,如:此时,OP为O点到切线l的垂线段,即OP最短.
归纳总结　(1)垂直于
(2)半径的外端
3.(1)不行.如:
(2)三种:①直线与圆有唯一公共点;②圆心到直线的距离等于圆的半径;③经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
对点自测
1.C　2.B
3.4
【合作探究】
任务驱动一
1.证明:如图,连接OA、OB.
∵PA是☉O的切线,
∴∠OAP=90°.
∵OA=OB,AB⊥OP,
∴∠AOP=∠BOP.
又∵OA=OB,OP=OP,
∴△AOP≌△BOP,∴∠OBP=∠OAP=90°,
∴PB是☉O的切线.
2.证明:如图,连接OE,作OF⊥CD于点F.
∵AB切小圆于点E,∴OE⊥AB.
∵OF⊥CD,AB=CD,∴OE=OF,
∴CD是小圆O的切线.
任务驱动二
3.解:如图,设喷水池平面图的圆心为点O,连接OC,OA.
∵AB与内圆切于点C,
∴OC⊥AB.
∵AB是外圆的弦,AB=12,
∴AC=BC=6.
在Rt△ACO中,
∵AC2+OC2=OA2,
∴OA2-OC2=AC2.
于是π×OA2-π·OC2=π(OA2-OC2)=π·AC2=3.14×62≈113.0(m2),
∴圆环的面积约为113.0 m2.
任务驱动三
4.解:(1)CD与☉O相切.
证明:∵C点在☉O上(已知),AB是直径,
∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°.
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A,
∴∠OCA=∠DCB,
∴∠OCD=90°,
∴CD是☉O的切线.
(2)在Rt△OCD中,∠D=30°,
∴∠COD=60°,
∴∠A=30°,
∴∠BCD=30°,
∴BC=BD=10,
∴AB=20,∴r=10.
素养小测
1.D
2.1或5
3.解:(1)证明:∵AB为☉O的直径,
∴AD⊥BC.
在Rt△ADB和Rt△ADC中,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
(2)直线DE与☉O相切,理由如下:
连接OD,如图所示,
由△ABD≌△ACD知,BD=DC,
又∵OA=OB,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD为☉O的半径,
∴DE与☉O相切.

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