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24.4　第3课时　切线长定理
素养目标
1.能过圆外一点,准确作出该圆的两条切线.
2.通过作圆的切线与切线的性质,探究切线长定理.
3.了解切线长定理的证明过程,能用切线长定理解决相关问题.
◎重点:切线长定理.
【预习导学】
知识点：切线长定理
　　阅读本课时所有内容,回答下列问题.
1.思考:在“ 例4”中,以OP为直径作圆,得到的线PA,PB为什么是☉O的切线
观察并推理:△PAO≌　 　,线段PA=　 　.
2.揭示概念:从圆外一点能够作圆的　 　条切线,且这一点到　 　间的线段长叫作这点到圆的　 　.
归纳总结　切线长定理:从圆外一点可以引圆的　 　切线,它们的切线长　 　,这一点和圆心的连线平分　 　.
3.明晰概念:切线长与切线是两个不同的概念,切线是　 　,不能度量;切线长是　 　,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.
1.如图,PA,PB分别是☉O的切线,A,B分别为切点,E是☉O上一点,且∠AEB=60°,则∠P的度数为 ( )
A.120° B.60° C.30° D.45°
2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径.若∠BAC=25°,则∠P=　 　°.
3.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=8,AC=5,那么BD的长为　 　.
【合作探究】
任务驱动一
切线长定理的运用
1.如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A和B是切点,AC∥OP.求证:BC是☉O的直径.
方法归纳交流　过圆外一点有两条切线,通常需要作连接两切点的辅助线,或者连接圆心与切点,运用相切的性质.
任务驱动二
实际问题中的切线长
2.如图,直尺、三角尺都和☉O相切,AB=8 cm,求☉O的半径.
任务驱动三
运用切线长定理求周长
3.如图,已知△ABC的三边BC,AC,AB分别与☉O相切于点D,E,F,若AF=2,BD=7,CE=4.
(1)求△ABC的三边长.
(2)如果P为弧上一点,过点P作☉O的切线,交AB于点M,交BC于点N,求△BMN的周长.
1.如图,PA,PB切☉O于点A,B,直线FG切☉O于点E,交PA于点F,交PB于点G.若PA=8 cm,则△PFG的周长是 ( )
A.8 cm B.12 cm
C.16 cm D.20 cm
2.如图,四边形ABCD是☉O的外切四边形,且AB=10,CD=15,则四边形ABCD的周长为　 　.
3.如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A和B是切点,PA=10,∠P=50°,F是优弧AB上一点.
(1)求∠AFB的度数.
(2)若CD是☉O的切线,切点为E,求△PCD的周长.
参考答案
【预习导学】
知识点
1.△PBO　PB
2.两　切点　切线长
归纳总结　两条　相等　两条切线的夹角
3.直线　线段长
对点自测
1.B
2.50
3.3
【合作探究】
任务驱动一
1.证明:如图,连接AB.
∵PA,PB分别切☉O于点A,B,
∴PA=PB,∠APO=∠BPO,
∴OP⊥AB.∵AC∥OP,
∴AC⊥AB,∴∠BAC=90°,
∴BC是☉O的直径.
任务驱动二
2.解:连接OA,OB(图略),∠CAB=180°-60°=120°.
∵AB,AC与圆O相切,
∴OA平分∠CAB,即∠OAB=∠CAB=60°,
BO⊥AB.
∵AB=8 cm,∠OBA=90°,
∴OA=16 cm,
∴根据勾股定理,得OB=8 cm.
任务驱动三
3.解:(1)∵☉O分别和边BC,AC,AB切于点D,E,F,
∴AE=AF=2,BF=BD=7,CD=CE=4,
∴AB=AF+BF=9,BC=BD+CD=11,AC=AE+CE=6.
(2)∵☉O分别和BC,AB,MN切于点D,F,P,
∴MP=MF,NP=ND,
∴MP+NP=MF+ND,
∴BM+MN+BN=BM+MP+NP+BN=BM+MF+ND+BN=BF+BD=14.
故△BMN的周长为14.
素养小测
1.C
2.50
3.解:(1)如图,连接OA,OB,∵PA,PB为☉O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.∵∠P=50°,
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°,
∴∠AFB=65°.
(2)∵CD是☉O的切线,∴CA=CE,DB=DE,
∴AC+BD=CD,
△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+AC+BD=PA+PB=20.

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