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24.5　三角形的内切圆
素养目标
1.知道三角形的内切圆和内心的概念,比较三角形的内心与外心的特点.
2.知道三角形内心的性质,能根据性质画三角形的内切圆.
3.能借助三角形内切圆的相关性质解决几何问题.
◎重点:三角形内切圆的性质.
【预习导学】
知识点一：三角形的内切圆及其性质
阅读课本本课时所有的内容,思考下列问题.
1.在“图24-50”中,△ABC内部可以作出一个面积最大的圆,这个圆与△ABC三边的位置关系是　 　.
2.和三角形的三边都相切的圆,叫作三角形的　 　,内切圆的圆心叫作三角形的　 　.
3.思考:三角形内部的一点若要到三角形任意两边的距离相等,则这点必在这两边组成的角的　 　上,三角形的内心到三角形三边的距离相等,所以内心是三角形三条　 　的交点.
知识点二：三角形的内心和外心
定义 确定方法 图形 性质
外 心 三角形外接圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.AO=BO=CO; 2.外心O不一定在三角形的内部
三角形内切圆的圆心 三角形三条角平分线的交点 1.点O到三角形三边的距离相等; 2.AO,BO,CO分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA; 3.内心O一定在三角形的内部
学法指导：三角形的内切圆只有　 　个,外接圆也只有　 　个;而圆的外切三角形有　 　个,内接三角形也有　 　个.
1.在△ABC中,AO,BO分别平分∠BAC,∠ABC,则O是△ABC的 ( )
A.外心
B.内心
C.中线交点
D.高线交点
2.如图,☉O是△ABC的内切圆,且∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠BOC的度数为 ( )
A.125°
B.120°
C.115°
D.110°
3.如图,在△ABC中,∠BIC=125°,I是内心,O是外心,则∠BOC=　 　°.
【合作探究】
任务驱动一
内切圆半径、多边形周长和面积的关系
1.△ABC的内切圆半径为r,△ABC的周长为l,求△ABC的面积.
归纳总结　三角形的面积等于三角形的周长与其内切圆半径乘积的一半.
任务驱动二
直角三角形内切圆半径与边长
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,求△ABC的内切圆半径.
任务驱动三
三角形内切圆的综合应用
3.如图,△ABC内接于☉O,点P是△ABC的内切圆的圆心,AP交边BC于点D,交☉O于点E,经过点E作☉O的切线分别交AB,AC的延长线于点F,G.求证:BC∥FG.
方法归纳交流　三角形的内切圆与三角形的三边都相切,由此我们可以联想到切线的性质和切线长定理等知识.三角形的内心是三条内角平分线的交点,我们又可以联想到角平分线的相关性质.要关注前后知识之间的联系.
1.当一个三角形的内心与外心重合时,这个三角形一定是 ( )
A.直角三角形　　　　B.等腰直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
2.《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容圆径几何 ”译文:“如图,今有直角三角形,
勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径是多少步 ”根据题意,该直角三角形内切圆的直径为　 　步.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.相切
2.内切圆　内心
3.平分线　角平分线
知识点二
学法指导:1　1　无数　无数
对点自测
1.B　2.C
3.140
【合作探究】
任务驱动一
1.解:设内心为O,连接AO,BO,CO.
∵三角形的内切圆半径为r,
S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC,
∴S△ABC=AB·r+BC·r+AC·r
=r(AB+BC+AC)=lr.
任务驱动二
2.解:如图,设内切圆分别与AC,BC,AB相切于点D,E,F,连接OD,OE,
则OD⊥AC,OE⊥BC,
又∠C=90°,OD=OE,
∴四边形ODCE为正方形,
∴CE=CD=r,
∴AD=AF=b-r,BE=BF=a-r,∴b-r+a-r=c,
∴r=(a+b-c).
任务驱动三
3.证明:如图,连接OE.
∵AB,AC是☉P的切线,
∴AE平分∠BAC,
∴=,
∴OE⊥BC.
∵FG切☉O于点E,
∴OE⊥FG,∴BC∥FG.
素养小测
1.D
2.4

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