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24.6.1　正多边形与圆
素养目标
1.知道正多边形的概念,知道正多边形有唯一的内切圆与外接圆.
2.会用量角器与尺规等分圆周,作出正多边形.
◎重点:正多边形的内切圆与外接圆.
【预习导学】
知识点一：正多边形的相关概念
阅读课本本课时相关的内容,回答下列问题:
1.各边　 　,各角也　 　的多边形叫作　 　.
2.观察“图24-56”,正五边形ABCDE的外接圆圆心,到正五边形的各个顶点的距离　 　,这个距离就是外接圆的　 　.
3.观察“图24-56”,正五边形PQRST的内切圆圆心,到其各条边的距离　 　,这个距离就是内切圆的　 　.
归纳总结　证明一个多边形是正n边形的思路:弧相等 多边形是正多边形.
4.思考:各边相等的圆外切多边形是正多边形吗 各角相等的圆内接多边形是正多边形吗 如果不是,举出反例.
知识点二：正多边形的画法
阅读课本本课时相关的内容,思考下列问题.
1.通过上面的学习,我们知道可通过　 　的方法作出正多边形.
2.通过等分圆心角等分圆周:
(1)我们知道圆周的圆心角为360°,进行n等分,则每个圆心角为　 　.可以借助　 　将圆心角等分.
(2)用尺规作☉O两条互相垂直的直径可得正　 　,还可继续等分,得正八边形,正十六边形;截取圆的半径长将圆等分,可作正　 　,正　 　.
　　归纳总结　把一个圆的圆周分成n(n≥3,n为整数)等份:
(1)依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形;
(2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
1.如图,螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF,已知这个正六边形的半径是2,则它的周长是( )
A.6 B.12
C.12 D.24
2.如图,五边形ABCDE是☉O的内接正五边形,则∠COD的度数是　 　.
　　3.如图,正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于☉O,连接HD.若线段HD恰好是☉O的一个内接正n边形的一条边,则n=　 　.
【合作探究】
任务驱动一
正多边形的证明
1.如图,△ABC是☉O的内接等腰三角形,顶角∠BAC=36°,弦BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,求证:五边形AEBCD是正五边形.
方法归纳交流　要判定一个多边形是不是正多边形,应从多边形的边与角两方面来证明.
任务驱动二
正多边形与圆的相关计算和证明
2.如图1,2,3,…,m,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON.
(1)求图1中∠MON的度数.
(2)图2中∠MON的度数是　　　　,图3中∠MON的度数是　　　　.
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
方法归纳交流　正多边形的相关计算,一是要联系前面学过的圆的相关性质定理,二是可把很多的问题进行转化,如转化为等腰三角形、直角三角形等进行解决.
1.如图,ABCDEF是中心为原点O,顶点A,D在x轴上,半径为4的正六边形,则顶点F的坐标为 ( )
A.(2,2) B.(-2,2)
C.(-2,2) D.(-1,)
2.如图,A,B,C,D为某一正多边形的相邻四个顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=12°,则这个正多边形的边数为　 　.
3.如图,点O是正六边形ABCDEF的对称中心,G,H分别是AF,BC上的点,且AG=BH.
(1)求∠FAB的度数.
(2)求证:OG=OH.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.相等　相等　正多边形
2.相等　半径
3.相等　半径
归纳总结　弦　圆周角　各边　各角
4.都不是.如:圆外切菱形,圆内接矩形.
知识点二
1.等分圆周
2.(1)　量角器
(2)四边形　三角形　六边形
对点自测
1.C
2.72°
3.12
【合作探究】
任务驱动一
1.证明:∵△ABC是等腰三角形,∠BAC=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.
又∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°=∠BAC,∴====,∴BC=CD=AD=AE=BE.
又∵∠ACD=∠ABD=36°,∴∠BCD=108°,
同理可证∠EBC=∠AEB=∠DAE=∠ADC=108°,
故五边形AEBCD是正五边形.
任务驱动二
2.解:(1)如图,连接OB,OC.∵等边△ABC内接于☉O,
∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.
∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN,
∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90°;72°.
(3)∠MON=.
素养小测
1.C
2.十五
3.解:(1)∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠FAB==120°.
(2)证明:如图,连接OA、OB.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵∠FAB=∠CBA,
∴∠OAG=∠OBH.
在△AOG和△BOH中,
∴△AOG≌△BOH(SAS),
∴OG=OH.

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