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24.6.2　正多边形的性质
素养目标
1.知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等基本概念.
2.知道正多边形的相关性质,并能解决正多边形与圆的相关问题.
◎重点:利用正多边形的外接圆和内切圆探究正多边形的性质.
【预习导学】
知识点一：正多边形的性质
阅读课本本课时相关的内容,思考下列问题.
1.若要证明一个正五边形有一个外接圆,先过其中三个顶点,作一个圆,再证明这个正五边形的每一个　 　都在　 　上.
2.(1)找一个正n边形的外接圆圆心,只需要作任意两边的　 　线,或者作任意两个角的　 　,再以圆心到任意一个顶点的距离为半径画圆.
(2)思考:作一个正n边形的内切圆该如何作呢
3.如图,正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆分别是大☉O和小☉O.请指出正六边形ABCDEF的中心是　 　,半径是　 　,边心距是　 　,中心角是　 　.
归纳总结　(1)每个正多边形都只有　 　外接圆和一个　 　.(2)正n边形的每一个内角=　 　,每个中心角和外角都等于　 　,中心角和外角　 　.
知识点二：正多边形的计算
阅读课本本课时例题的内容,思考:
1.想一想:“例题”中,∠BOC=60°,△BOC是等边三角形的理由是什么
2.计算正n边形的周长和面积时,我们发现其周长是边长的　 　倍;当其面积没有直接的公式可求时,我们可以用转化的方法间接求出来,即把原正多边形分割成　 　个全等的　 　三角形来求解.
1.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.aC.a2.正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为,则这个正多边形为 ( )
A.正十二边形
B.正六边形
C.正方形
D.正三角形
3.如图,正六边形ABCDEF中,AB=1,连接AD,则AD的长为　 　.
【合作探究】
任务驱动一
正多边形的有关命题
1.下面给出五个命题:
(1)正多边形都有内切圆和外接圆,且这两个圆是同心圆;
(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形;
(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形;
(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形;
(5)正n边形的中心角an=,且与每一个外角相等.
其中真命题有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
任务驱动二
圆内接正多边形的综合
2.如图,△PQR是☉O的内接正三角形,四边形ABCD是☉O的内接正方形,BC∥QR,求∠AOQ的度数.
1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为上一点(点P与点D.点E不重合),连接PC,PD,DG⊥PC,垂足为G,则∠PDG的度数为 ( )
A.72° B.54° C.36° D.64°
2.如图,边长为a的正六边形内有两个斜边为a、锐角为60°的直角三角形,则=　 　.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.顶点　该圆
2.(1)垂直平分　角平分线
(2)找内切圆的圆心与外接圆圆心一样,再以圆心到任意一边的距离为半径作圆.
3.点O　OF　OM　∠EOF
归纳总结　(1)一个　内切圆　(2)　　相等
知识点二
1.正多边形的中心为正多边形外接圆和内切圆的公共圆心,∠BOC为正六边形的中心角,BO与OC是正六边形外接圆的半径.
2.n　n　等腰
对点自测
1.A　2.C
3.2
【合作探究】
任务驱动一
1.B
任务驱动二
2.解:如图,连接OD.
∵△PQR是☉O的内接正三角形,
∴∠PRQ=60°,
∴∠POQ=2∠PRQ=120°.
∵四边形ABCD是☉O的内接正方形,
∴△AOD为等腰直角三角形,
∴∠AOD=90°.
由BC∥RQ可知P为弧AD的中点,
∴∠AOP=45°,
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°.
素养小测
1.B
2.

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