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24.7　第1课时　弧长与扇形面积
素养目标
1.回顾与圆相关的计算公式,知道扇形与圆的关系.
2.根据圆的周长、面积公式探究扇形的弧长、面积的计算公式.
3.由圆与扇形的关系,发展类比的数学思想,能解决与扇形相关的计算问题.
◎重点:弧长及扇形面积公式的推导和应用.
【预习导学】
知识点一：弧长的计算公式
阅读课本本课时相关的内容,思考下列问题.
1.看一看:如图,在☉O中,两条半径OA,OB与其所夹的弧围成的图形叫作　 　,劣弧AB所对的阴影部分是扇形,优弧AB所对的白色部分也是扇形.
2.讨论:圆心角是1°的扇形,占整个周角的,则它所对的弧长是圆周长的　 　;圆心角是n°的扇形,占整个周角的　 　,则它所对的弧长是圆周长的　 　,即圆心角占整个圆周的几分之几,那么它所对的弧长就是　 　的几分之几.
归纳总结　如果弧长为l,圆心角度数为n°,圆的半径为R,那么l=　 　×2πR=　 　.
学习小助手：180,360和n都不带单位,因为180和n在弧长公式中表示比例关系.
知识点二：扇形面积的计算公式
阅读课本本课时相关的内容,思考:
1.圆心角是1°的扇形,占整个周角的,则它所对的扇形面积是所在圆面积的　 　;圆心角是n°的扇形,占整个周角的　 　,则它所对的扇形面积是圆面积的　 　,即圆心角占整个圆周的几分之几,那么它所对的扇形面积就是　 　的几分之几.
2.圆的半径为R,圆心角度数为n°的扇形面积S=　 　×πR2=　 　.
归纳总结　扇形的圆心角与周角(360°)之比=扇形的弧长与所在圆的周长之比=扇形的面积与所在圆的面积之比.
3.讨论:例1中,物体上升15.7 cm与圆有什么关系 与所求滑轮旋转的角度有什么关系
例2中,太阳光线在一地直射时,同一时刻太阳光线在另一地偏7.2°与扇形的圆心角有什么关系
1.如图,☉O的半径为3,AB为弦.若∠ABC=30°,则的长为 ( )
A.π B.1 C.1.5 D.1.5π
2.如图,矩形ABCD的边长AB=1,BC=2.把BC绕点B逆时针旋转,使点C恰好落在AD上的点E处,线段BC扫过部分为扇形BCE.则扇形BCE的面积是 ( )
A. B.1
C. D.
3.若扇形的圆心角是45°,半径为2,则该扇形的弧长为　 　.
【合作探究】
任务驱动一
弧长与扇形面积的计算
1.为落实“素质教育”要求,某学校于今年5月成立了手工制作小组,该小组的成员小红制作了一个扇子,已知扇子的圆心角为210°,扇子的外周弧长为35π cm,求扇子的面积.(结果用π表示)
方法归纳交流　利用扇形的面积公式时,当已知扇形圆心角和半径时,应用公式S扇=　 　;当已知扇形的弧长和半径时,应用公式S扇=　 　,不论哪个公式都必须求出　 　.
任务驱动二
图形变换中的扇形
2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=6,D为BC的中点,将△ABD绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB'D',则点D在旋转过程中所经过的路程为　 　.(结果保留π)
任务驱动三
不规则图形的面积计算
3.如图,半径为1的☉D内切于圆心角为60°的扇形OAB,求:(1)的长;(2)阴影部分面积.
方法归纳交流　不规则图形面积的计算,往往运用数学中“转化思想”,即将不规则的图形转化为规则的图形来计算.转化的方法常用的有“割补法”,将原图形化为几个规则图形的面积的和或差.
1.中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图1中的摆盘,其形状是扇形的一部分,图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=BD=12 cm,C,D两点之间的距离为4 cm,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是 ( )
A.80π cm2 B.40π cm2
C.24π cm2 D.2π cm2
2.如图,公路弯道标志R=m表示圆弧道路所在圆的半径为m米,某车在标有R=300处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B,则线段AB=　 　米.
3.如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,以点B为圆心,BE的长为半径作弧,交BC于点F,G是AD的中点,以点D为圆心,DG的长为半径作弧,交CD于点H.若AB=4,∠A=120°,则图中阴影部分的面积为　 　.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.扇形
2.　　　圆周长
归纳总结　　
知识点二
1.　　　圆面积
2.　
3.物体上升15.7 cm就是绳子在滑轮上绕的弧长,用弧长公式就可求出滑轮旋转的角度.
画出示意图可以得出这个7.2°就是扇形的圆心角.
对点自测
1.A　2.A
3.
【合作探究】
任务驱动一
1.解:l=35π= R=30 cm,
S扇形=×35π×30=525π (cm2).
方法归纳交流　　lR　半径R
任务驱动二
2.2π
任务驱动三
3.解:(1)如图,连接OC,过D作DE⊥BO,垂足为E.
∵DE=1,∠DOE=30°,
∴OD=2,∴OC=3,的长===π.
(2)S扇形==,S☉D=π,
∴S阴影=-π=π.
素养小测
1.B
2.300
3.8-

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