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第24章 圆 复习课
复习目标
1.复习旋转变换的基本概念,知道中心对称与旋转变换的关系.
2.复习圆的有关概念,垂径定理,归纳圆周角、圆心角、弧、弦之间的对应关系.
3.知道点和圆、直线和圆的位置关系,掌握切线的性质与判定以及切线长定理.
4.能利用正多边形和圆的关系进行正多边形的有关计算;会计算弧长和扇形面积.
◎重点:切线的性质与判定.
【预习导学】
体系构建
核心梳理
1.旋转与中心对称
旋转的相关概念:在平面内,将一个图形绕着一个　 　沿某个　 　转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为　 　,转动的角称为　 　.
旋转三要素:旋转　 　、旋转　 　和旋转　 　.
旋转的基本性质:旋转不改变图形的　 　和　 　.图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的　 　.任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是　 　.对应点到旋转中心的距离　 　.
中心对称:在旋转变换中,将一个图形绕着一个定点O旋转　 　度后,能与另一个图形完全　 　,那么这两个图形叫作关于点O中心对称,点O叫作　 　.
性质:成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心　 　.
中心对称图形:把一个图形绕着某一个定点旋转180°,如果旋转后的图形能和　 　图形重合,那么这个图形叫作中心对称图形,这个定点就是对称中心.
2.圆的对称性与相关概念
圆既是轴对称图形,也是中心对称图形.它的对称轴是　 　,对称中心是圆心.
弧:圆上任意两点间的部分.弧有优弧和劣弧之分.如图,劣弧CD,优弧CAB.
弦:连接圆上任意两点的线段.如图,CD是弦.直径AB是经过圆心的弦.
弦心距:圆心到弦的距离.
弓形:一条弧和其所对的弦组成的封闭图形.
3.垂径定理
垂直于弦的直径　 　,并且平分　 　.
推论:(1)　 　的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的　 　经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的　 　,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
4.圆周角定理
(1)圆周角定理:一条弧所对的　 　等于它所对　 　的一半.
(2)圆周角定理的推论:
推论1:同圆或等圆中,　 　所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧是等弧.
推论2:半圆或直径所对的圆周角是　 　;　 　的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的　 　,那么这个三角形是直角三角形.
5.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:若圆的半径为r,某一点到圆心的距离为d,则(1)点在圆外 　 　,(2)　 　 d=r,(3)点在圆内 　 　.
6.直线与圆的位置关系
直线和圆的位置关系:设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则(1)直线l和☉O相交 　 　,(2)　 　 d=r,(3)　 　 d>r.
7.切线的性质与判定定理
(1)性质定理:圆的切线垂直于过切点的　 　.
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过　 　.
推论2:过切点垂直于切线的直线必过　 　.
以上定理及推论也称二推一定理:
①过圆心;②过切点;③垂直于切线.三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.
(2)切线的判定定理:经过　 　并且　 　于这条半径的直线是圆的切线.
8.切线长定理
过圆外一点作圆的两条切线,两条切线长　 　,圆心与这一点的连线　 　两条切线的夹角.
9.三角形的内心、外心
(1)三角形的内心:它是三角形三条　 　的交点,是三角形　 　的圆心,且一定在三角形的　 　,它到三角形三边的距离　 　.
(2)三角形的外心:它是三角形三边的　 　的交点,是三角形　 　的圆心,锐角三角形的外心在三角形的　 　部,直角三角形的外心在　 　的中点,钝角三角形的外心在三角形的　 　部,三角形的外心到三角形三个顶点的距离　 　.
10.圆与正多边形
(1)正多边形定义:各边　 　,各角也　 　的多边形.
(2)把圆分成n(n≥3,n为整数)等份:依次连接各分点所得的多边形是这个圆的　 　正n边形;经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的　 　正n边形.
(3)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是　 　.正多边形的外接圆的圆心叫作这个多边形的　 　;外接圆的半径叫作正多边形的　 　;内切圆的半径叫作正多边形的　 　;正多边形每一条边所对的圆心角叫作正多边形的　 　,正n边形的每个中心角都等于.
　　11.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
(1)扇形:①弧长公式为l=;
②扇形的面积公式为S==lR.
(n为圆心角,R为扇形所对应的圆的半径,l为扇形弧长,S为扇形面积)
(2)圆柱
①S表=S侧+2S底=2πrh+2πr2.
②圆柱的体积:V=πr2h.
(r为圆柱底面圆的半径,h为圆柱的高)
(3)圆锥
①圆锥的侧面展开图:
S表=S侧+S底=πRr+πr2;
②圆锥的体积:V=πr2h.
【合作探究】
专题一：旋转变换
1.如图,△ABC在平面直角坐标系中(图中每个小正方形的边长为1个单位长度),请按下列要求分别作出变换后的图形.
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)作出△ABC绕点O顺时针方向旋转180°的△A2B2C2,并写出△A2B2C2的各项顶点坐标.
(3)△A1B1C1和△A2B2C2存在什么位置关系
专题二：垂径定理及推论
2.如图,所在圆的圆心是点O,过点O作OC⊥AB于点D.若CD=4 m,弦AB=16 m,求此圆的半径.
方法归纳交流　垂径定理中,由垂直关系,往往会有直角三角形,也就会用到很多直角三角形的性质,如勾股定理、三角函数等,于是有了很多数量关系的产生,这正是数与形结合思想的一种运用.
专题三：圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系
3.如图,AB是☉O的弦,半径OC,OD分别交AB于点E,F,且AE=BF,请你找出弧AC与弧BD的数量关系,并给予证明.
专题四：直径的作用
4.如图,AB是☉O的直径,C为的中点,CD⊥AB于点D,交AE于点F,连接AC,试证明AF=CF.
专题五：圆的内接四边形
5.如图,在☉O中,直径AB=10 cm,BC=8 cm,CD平分∠ACB.
(1)求AC和DB的长.
(2)求四边形ACBD的面积.
专题六：切线的制定与性质
6.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,AD,BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.
(1)判断直线PD是不是☉O的切线,并说明理由.
(2)如果∠BDE=60°,PD=,求PA的长.
专题七：正多边形与圆
7.图1、图2、图3、…、图m分别是☉O的内接正三角形ABC,正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…,点M,N分别从点B,C开始以相同的速度在☉O上逆时针运动,AM与BN交于点P.
(1)求图1中∠APN的度数是　　　　,图2中,∠APN的度数是　　　　,图3中∠APN的度数是　　　　.
(2)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系(直接写出答案).
专题八：与圆有关的面积计算
8.如图,半圆O的直径AB=20,将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O',与AB交于点P.
(1)求AP的长.
(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π).
专题九：相似与圆的综合
9.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,斜边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.
(1)若BE是△DEC外接圆的切线,求∠C的大小.
(2)若AB=1,BC=2,求△DEC外接圆的半径.
参考答案
【预习导学】
核心梳理
1.定点　方向　旋转中心　旋转角　中心　方向　角度　大小　形状　角度　旋转角　相等　180　重合　对称中心　平分　原来的
2.经过圆心的直线
3.平分这条弦　这条弦所对的两条弧
(1)平分弦(不是直径)
(2)垂直平分线
(3)直径
4.(1)圆周角　圆心角
(2)推论1:同弧或等弧
推论2:直角　90°
推论3:一半
5.(1)d>r　(2)点在圆上　(3)d6.(1)d7.(1)半径
推论1:切点
推论2:圆心
(2)半径外端点　垂直
8.相等　平分
9.(1)角平分线　内切圆　内部　相等
(2)垂直平分线　外接圆　内　斜边　外　相等
10.(1)相等　相等
(2)内接　外切
(3)同心圆　中心　半径　边心距　中心角
【合作探究】
1.解:(1)如图.(2)如图,A2(1,-1),B2(2,-3),C2(6,-2).(3)关于y轴对称.
2.解:设圆的半径为R,由条件得到OD=R-4,AD=8,
在Rt△ADO中,AO2=OD2+AD2,即R2=(R-4)2+82,解得R=10.
答:略.
3.解:弧AC与弧BD相等.如图,连接OA、OB,则∠OAB=∠ABO.
因为OA=OB,AE=BF,
所以△OAE≌△OBF,
即∠AOE=∠BOD,
即=(在同圆和等圆中,如果两个圆心角相等,那么它们所对的弧相等).
4.证明:如图,连接BC.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°,即∠ACF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB,∴∠B+∠BCD=90°,∴∠ACF=∠B.∵C是的中点,∴∠=,∴∠B=∠CAE,∴∠ACF=∠CAE,∴AF=CF.
5.解:(1)∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∵AB=10 cm,BC=8 cm,∴AC==6 (cm).∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∠BAD=45°,∴DB=sin 45°·AB=5 (cm).
(2)S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=×6×8+×5×5=49(cm2).
6.解:(1)PD是☉O的切线.如图,连接OD.
∵∠ADB=90°,∴∠DBA+∠DAB=90°.
∵OD=OA,∴∠DAO=∠ODA,∴∠ODA+∠DBA=90°.
∵∠DBA=∠PDA,
∴∠PDA+∠ODA=90°,∴OD⊥PD,∴PD为☉O的切线.
(2)∵∠BDE=60°,
∴∠ODB=30°.
∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD=30°,
∴∠DOP=60°,∴DO=1,PO=2,∴PA=1.
7.解:(1)60°;90°;108°.
(2)由(1)可知,∠APN=所在多边形的内角度数,故在图m中,∠APN=.
8.解:(1)由题意可得∠O'BA=45°,O'P=O'B,
∴△O'PB是等腰直角三角形,∴PB=BO',
∴AP=AB-BP=20-10.
(2)阴影部分的面积为S扇形O'A'P+S△O'PB=×π×100+10×10×=25π+50.
9.解:(1)∵DE垂直平分AC,∴∠DEC=90°,∴DC为△DEC外接圆的直径,∴DC的中点O即圆心,连接OE.又知BE是☉O的切线,∴∠EBO+∠BOE=90°.
在Rt△ABC中,E是斜边AC的中点,∴BE=EC,∴∠EBC=∠C.又∵∠BOE=2∠C,∴∠C+2∠C=90°,∴∠C=30°.
(2)在Rt△ABC中,AC==,∴EC=AC=.∵∠ABC=∠DEC=90°,∴△ABC∽△DEC,∴=,∴DC=,∴△DEC外接圆的半径为.

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