资源简介

4.2认识一次函数
【知识点1】一次函数的定义 1
【知识点2】正比例函数的定义 2
【题型1】正比例函数的识别 2
【题型2】列一次函数关系式 3
【题型3】一次函数的实际应用 4
【题型4】列正比例函数关系式 6
【题型5】根据一次函数的定义求字母的取值 7
【题型6】一次函数的识别 8
【题型7】根据正比例函数的定义求字母的取值 8
【知识点1】一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数．
1.（2025春 原阳县期中）下列函数中，一次函数是（　　）
A． B．y=2x C．y=x2+2 D．y=kx+b
2.（2024秋 贵池区期末）在下列函数解析式中，①y=kx；②y=-2x；③y=7-3x；④y=x2-（x+2）（x-3）；⑤，y一定是x的一次函数的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【知识点2】正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象．
1.（2025春 澧县期末）若关于x的函数y=（m-1）x+m2-1是正比例函数，则m的值为（　　）
A．1 B．-1 C．±1 D．2
2.（2025春 通州区期中）下列式子中，y是x的正比例函数的是（　　）
A． B．y=2x-3 C．y=2x2 D．y2=4x
【题型1】正比例函数的识别
【典型例题】下列函数是正比例函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝ C.y＝x2+1 D.y＝3x+1
【举一反三1】下列函数是正比例函数的是（　　）
A.y＝﹣3x B.y＝x+5 C.y＝ D.y＝﹣x2
【举一反三2】下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A.y＝x B.y＝2x+1 C.y＝ D.y＝x2
【举一反三3】若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（　　）
A.0 B.﹣1 C.1 D.任意实数
【举一反三4】下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝2
【题型2】列一次函数关系式
【典型例题】已知，如图，某人驱车在离A地10千米的P地出发，向B地匀速行驶，30分钟后离P地50千米，设出发x小时后，汽车离A地y千米（未到达B地前），则y与x的函数关系式为（　　）
A.y＝50x B.y＝100x C.y＝50x﹣10 D.y＝100x+10
【举一反三1】平行四边形的周长为240，两邻边长为x、y，则y与x之间的关系是（　　）
A.y＝120﹣x（0＜x＜120） B.y＝120﹣x（0≤x≤120） C.y＝240﹣x（0＜x＜240） D.y＝240﹣x（0≤x≤240）
【举一反三2】某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　）
A.y＝20x B.y＝40﹣2x C.y＝ D.y＝x（40﹣2x）
【举一反三3】某商店出售货物时，要在进价的基础上增加一定的利润，下表记录了销售数量x（个）与售价y（元）的对应关系　　．
【举一反三4】某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为　　．
【举一反三5】等腰三角形的周长为30 cm．
（1）若底边长为x cm，腰长为y cm，写出y与x的函数关系式；
（2）若腰长为x cm，底边长为y cm，写出y与x的函数关系式．
【题型3】一次函数的实际应用
【典型例题】有甲.乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，如图中m1，m2分别表示两车离开A地的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．现有以下四个结论：①m1表示甲车，m2表示乙车；②乙车出发4小时后追上甲车；③若两地相距500 km，甲车出发11小时的时候，两车相距100 km；④若两地相距260 km，则乙车先到达B地．其中正确的是（　　）
A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
【举一反三1】李老师家.公园.学校依次在同一条直线上，家到公园.公园到学校的距离分别为600m，400m．他从家出发匀速步行8 min到公园后，停留4 min，然后匀速步行6 min到学校，设李老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟）的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A.容融的速度为60米/分钟 B.墩墩休息了23分钟 C.第80分钟时，墩墩到达终点 D.领先者到达终点时，两者相距200米
【举一反三3】已知合肥到芜湖的距离为150千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留1小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离s千米与行驶时间t小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究：
（1）邮政车的速度为　　千米/小时；
（2）当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到合肥的距离为　　千米．
【举一反三4】“一根弹簧原长10 cm，在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式是y＝10+0.5x（0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：　　（只需写出一个）．
【举一反三5】某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表：
其中售价中的0.2元是塑料袋的价钱．
（1）在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
（2）写出出售7千克瓜子时的售价；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）商店规定，当一次性购买100千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班.二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共94人，其中一班比二班多2人，每人买1千克，都用1千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免．问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
【题型4】列正比例函数关系式
【典型例题】某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量x（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（　　）
A.x＝1.8y B.y＝1.8x C.y＝1.8+x D.y＝
【举一反三1】某种商品的售价为每件150元，若按现售价的8折进行促销，设购买x件需要y元，则y与x间的函数表达式为（　　）
A.y＝0.8x B.y＝30x C.y＝120x D.y＝150x
【举一反三2】如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　）
A.y＝12x B.y＝18x C.y＝ D.y＝
【举一反三3】某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量x（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（　　）
A.x＝1.8y B.y＝1.8x C.y＝1.8+x D.y＝
【举一反三4】如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　）
A.y＝12x B.y＝18x C.y＝ D.y＝
【举一反三5】某人购进一批大庙香水梨到市场上零售，已知卖出香水梨的质量x与售价y的关系如下表：
写出用x表示y的关系式：　　．
【举一反三6】宋代词人蒋捷曾在《一剪梅 舟过吴江》中提到：“流光容易把人抛．红了樱桃，绿了芭蕉”．昭通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量x（kg）之间的关系式是　　．
【举一反三7】张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表：
根据表格中的数据，当卖出柚子的重量为6kg时，售价为　　元．
【举一反三8】下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度x（厘米）与下降高度y（厘米）的关系：
根据表格中两个变量之间的关系，则当x＝100时，y＝　　．
【题型5】根据一次函数的定义求字母的取值
【典型例题】当m为何值时，函数y＝（m﹣3）x3﹣|m|+m+2是一次函数（　　）
A.2 B.﹣2 C.﹣2和2 D.3
【举一反三1】如果函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是（　　）
A.k≠0 B.k＜2 C.k＞2 D.k≠2
【举一反三2】若函数y＝+5是一次函数，则m的值是　　．
【举一反三3】若函数y＝（m+3）﹣5是一次函数，求m的值．
【题型6】一次函数的识别
【典型例题】下列函数中，是一次函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝﹣2x+1 C.y＝3（x﹣2）﹣3x D.y＝x+x2
【举一反三1】下列函数不是一次函数的是（　　）
A.y＝8x B.y＝﹣8x﹣1 C.y＝﹣0.5x+1 D.y＝
【举一反三2】下列函数中，是一次函数的是（　　）
A.y＝5x2﹣x B.y＝1- C.y＝2x2﹣6 D.y＝
【举一反三3】下列函数中，y是x的一次函数的是（　　）
A.y＝x2﹣5 B.y＝3 C.y＝kx+b D.y＝x﹣1
【举一反三4】以下函数中y是x的一次函数的有　　个．
①y＝2x2+x+1；②y＝2πx；③y＝；④y＝；⑤y＝1-；⑥y＝2x．
【举一反三5】一次函数y＝10﹣2x的比例系数是　　．
【举一反三6】①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；④y＝x2+1；⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有　　个．
【题型7】根据正比例函数的定义求字母的取值
【典型例题】若函数y＝﹣2x+m是关于x的正比例函数，则m的值为（　　）
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【举一反三1】函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　）
A.m≠﹣1，且n＝0 B.m≠1，且n＝0 C.m≠﹣1，且n＝2 D.m≠1，且n＝2
【举一反三2】已知函数y＝x+k﹣1是正比例函数，则常数k的值为（　　）
A.﹣1 B.0 C.1 D.±1
【举一反三3】若函数y＝x+b﹣2是关于x的正比例函数，则b的值为　　．
【举一反三4】已知y＝xk﹣1是正比例函数，那么k＝　　．
【举一反三5】若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，求m，n的值．
【举一反三6】已知关于x的函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2，当m，n为何值时，它是正比例函数．4.2认识一次函数
【知识点1】一次函数的定义 1
【知识点2】正比例函数的定义 2
【题型1】正比例函数的识别 3
【题型2】列一次函数关系式 5
【题型3】一次函数的实际应用 7
【题型4】列正比例函数关系式 12
【题型5】根据一次函数的定义求字母的取值 15
【题型6】一次函数的识别 16
【题型7】根据正比例函数的定义求字母的取值 18
【知识点1】一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k=0，则y=b（b为常数），此时它不是一次函数．
1.（2025春 原阳县期中）下列函数中，一次函数是（　　）
A． B．y=2x C．y=x2+2 D．y=kx+b
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义分别进行判断即可．
【解答】解：A.自变量x的次数为-1，不是一次函数，不符合题意；
B．y=2x是一次函数，符合题意；
C．y=x2+2属于二次函数，不是一次函数，不符合题意；
D．当k=0时，y=kx+b（k、b是常数）是常函数，不符合题意．
故选：B．
2.（2024秋 贵池区期末）在下列函数解析式中，①y=kx；②y=-2x；③y=7-3x；④y=x2-（x+2）（x-3）；⑤，y一定是x的一次函数的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解，
【解答】解：①当k=0时，y=kx不是一次函数，不符合题意；
②y=-2x,是一次函数，符合题意；
③y=7-3x,是一次函数，符合题意；
④y=x2-（x+2）（x-3）=x+6，是一次函数，符合题意；
⑤，不是一次函数，不符合题意；
综上所述，②③④是一次函数，共3个，
故选：C．
【知识点2】正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y=kx．
当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y=kx（k是常数，k≠0）的图象．
1.（2025春 澧县期末）若关于x的函数y=（m-1）x+m2-1是正比例函数，则m的值为（　　）
A．1 B．-1 C．±1 D．2
【答案】B
【分析】根据正比例函数的定义解答即可．
【解答】解：∵关于x的函数y=（m-1）x+m2-1是正比例函数，
∴m-1≠0，m2-1=0，
∴m=-1，
故选：B．
2.（2025春 通州区期中）下列式子中，y是x的正比例函数的是（　　）
A． B．y=2x-3 C．y=2x2 D．y2=4x
【答案】A
【分析】根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
【解答】解：A、y=是正比例函数，故本选项符合题意；
B、y=2x-3不是正比例函数，故本选项不符合题意；
C、y=2x2不是正比例函数，故本选项不符合题意；
D、y2=4x不是正比例函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【题型1】正比例函数的识别
【典型例题】下列函数是正比例函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝ C.y＝x2+1 D.y＝3x+1
【答案】A
【解析】A.y＝，是正比例函数，故此选项符合题意；
B.y＝是反比例函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
C.y＝x2+1是二次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意；
D.y＝3x+1是一次函数，不是正比例函数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【举一反三1】下列函数是正比例函数的是（　　）
A.y＝﹣3x B.y＝x+5 C.y＝ D.y＝﹣x2
【答案】A
【解析】A．y＝﹣3x，y是x的正比例函数，故A符合题意；
B．y＝x+5，y不是x的正比例函数，故B不符合题意；
C．y＝，y不是x的正比例函数，故C符合题意；
D．y＝﹣x2，y不是x的正比例函数，故D不符合题意．
故选：A．
【举一反三2】下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　）
A.y＝x B.y＝2x+1 C.y＝ D.y＝x2
【答案】A
【解析】A.y＝x，y是x的正比例函数，符合题意；
B.y＝2x+1，y是x的一次函数，不符合题意；
C.y＝，y是x的反比例函数，不符合题意；
D.y＝x2，y是x的二次函数，不符合题意．
故选：A．
【举一反三3】若y＝x+b是正比例函数，则b的值是（　　）
A.0 B.﹣1 C.1 D.任意实数
【答案】A
【解析】∵y＝x+b是正比例函数，
∴b＝0．
故选：A．
【举一反三4】下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝2
【答案】B
【解析】A.y＝，是一次函数，但不是正比例函数，不符合题意；
B.y＝，是正比例函数，符合题意；
C.y＝，不是正比例函数，不符合题意；
D.y＝2，不是正比例函数，不符合题意．
故选：B．
【题型2】列一次函数关系式
【典型例题】已知，如图，某人驱车在离A地10千米的P地出发，向B地匀速行驶，30分钟后离P地50千米，设出发x小时后，汽车离A地y千米（未到达B地前），则y与x的函数关系式为（　　）
A.y＝50x B.y＝100x C.y＝50x﹣10 D.y＝100x+10
【答案】D
【解析】∵汽车在离A地10千米的P地出发，向B地匀速行驶，30分钟后离P地50千米（未到达B地前），
∴汽车的速度＝50÷0.5＝100（千米/时），
则依题意有：y＝100x+10．
故选：D．
【举一反三1】平行四边形的周长为240，两邻边长为x、y，则y与x之间的关系是（　　）
A.y＝120﹣x（0＜x＜120） B.y＝120﹣x（0≤x≤120） C.y＝240﹣x（0＜x＜240） D.y＝240﹣x（0≤x≤240）
【答案】A
【解析】∵平行四边形的周长为240，两邻边长为x.y，
∴2（x+y）＝240，
则y＝120﹣x（0＜x＜120）．
故选：A．
【举一反三2】某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为x m，另一边长为y m，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　）
A.y＝20x B.y＝40﹣2x C.y＝ D.y＝x（40﹣2x）
【答案】B
【解析】∵木栏总长为40m，
∴2x+y＝40，
∴y＝40﹣2x．
故选：B．
【举一反三3】某商店出售货物时，要在进价的基础上增加一定的利润，下表记录了销售数量x（个）与售价y（元）的对应关系　　．
【答案】y＝8.2x
【解析】依题意有：y＝x×8+x×0.2＝8.2x．
故y与x之间的关系式是：y＝8.2x．
故答案为：y＝8.2x．
【举一反三4】某市出租车白天的收费起步价为14元，即路程不超过3公里时收费14元，超过部分每公里收费2.4元．如果乘客白天乘坐出租车的路程x（x＞3）公里，乘车费为y元，那么y与x之间的关系式为　　．
【答案】y＝2.4x+6.8
【解析】依题意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8．
故答案为：y＝2.4x+6.8．
【举一反三5】等腰三角形的周长为30 cm．
（1）若底边长为x cm，腰长为y cm，写出y与x的函数关系式；
（2）若腰长为x cm，底边长为y cm，写出y与x的函数关系式．
【答案】解（1）∵等腰三角形的周长为30 cm，底边长为x cm，腰长为y cm，
∴x+2y＝30，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣（0＜x＜15）；
（2）∵等腰三角形的周长为30 cm，腰长为x cm，底边长为y cm，
∴2x+y＝30，
∴y与x的函数关系式为：y＝30﹣2x（7.5＜x＜15）．
【题型3】一次函数的实际应用
【典型例题】有甲.乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，如图中m1，m2分别表示两车离开A地的距离y（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系．现有以下四个结论：①m1表示甲车，m2表示乙车；②乙车出发4小时后追上甲车；③若两地相距500 km，甲车出发11小时的时候，两车相距100 km；④若两地相距260 km，则乙车先到达B地．其中正确的是（　　）
A.①②③④ B.②③④ C.①②③ D.①②④
【答案】D
【解析】∵甲车比乙车早出发，
∴m1表示甲车，m2表示乙车，
故①正确；
甲的速度为160÷4＝40（km/h），乙车的速度为120÷（4﹣2）＝60（km/h），
设乙车出发a小时后追上甲车，
60a＝40（a+2），
解得a＝4，
即乙车出发4小时后追上甲车，
故②正确；
当t＝2时，甲乙两车相距40×2＝80（km），故两车相距100 km的时间只有在两车相遇之后，
设甲车出发b小时，两车相距100 km，
60（b﹣2）﹣40b＝100，
解得b＝11，
即两车相距100 km的时间是甲车出发11小时的时候，
∵乙车到目的地所需时间＝500÷60＝8，
而8+2＜11，
∴两车不存在相距100 km的情况，
故③错误；
260÷40＝6.5（小时），260÷60＝4（小时），
∵6.5＞4+2，
∴若两地相距260 km，则乙车先到达B地，
故④正确．
故选：D．
【举一反三1】李老师家.公园.学校依次在同一条直线上，家到公园.公园到学校的距离分别为600m，400m．他从家出发匀速步行8 min到公园后，停留4 min，然后匀速步行6 min到学校，设李老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
李老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），家到公园.公园到学校的距离分别为600m，400m，
∵李老师从家出发匀速步行8 min到公园，
∴这个过程y随x的增大而减小，当x＝8时，y＝0，
∵李老师到公园后，停留4 min，
∴这个过程y随x的变化不改变，y的值都是0，
∵李老师匀速步行6 min到学校，
∴这个过程y随x的增大而增大，当x＝8+4+6＝18时，y＝400，
故选：B．
【举一反三2】某天，墩墩和容融在同一直线道路上同起点出发，分别以不同的速度匀速行走3600米．当墩墩领先容融1000米时，墩墩停下来休息，当容融追上墩墩的瞬间，墩墩立即又以原来的速度继续走向终点，在整个行走过程中，墩墩和容融之间的距离y（米）与它们出发时间x（分钟）的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A.容融的速度为60米/分钟 B.墩墩休息了23分钟 C.第80分钟时，墩墩到达终点 D.领先者到达终点时，两者相距200米
【答案】D
【解析】由图象可得，
容融的速度为：3600÷90＝40（米/分钟），故选项A错误，不符合题意；
墩墩休息了：1000÷40＝25（分钟），故选项B错误，不符合题意；
墩墩的速度为：40+1000÷50＝60（米/分钟），
50+25+（3600﹣60×50）÷60＝85（分钟），
即第85分钟时，墩墩到达终点，故选项C错误，不符合题意；
（90﹣85）×40＝200（米），
即领先者到达终点时，两者相距200米，故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三3】已知合肥到芜湖的距离为150千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留1小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离s千米与行驶时间t小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究：
（1）邮政车的速度为　　千米/小时；
（2）当两车第一次在行驶的路上相遇时，相遇点到合肥的距离为　　千米．
【答案】（1）80（2）
【解析】（1）由图可知，邮政车用小时由合肥到芜湖，
∴邮政车的速度为150÷＝80（千米/小时）；
故答案为：80；
（2）设旅游大巴车速度为a千米/小时，
根据题意得：（﹣1）×80+a＝150×2，
解得a＝40，
∴旅游大巴车速度为40千米/小时，
∴a＝×40＝，
∴相遇点到合肥的距离为千米；
故答案为：．
【举一反三4】“一根弹簧原长10 cm，在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式是y＝10+0.5x（0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：　　（只需写出一个）．
【答案】每增加1千克重物弹簧伸长0.5 cm
【解析】根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y＝10+0.5x（0≤x≤5）可以得到：
当x＝1时，弹簧总长为10.5 cm，
当x＝2时，弹簧总长为11 cm，
∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5 cm，
故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5 cm．
【举一反三5】某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如表：
其中售价中的0.2元是塑料袋的价钱．
（1）在这个变化过程中，自变量与因变量各是什么？
（2）写出出售7千克瓜子时的售价；
（3）写出y与x之间的关系式；
（4）商店规定，当一次性购买100千克及以上时全部所购瓜子打九折，一班.二班正好要搞一次“庆党的二十大一次会议胜利召开”庆祝活动，两个班级共94人，其中一班比二班多2人，每人买1千克，都用1千克的小袋包装好，但小包装袋的费用及包装人工费全免．问要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花多少钱？
【答案】解（1）根据题意得：在这个变化过程中，自变量是瓜子的质量，因变量是售价；
（2）根据题意得：3.6×7+0.2
＝25.2+0.2
＝25.4（元）．
答：出售7千克瓜子时的售价为25.4元；
（3）根据题意得：y＝3.6x+0.2；
（4）当购买94千克瓜子时所需费用为3.6×94＝338.4（元）；
当购买100千克瓜子时所需费用为3.6×0.9×100＝324（元）．
∵338.4＞324，
∴要买够两个班的瓜子，正常情况下最少要花324元．
【题型4】列正比例函数关系式
【典型例题】某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量x（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（　　）
A.x＝1.8y B.y＝1.8x C.y＝1.8+x D.y＝
【答案】B
【解析】∵表格中售价是数量的1.8倍，
∴y＝1.8x．
故选：B．
【举一反三1】某种商品的售价为每件150元，若按现售价的8折进行促销，设购买x件需要y元，则y与x间的函数表达式为（　　）
A.y＝0.8x B.y＝30x C.y＝120x D.y＝150x
【答案】C
【解析】每件商品的实际售价为：150×0.8＝120（元），
∴y与x间的函数表达式为：y＝120x．
故选：C．
【举一反三2】如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　）
A.y＝12x B.y＝18x C.y＝ D.y＝
【答案】D
【解析】依题意有单价为24÷16＝（元），
则有y＝．
故选：D．
【举一反三3】某商场为了促销一种饮料，实行大降价，为了提高服务质量，服务员制作了售价y（元）与数量x（个）之间的关系表，下面能表示这种关系式的式子是（　　）
A.x＝1.8y B.y＝1.8x C.y＝1.8+x D.y＝
【答案】B
【解析】∵表格中售价是数量的1.8倍，
∴y＝1.8x．
故选：B．
【举一反三4】如果一盒圆珠笔有16支，售价24元，用y（元）表示圆珠笔的售价，x表示圆珠笔的支数，那么y与x间的关系式为（　　）
A.y＝12x B.y＝18x C.y＝ D.y＝
【答案】D
【解析】依题意有单价为24÷16＝（元），
则有y＝．
故选：D．
【举一反三5】某人购进一批大庙香水梨到市场上零售，已知卖出香水梨的质量x与售价y的关系如下表：
写出用x表示y的关系式：　　．
【答案】y＝20x
【解析】根据表格可知香蕉的单价为20元/千克，则y＝20x．
故答案为：y＝20x．
【举一反三6】宋代词人蒋捷曾在《一剪梅 舟过吴江》中提到：“流光容易把人抛．红了樱桃，绿了芭蕉”．昭通鲁甸樱桃上市后，每千克樱桃16元，则购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量x（kg）之间的关系式是　　．
【答案】y＝16x
【解析】由题意得，购买樱桃的费用y（元）与樱桃重量x（kg）之间的关系式是y＝16x，
故答案为：y＝16x．
【举一反三7】张大妈购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表：
根据表格中的数据，当卖出柚子的重量为6kg时，售价为　　元．
【答案】8.4
【解析】∵售价y随重量x的改变而改变，
∴重量x是自变量，售价y是因变量．
∵从表中可得：y＝1.4x，
∴当卖出柚子的重量x为6kg时，售价y＝1.4×6＝8.4元．
故答案为：8.4．
【举一反三8】下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度x（厘米）与下降高度y（厘米）的关系：
根据表格中两个变量之间的关系，则当x＝100时，y＝　　．
【答案】200
【解析】由题意得，弹跳高度x是下降高度y的，
即x＝y，y＝2x，
∴当x＝100时，
y＝200．
故答案为：200．
【题型5】根据一次函数的定义求字母的取值
【典型例题】当m为何值时，函数y＝（m﹣3）x3﹣|m|+m+2是一次函数（　　）
A.2 B.﹣2 C.﹣2和2 D.3
【答案】C
【解析】由题意得：
3﹣|m|＝1且m﹣3≠0，
∴m＝±2且m≠3，
∴m的值为2或﹣2，
故选：C．
【举一反三1】如果函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是（　　）
A.k≠0 B.k＜2 C.k＞2 D.k≠2
【答案】C
【解析】∵函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小，
∴2﹣k＜0，
∴k＞2．
故选：C．
【举一反三2】若函数y＝+5是一次函数，则m的值是　　．
【答案】2
【解析】∵函数y＝+5是一次函数，
∴m2﹣3＝1且m+2≠0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【举一反三3】若函数y＝（m+3）﹣5是一次函数，求m的值．
【答案】解根据一次函数的定义得m+3≠0且m2﹣8＝1，
由m+3≠0解得m≠﹣3，
由m2﹣8＝1解得m＝±3，
∴m＝3．
故m的值为3．
【题型6】一次函数的识别
【典型例题】下列函数中，是一次函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝﹣2x+1 C.y＝3（x﹣2）﹣3x D.y＝x+x2
【答案】B
【解析】A.y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
B.y＝2x是一次函数，故此选项符合题意；
C.y＝3（x﹣2）﹣3x＝﹣6，不是一次函数，故此选项不符合题意；
D.y＝x+x2是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】下列函数不是一次函数的是（　　）
A.y＝8x B.y＝﹣8x﹣1 C.y＝﹣0.5x+1 D.y＝
【答案】B
【解析】A.是正比例函数，也是一次函数，故此选项不符合题意；
B.是反比例函数，故此选项符合题意；
C.是一次函数，故此选项不符合题意；
D.是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】下列函数中，是一次函数的是（　　）
A.y＝5x2﹣x B.y＝1- C.y＝2x2﹣6 D.y＝
【答案】D
【解析】A.y＝5x2﹣x是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B.y＝1-，右边是分式，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C.y＝2x2﹣6是二次函数，不是一次函数，故此选项不符合题意；
D.y＝可化为y＝-，是一次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【举一反三3】下列函数中，y是x的一次函数的是（　　）
A.y＝x2﹣5 B.y＝3 C.y＝kx+b D.y＝x﹣1
【答案】D
【解析】A.自变量x的次数是2，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B.没有自变量，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C.自变量x的系数k可能为0，故此选项不符合题意；
D.是一次函数，故此选项符合题意；
故选：D．
【举一反三4】以下函数中y是x的一次函数的有　　个．
①y＝2x2+x+1；②y＝2πx；③y＝；④y＝；⑤y＝1-；⑥y＝2x．
【答案】4
【解析】①y＝2x2+x+1是二次函数，故①不符合题意；
②y＝2πx是一次函数，故②符合题意；
③y＝不是一次函数，是反比例函数，故③不符合题意；
④y＝x是一次函数，故④符合题意；
⑤y＝1﹣x是一次函数，故⑤符合题意；
⑥y＝2x是一次函数，故⑥符合题意．
函数中y是x的一次函数的有4个．
故答案为：4．
【举一反三5】一次函数y＝10﹣2x的比例系数是　　．
【答案】﹣2
【解析】一次函数变形为：y＝10﹣2x＝﹣2x+10，
故其比例系数k是﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三6】①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；④y＝x2+1；⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有　　个．
【答案】3
【解析】①当k＝0时原式不是一次函数；
②y＝x是一次函数；
③由于y＝x2﹣（x﹣1）x＝x，则③是一次函数；
④自变量次数不为1，故不是一次函数；
⑤y＝22﹣x是一次函数．
综上，正确的有②③⑤．
故答案为：3．
【题型7】根据正比例函数的定义求字母的取值
【典型例题】若函数y＝﹣2x+m是关于x的正比例函数，则m的值为（　　）
A.﹣1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】∵函数y＝﹣2x+m是正比例函数，
∴m＝0，
故选：B．
【举一反三1】函数y＝（m﹣n+1）x|n﹣1|+n﹣2是正比例函数，则m，n应满足的条件是（　　）
A.m≠﹣1，且n＝0 B.m≠1，且n＝0 C.m≠﹣1，且n＝2 D.m≠1，且n＝2
【答案】D
【解析】由题意得，m﹣n+1≠0.n﹣2＝0且|n﹣1|＝1．
∴n＝2．
∴m≠1．
故选：D．
【举一反三2】已知函数y＝x+k﹣1是正比例函数，则常数k的值为（　　）
A.﹣1 B.0 C.1 D.±1
【答案】C
【解析】由题意可得：k﹣1＝0，
解得k＝1，
故选：C．
【举一反三3】若函数y＝x+b﹣2是关于x的正比例函数，则b的值为　　．
【答案】2
【解析】根据正比例函数定义可得b﹣2＝0，
解得：B＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】已知y＝xk﹣1是正比例函数，那么k＝　　．
【答案】2
【解析】由题意得：k﹣1＝1，
∴k＝2．
故答案为：2．
【举一反三5】若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，求m，n的值．
【答案】解∵y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，
∴m+1≠0且|m+2|＝1，﹣2n+8＝0，
解得m＝﹣3，n＝4，
所以m的值为﹣3，n的值为4．
【举一反三6】已知关于x的函数y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2，当m，n为何值时，它是正比例函数．
【答案】解∵y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2是正比例函数，
∴|m|﹣2＝1，
∴|m|＝3，
∴m＝±3；
又∵y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2是正比例函数，
∴m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m只能等于﹣3；
∵n﹣2＝0，
∴n＝2．

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