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5.1认识二元一次方程组
【知识点1】二元一次方程的定义 1
【知识点2】二元一次方程组的解 2
【知识点3】二元一次方程组的定义 2
【知识点4】二元一次方程的解 3
【题型1】二元一次方程组的解 3
【题型2】根据二元一次方程（组）的解求字母的取值 4
【题型3】二元一次方程的解 4
【题型4】识别二元一次方程组 5
【题型5】根据二元一次方程的定义求字母的取值 5
【题型6】二元一次方程的特殊解 6
【题型7】已知解写出二元一次方程（组） 6
【题型8】根据实际问题列二元一次方程组 7
【题型9】识别二元一次方程 8
【知识点1】二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
1.（2025春 兴宁区校级期末）下列等式中，是二元一次方程的是（　　）
A．x-y=6 B．3xy+1=-6 C．3x+2=4x-1 D．x-6=5
2.（2025春 长安区期末）已知☆+2y=1是一个二元一次方程，则☆可能是（　　）
A．x B．x2 C．y D．
3.（2025春 漳州期末）下列等式中是二元一次方程的是（　　）
A．2x-3y=4 B． C．4x-8=0 D．3x2-7x=11
【知识点2】二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
1.（2025春 潮阳区期末）已知x,y满足方程组，则x+y=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2.（2025春 黄陂区期末）以二元一次方程组的解为坐标的点（m,n）在平面直角坐标系的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【知识点3】二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
1.（2024秋 碑林区校级期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
2.（2025春 普陀区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
3.（2025春 宝山区校级期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【知识点4】二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
1.（2025春 玄武区期末）下列四对数值，是二元一次方程x-y+1=0的解的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2025春 祁东县期末）已知是关于x,y的二元一次方程x+ky=3的一个解，则k的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【题型1】二元一次方程组的解
【典型例题】下列四组值中，是方程组的解的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列方程组中，解为的方程组是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】是下列哪个方程组的解（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列方程组中，解为的方程组是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】下列四组值中，是方程组的解的是（　　）
A. B. C. D.
【题型2】根据二元一次方程（组）的解求字母的取值
【典型例题】如果x=-3,y=1是方程ax＋(a－2)y＝0的一组解，则a的值(　　)
A.1 B.2 C.－1 D.－2
【举一反三1】如果x=1,y=m是二元一次方程2x－y＝3的解，则等于(　　)
A.0 B.－1 C.2 D.3
【举一反三2】若x=a,y=b是方程2x＋y＝0的一个解(a≠0)，则(　　)
A.a，b同号 B.a，b异号 C.a，b可能同号，也可能异号 D.a≠0，b＝0
【举一反三3】方程|x－y|＋(2－y)2＝0且x＋2y－m＝0，则m的值为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三4】已知关于x，y的二元一次方程2x＋□y＝7中，y的系数已经模糊不清，但已知是这个方程的一个解，那么原方程是____________．
【举一反三5】已知x＝1，y＝－8是方程3mx－y＝－1的一个解，则m的值是________．
【举一反三6】如果x=3,y=2是方程6x＋by＝32的解，则b＝________.
【举一反三7】已知关于x，y的二元一次方程2x＋□y＝7中，y的系数已经模糊不清，但已知是这个方程的一个解，那么原方程是____________．
【题型3】二元一次方程的解
【典型例题】二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】若一个二元一次方程的一个解为x=2,y=-1,则这个方程可以是(　　)
A.x＋y＝1 B.x－y＝1 C.y－x＝1 D.x＋2y＝1
【举一反三2】在四对数值①②③④中，满足方程2x－y＝7有________；满足方程x＋2y＝－4有 ________；是方程组2x-y=7,x+2y=-4的解的是 ________(填上序号)．
【举一反三3】检验下列各数是不是方程2x＋y＋1＝x－y－3的解.
(1) (2) (3)
【举一反三4】小明是一位爱动脑筋的同学，他经常利用课余时间钻研一些数学问题．经过研究，它发现：对于任意有理数m，x＝5m＋2，y＝3m＋2都是方程3x－5y＋4＝0的解．你认为小明发现的结论正确吗？若正确，给出你的理由；若不正确，试举出反例．
【题型4】识别二元一次方程组
【典型例题】下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】下列方程组中,是二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】下列不是二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】下列方程组中,是二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三4】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【题型5】根据二元一次方程的定义求字母的取值
【典型例题】方程(m2－9)x2＋x－(m＋3)y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为(　　)
A.±3 B.3 C.－3 D.9
【举一反三1】如果方程2xm－1－3＝1是关于x、y的二元一次方程，那么m、n的值分别为(　　)
A.1,0 B.2，－3 C.1，－3 D.1,1
【举一反三2】如果方程2xm－1－3＝1是关于x、y的二元一次方程，那么m、n的值分别为(　　)
A.1,0 B.2，－3 C.1，－3 D.1,1
【举一反三3】若方程(m－3)＝3yn＋1＋4是二元一次方程，则m，n的值分别为(　　)
A.2，－1 B.－3,0 C.3,0 D.±3,0
【举一反三4】若方程(m﹣2)x+2y＝4是关于x、y的二元一次方程，则m满足的条件是　　．
【举一反三5】若方程是关于， 的二元一次方程，求的值_______.
【举一反三6】若方程是关于， 的二元一次方程，求的值_______.
【举一反三7】已知(k﹣2)x|k|﹣1﹣2y＝1，则k＝____时，它是关于x，y的二元一次方程．
【题型6】二元一次方程的特殊解
【典型例题】方程2x＋y＝7的正整数解(　　)
A.有无数对 B.只有一对 C.只有三对 D.以上都不对
【举一反三1】二元一次方程2x＋5y＝32的正整数解有(　　)
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
【举一反三2】已知A为第四象限内一点，且点A的坐标是方程x＋y＝0的一组解，请你写出一个满足条件的A点坐标____________(写出一个即可)．
【举一反三3】若x=3-t,y=t+5是一个二元一次方程的解，写出合题意的一个二元一次方程，并写出这个方程的正整数解．
【题型7】已知解写出二元一次方程（组）
【典型例题】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；二元一次方程组的两个方程的______，叫做二元一次方程组的解；
(1)写出二元一次方程2x－y＝2的一个解：____________；
(2)写出一个二元一次方程组________，使它的解是x=1,y=2.
【举一反三1】在括号内填写一个二元一次方程，使其与二元一次方程5x－2y＝1组成方程组 ()的解是你所填写的方程为______________．
【举一反三2】请你写一个关于x，y的二元一次方程组____________，使得它的解为
【题型8】根据实际问题列二元一次方程组
【典型例题】甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三2】小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”．如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三3】某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是( )
A. B. C. D.
【举一反三4】某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是(　　)
A. B. C. D.
【题型9】识别二元一次方程
【典型例题】在方程2x2－y2＝0, 3x＋y＝0, 2x＋xy＝1, 3x＋y－2x＝0，x3－x＋1＝0中，属于二元一次方程的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】下列方程中，不是二元一次方程的是(　　)
A.x－2y＝3 B.x＝2y C.xy＝3 D.x－y＝1＋y
【举一反三2】下列式子中，属于二元一次方程的是(　　)
A.2x＋3＝x－5 B.x＋y＜2 C.3x－1＝2－5y D.xy≠1
【举一反三3】在式子①2a＋b，②xy＝2，③x＝y，④x2＋y＝3，⑤x＋2＝5，⑥a－1＝b，⑦2x－y＝0中是二元一次方程的是(　　)
A.①③⑥ B.②③⑥ C.③④⑦ D.③⑥⑦
【举一反三4】下列是二元一次方程的是(　　)
A.x＋y B.x＋3y＞8 C.＋＝3 D.3x＋y＝355.1认识二元一次方程组
【知识点1】二元一次方程的定义 1
【知识点2】二元一次方程组的解 2
【知识点3】二元一次方程组的定义 3
【知识点4】二元一次方程的解 5
【题型1】二元一次方程组的解 6
【题型2】根据二元一次方程（组）的解求字母的取值 8
【题型3】二元一次方程的解 9
【题型4】识别二元一次方程组 10
【题型5】根据二元一次方程的定义求字母的取值 12
【题型6】二元一次方程的特殊解 13
【题型7】已知解写出二元一次方程（组） 14
【题型8】根据实际问题列二元一次方程组 15
【题型9】识别二元一次方程 17
【知识点1】二元一次方程的定义
（1）二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
1.（2025春 兴宁区校级期末）下列等式中，是二元一次方程的是（　　）
A．x-y=6 B．3xy+1=-6 C．3x+2=4x-1 D．x-6=5
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、x-y=6是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
C、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
D、含有一个未知数，不是二元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2.（2025春 长安区期末）已知☆+2y=1是一个二元一次方程，则☆可能是（　　）
A．x B．x2 C．y D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、当☆是x时，x+2y=1，是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、当☆是x2时，x2+2y=1，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、当☆是y时，y+2y=1，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、当☆是时，+2y=1，不是整式方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
3.（2025春 漳州期末）下列等式中是二元一次方程的是（　　）
A．2x-3y=4 B． C．4x-8=0 D．3x2-7x=11
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项符合题意；
B、不是整式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元一次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
【知识点2】二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
1.（2025春 潮阳区期末）已知x,y满足方程组，则x+y=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】方程组两方程左右两边相减求出x+y的值即可．
【解答】解：，
②-①得：x+y=3，
故选：A．
2.（2025春 黄陂区期末）以二元一次方程组的解为坐标的点（m,n）在平面直角坐标系的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先用加减消元法解二元一次方程组，从此确定点的坐标，再判断点的坐标在哪个象限即可．
【解答】解：，
①-②，得n=1，
将n=1代入②，得m=2，
∴点的坐标为（2，1），
∴点（2，1）在第一象限，
故选：A．
【知识点3】二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
1.（2024秋 碑林区校级期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．
【解答】解：A含有三个未知数，它不是二元一次方程组；
B符合条件，它是二元一次方程组；
C中mn项的次数为2，它不是二元一次方程组；
D中存在不是整式的式子，它不是二元一次方程组；
故选：B．
2.（2025春 普陀区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】方程组中共含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，两个方程都是整式方程，由此判断即可．
【解答】解：A、含有三个未知数，所以方程组不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
B、方程组中的第一个方程不是整式方程，所以方程组不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
C、方程组中的第一个方程是二元二次方程，所以方程组不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D、是二元一次方程组，故此选项符合题意；
故选：D．
3.（2025春 宝山区校级期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果．
【解答】解：根据二元一次方程组的定义逐项分析判断如下：
A、不是整式方程，不是二元一次方程组，所以本选项错误，不符合题意；
B、是二元一次方程组，所以本选项正确，符合题意．
C、xy=4含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，所以本选项错误，不符合题意．
D、x2-1=0含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，所以本选项错误，不符合题意．
故选：B．
【知识点4】二元一次方程的解
（1）定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
1.（2025春 玄武区期末）下列四对数值，是二元一次方程x-y+1=0的解的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的解的定义把每个选项中的x、y的值代入方程验证即可．
【解答】解：A、把代入二元一次方程x-y+1=0，左边=-2，右边=0，左边≠右边，所以不是二元一次方程x-y+1=0的解，故此选项不符合题意；
B、把代入二元一次方程x-y+1=0，左边=1，右边=0，左边≠右边，所以不是二元一次方程x-y+1=0的解，故此选项不符合题意；
C、把代入二元一次方程x-y+1=0，左边=0，右边=0，左边=右边，所以是二元一次方程x-y+1=0的解，故此选项符合题意；
D、把代入二元一次方程x-y+1=0，左边=2，右边=0，左边≠右边，所以不是二元一次方程x-y+1=0的解，故此选项不符合题意；
故选：C．
2.（2025春 祁东县期末）已知是关于x,y的二元一次方程x+ky=3的一个解，则k的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的解的定义把代入关于x,y的二元一次方程x+ky=3中即可求出k的值．
【解答】解：把代入关于x,y的二元一次方程x+ky=3中，得2-k=3，
解得k=-1，
故选：A．
【题型1】二元一次方程组的解
【典型例题】下列四组值中，是方程组的解的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】把代入方程2x-y=1得2-4=-2，不成立，所以不是的解；把代入方程x+y=5得0+（-1）=-1，不成立，所以不是的解；把代入方程2x-y=1得5×2-0=10，不成立，所以不是的解；把代入两个方程都成立，所以是的解.
【举一反三1】下列方程组中，解为的方程组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把代入方程x-y=4得8-2=4，不成立，所以不是的解；把代入方程x+y=10与x-2y=4，都成立，所以是的解；把代入方程x+2y=11得8+2×2=11，不成立，所以不是的解；把代入方程x-2y=5得8-2×2=5，不成立，所以不是的解.
【举一反三2】是下列哪个方程组的解（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】把代入方程2x-y=0得2-（-2）=4，不成立，所以不是的解；把代入方程x-y=-1得1-（-2）=3，不成立，所以不是的解；把代入方程2x-y=3得2-（-2）=4，不成立，所以不是的解；把代入两个方程都成立，所以是的解.
【举一反三3】下列方程组中，解为的方程组是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】把代入方程x-y=4得8-2=4，不成立，所以不是的解；把代入方程x+y=10与x-2y=4，都成立，所以是的解；把代入方程x+2y=11得8+2×2=11，不成立，所以不是的解；把代入方程x-2y=5得8-2×2=5，不成立，所以不是的解.
【举一反三4】下列四组值中，是方程组的解的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】把代入方程2x-y=1得2-4=-2，不成立，所以不是的解；把代入方程x+y=5得0+（-1）=-1，不成立，所以不是的解；把代入方程2x-y=1得5×2-0=10，不成立，所以不是的解；把代入两个方程都成立，所以是的解.
【题型2】根据二元一次方程（组）的解求字母的取值
【典型例题】如果x=-3,y=1是方程ax＋(a－2)y＝0的一组解，则a的值(　　)
A.1 B.2 C.－1 D.－2
【答案】C
【解析】将x=-3,y=1代入方程ax＋(a－2)y＝0，得－3a＋a－2＝0.解得a＝－1.故选C.
【举一反三1】如果x=1,y=m是二元一次方程2x－y＝3的解，则等于(　　)
A.0 B.－1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】∵x=1,y=m是二元一次方程2x－y＝3的解，∴2－m＝3，解得m＝－1.故选B.
【举一反三2】若x=a,y=b是方程2x＋y＝0的一个解(a≠0)，则(　　)
A.a，b同号 B.a，b异号 C.a，b可能同号，也可能异号 D.a≠0，b＝0
【答案】B
【解析】∵y=bx=a，是方程2x＋y＝0的一个解，∴2a＋b＝0，即b＝－2a.又a≠0，∴a，b异号．故选B.
【举一反三3】方程|x－y|＋(2－y)2＝0且x＋2y－m＝0，则m的值为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】∵|x－y|＋(2－y)2＝0，∴x－y＝0,2－y＝0，解得x＝y＝2，将x＝y＝2代入x＋2y－m＝0中，得2＋4－m＝0，则m＝6.故选B.
【举一反三4】已知关于x，y的二元一次方程2x＋□y＝7中，y的系数已经模糊不清，但已知是这个方程的一个解，那么原方程是____________．
【答案】2x＋3y＝7
【解析】设y的系数为k，把代入2x＋ky＝7，得4＋k＝7，解得k＝3，所以原方程即为2x＋3y＝7.故答案为2x＋3y＝7.
【举一反三5】已知x＝1，y＝－8是方程3mx－y＝－1的一个解，则m的值是________．
【答案】－3
【解析】把x＝1，y＝－8代入方程3mx－y＝－1，得3m＋8＝－1，解得m＝－3.故答案为－3.
【举一反三6】如果x=3,y=2是方程6x＋by＝32的解，则b＝________.
【答案】7
【解析】把x＝3，y＝2代入方程6x＋by＝32，得6×3＋2b＝32，移项，得2b＝32－18，合并同类项，系数化为1，得b＝7.
【举一反三7】已知关于x，y的二元一次方程2x＋□y＝7中，y的系数已经模糊不清，但已知是这个方程的一个解，那么原方程是____________．
【答案】2x＋3y＝7
【解析】设y的系数为k，把代入2x＋ky＝7，得4＋k＝7，解得k＝3，所以原方程即为2x＋3y＝7.故答案为2x＋3y＝7.
【题型3】二元一次方程的解
【典型例题】二元一次方程x－2y＝1有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将代入方程，得左边＝1－0＝1，右边＝1，即左边＝右边，则x=1,y=0是方程x－2y＝1的解．故选D.
【举一反三1】若一个二元一次方程的一个解为x=2,y=-1,则这个方程可以是(　　)
A.x＋y＝1 B.x－y＝1 C.y－x＝1 D.x＋2y＝1
【答案】A
【解析】∵一个二元一次方程的一个解为x=2,y=-1,∴x＋y＝1，x－y＝3，y－x＝－3，x＋2y＝0.故A正确，B，C，D错误．故选A.
【举一反三2】在四对数值①②③④中，满足方程2x－y＝7有________；满足方程x＋2y＝－4有 ________；是方程组2x-y=7,x+2y=-4的解的是 ________(填上序号)．
【答案】①②　 ②③　 ②
【解析】将①②③④分别代入2x－y＝7，①②成立；将①②③④分别代入x＋2y＝－4，②③成立；于是②是方程组的解．故答案为①②；②③；②.
【举一反三3】检验下列各数是不是方程2x＋y＋1＝x－y－3的解.
(1) (2) (3)
【答案】解　(1)将分别代入方程2x＋y＋1＝x－y－3的左右两边，得左边＝2×2－3＋1＝2，右边＝2＋3－3＝2，左边＝右边，所以是方程2x＋y＋1＝x－y－3的解；(2)将分别代入方程2x＋y＋1＝x－y－3的左右两边，得左边＝2×1＋0＋1＝3，右边＝1－0－3＝－2，左边≠右边，所以不是方程2x＋y＋1＝x－y－3的解；
(3)将分别代入方程2x＋y＋1＝x－y－3的左右两边，得左边＝2×0－2＋1＝－1，右边＝0＋2－3＝－1，左边＝右边，所以是方程2x＋y＋1＝x－y－3的解．
【举一反三4】小明是一位爱动脑筋的同学，他经常利用课余时间钻研一些数学问题．经过研究，它发现：对于任意有理数m，x＝5m＋2，y＝3m＋2都是方程3x－5y＋4＝0的解．你认为小明发现的结论正确吗？若正确，给出你的理由；若不正确，试举出反例．
【答案】解 小明的结论正确，
理由为把x＝5m＋2，y＝3m＋2代入方程左边，
得15m＋6－15m－10＋4＝0，右边＝0，
∴左边＝右边，
则小明发现的结论正确．
【题型4】识别二元一次方程组
【典型例题】下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A.是三元一次方程组，故A错误；
B.是二元一次方程组，故B正确；
C.是二元二次方程组，故C错误；
D.是二元二次方程组，故D错误；故选B.
【举一反三1】下列方程组中,是二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A选项中第一个方程不是整式方程；
B选项中xy项的次数是2次；
C选项中含有3个未知数,错误.
【举一反三2】下列不是二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.符合二元一次方程组的定义，属于二元一次方程组，故本选项错误；
B.符合二元一次方程组的定义，属于二元一次方程组，故本选项错误；
C.是分式，不属于二元一次方程组，故本选项正确；
D.符合二元一次方程组的定义，属于二元一次方程组，故本选项错误；故选C.
【举一反三3】下列方程组中,是二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A选项中第一个方程不是整式方程；
B选项中xy项的次数是2次；
C选项中含有3个未知数,错误.
【举一反三4】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A.是三元一次方程组，故A错误；
B.是二元二次方程组，故B错误；
C.是二元一次方程组，故C正确；
D.是分式方程，故D错误；故选C.
【题型5】根据二元一次方程的定义求字母的取值
【典型例题】方程(m2－9)x2＋x－(m＋3)y＝0是关于x、y的二元一次方程，则m的值为(　　)
A.±3 B.3 C.－3 D.9
【答案】B
【解析】由题意，得m2－9＝0，且m＋3≠0，解得m＝3，故选B.
【举一反三1】如果方程2xm－1－3＝1是关于x、y的二元一次方程，那么m、n的值分别为(　　)
A.1,0 B.2，－3 C.1，－3 D.1,1
【答案】B
【解析】∵方程2xm－1－3＝1是关于x、y的二元一次方程，∴m－1＝1,2m＋n＝1 ，解得m＝2，n＝－3.故选B.
【举一反三2】如果方程2xm－1－3＝1是关于x、y的二元一次方程，那么m、n的值分别为(　　)
A.1,0 B.2，－3 C.1，－3 D.1,1
【答案】B
【解析】∵方程2xm－1－3＝1是关于x、y的二元一次方程，∴m－1＝1,2m＋n＝1 ，解得m＝2，n＝－3.故选B.
【举一反三3】若方程(m－3)＝3yn＋1＋4是二元一次方程，则m，n的值分别为(　　)
A.2，－1 B.－3,0 C.3,0 D.±3,0
【答案】B
【解析】由(m－3)＝3yn＋1＋4是二元一次方程，得|m|－2＝1，m－3≠0，n＋1＝1，解得m＝－3，n＝0，故选B.
【举一反三4】若方程(m﹣2)x+2y＝4是关于x、y的二元一次方程，则m满足的条件是　　．
【答案】m≠2
【解析】∵方程(m﹣2)x+2y＝4是关于x、y的二元一次方程，
∴m﹣2≠0，
解得m≠2．
【举一反三5】若方程是关于， 的二元一次方程，求的值_______.
【答案】5
【解析】由解得，
由 解得．
．
【举一反三6】若方程是关于， 的二元一次方程，求的值_______.
【答案】5
【解析】由解得，
由 解得．
．
【举一反三7】已知(k﹣2)x|k|﹣1﹣2y＝1，则k＝____时，它是关于x，y的二元一次方程．
【答案】﹣2
【解析】∵(k﹣2)x|k|﹣1﹣2y＝1是二元一次方程，
∴|k|﹣1＝1，k﹣2≠0．
解得：k＝﹣2．
【题型6】二元一次方程的特殊解
【典型例题】方程2x＋y＝7的正整数解(　　)
A.有无数对 B.只有一对 C.只有三对 D.以上都不对
【答案】C
【解析】∵2x＋y＝7，∴y＝7－2x，∵x、y都是正整数，∴x＝1时，y＝5；x＝2时，y＝3；x＝3时，y＝1.∴方程2x＋y＝7的正整数解只有3对．故选C.
【举一反三1】二元一次方程2x＋5y＝32的正整数解有(　　)
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
【答案】A
【解析】方程2x＋5y＝32可变形为y＝，∵x、y均为正整数，∴32－2x＞0且为5的倍数，当x＝1时，y＝6，当x＝6时，y＝4，当x＝11时，y＝2，∴方程2x＋5y＝32的正整数解有3组，故选A.
【举一反三2】已知A为第四象限内一点，且点A的坐标是方程x＋y＝0的一组解，请你写出一个满足条件的A点坐标____________(写出一个即可)．
【答案】(1，－1)
【解析】∵点A为第四象限内一点，且点A的坐标是方程x＋y＝0的一组解，∴点A的坐标为(1，－1)，故答案为(1，－1)．
【举一反三3】若x=3-t,y=t+5是一个二元一次方程的解，写出合题意的一个二元一次方程，并写出这个方程的正整数解．
【答案】解 因为x=3-t,y=t+5是二元一次方程的解，
所以可得二元一次方程3－x＝y－5，
把x＝1、2、3、4、5、6、7代入，
得y的值是7、6、5、4、3、2、1；
方程的整数解有x=1,y=7,x=2,y=6,x=3,y=5,x=4,y=4,x=5,y=3,x=6,y=2,x=7,y=1.
【题型7】已知解写出二元一次方程（组）
【典型例题】一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；二元一次方程组的两个方程的______，叫做二元一次方程组的解；
(1)写出二元一次方程2x－y＝2的一个解：____________；
(2)写出一个二元一次方程组________，使它的解是x=1,y=2.
【答案】公共解 (1) (2)
【解析】(1)方程2x－y＝2的一个解为
(2)二元一次方程组的解是
故答案为公共解；(1) (2)
【举一反三1】在括号内填写一个二元一次方程，使其与二元一次方程5x－2y＝1组成方程组 ()的解是你所填写的方程为______________．
【答案】x＋y＝3
【解析】在括号内填写一个二元一次方程x＋y＝3，其与二元一次方程5x－2y＝1组成方程组的解是故答案为x＋y＝3.
【举一反三2】请你写一个关于x，y的二元一次方程组____________，使得它的解为
【答案】 (答案不唯一)
【解析】关于x，y的二元一次方程组使得它的解为x=0,y=1.故答案为
【题型8】根据实际问题列二元一次方程组
【典型例题】甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】两个等量关系为顺水时间×顺水速度＝360；逆水时间×逆水速度＝360，把相关数值代入即可，根据题意可得，顺水速度＝x＋y，逆水速度＝x－y，∴根据所走的路程可列方程组为.故选A.
【举一反三1】某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分别利用有35名学生以及购票恰好用去750元，得出等式，设买了x张甲种票，y张乙种票，根据题意，可得.故选B.
【举一反三2】小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”．如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，由题意，得化简得.故选A.
【举一反三3】某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据甲乙两种奖品共30件，可找到等量关系列出一个方程，在根据甲乙两种奖品的总价格找到一个等量关系列出一个方程，将两个方程组成一个二元一次方程组．设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，甲、乙两种奖品共30件，所以x＋y＝30，因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，所以16x＋12y＝400，由上可得方程组.故选B.
【举一反三4】某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去750元，甲、乙两种票各买了多少张？设买了x张甲种票，y张乙种票，则所列方程组正确的是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分别利用有35名学生以及购票恰好用去750元，得出等式，设买了x张甲种票，y张乙种票，根据题意，可得.故选B.
【题型9】识别二元一次方程
【典型例题】在方程2x2－y2＝0, 3x＋y＝0, 2x＋xy＝1, 3x＋y－2x＝0，x3－x＋1＝0中，属于二元一次方程的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】在方程2x2－y2＝0,3x＋y＝0,2x＋xy＝1,3x＋y－2x＝0，x3－x＋1＝0中，属于二元一次方程的有3x＋y＝0,3x＋y－2x＝0，故选B.
【举一反三1】下列方程中，不是二元一次方程的是(　　)
A.x－2y＝3 B.x＝2y C.xy＝3 D.x－y＝1＋y
【答案】C
【解析】A.x－2y＝3，符合二元一次方程的定义，不符合题意；
B．x＝2y，符合二元一次方程的定义，不符合题意；
C．xy＝3，是二元二次方程，符合题意；
D．x－y＝1＋y，符合二元一次方程的定义，不符合题意．故选C.
【举一反三2】下列式子中，属于二元一次方程的是(　　)
A.2x＋3＝x－5 B.x＋y＜2 C.3x－1＝2－5y D.xy≠1
【答案】C
【解析】A.由2x＋3＝x－5，得x＋8＝0，未知数x的指数是1，属于一元一次方程；故本选项错误；
B.x＋y＜2不是等式，属于二元一次不等式；故本选项错误；
C.3x－1＝2－5y中含有两未知数的整式方程，它属于二元一次方程；故本选项正确；
D.xy≠1，不是等式，故本选项错误；故选C.
【举一反三3】在式子①2a＋b，②xy＝2，③x＝y，④x2＋y＝3，⑤x＋2＝5，⑥a－1＝b，⑦2x－y＝0中是二元一次方程的是(　　)
A.①③⑥ B.②③⑥ C.③④⑦ D.③⑥⑦
【答案】D
【解析】①2a＋b是代数式，不是方程；②xy＝2不是整式方程，③x＝y是二元一次方程，④x2＋y＝3未知数的次数为2，不是二元一次方程，⑤x＋2＝5是一元一次方程，⑥a－1＝b是二元一次方程，⑦2x－y＝0是二元一次方程．故这些式子中是二元一次方程的是③⑥⑦.故选D.
【举一反三4】下列是二元一次方程的是(　　)
A.x＋y B.x＋3y＞8 C.＋＝3 D.3x＋y＝35
【答案】D
【解析】A.x＋y是代数式，不是方程；故本选项错误；
B.x＋3y＞8是不等式，不是方程；故本选项错误；
C.＋＝3是分式方程，不是整式方程；故本选项错误；
D.3x＋y＝35符合二元一次方程的定义；故本选项正确．故选D.

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