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5.4二元一次方程与一次函数
【知识点1】一次函数与二元一次方程（组） 1
【题型1】二元一次方程（组）与一次函数 2
【题型2】用待定系数法求一次函数的表达式 5
【知识点1】一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
1.（2023春 老边区期末）已知直线y=-x+4与y=x+2的图象如图（单位长度为1），则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
2.（2024春 唐河县期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．丽丽根据图象得到如下结论：①在一次函数y=ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程mx+n=0的解为x=2；④当x=0时，ax+b=-1．其中结论正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【题型1】二元一次方程（组）与一次函数
【典型例题】已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣2x+3的交点坐标是（　　）
A.（﹣1，﹣5） B.（﹣1，5） C.（0，3） D.（5，﹣1）
【举一反三1】如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三5】如图，直线AB：y＝kx+b与直线CD：y＝mx+n交于点E（3，1），则关于x的二元一次方程组的解为 　　 ．
【举一反三6】如图，若一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，m），则方程组的解为 　　 ．
【举一反三7】定义：我们把直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝﹣x的交点称为直线y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求直线y＝3x﹣2的“不动点”：联立方程，解得，则y＝3x﹣2的“不动点”为．若直线y＝mx+n的“不动点”为（n﹣1，3），则m、n的值分别为 　　 ．
【举一反三8】如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，a），则方程组的解为 　　 ．
【题型2】用待定系数法求一次函数的表达式
【典型例题】函数y＝kx+2，经过点（1，3），则y＝0时，x＝（　　）
A.﹣2 B.2 C.0 D.±2
【举一反三1】若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（　　）
A.6或﹣6 B.6 C.﹣6 D.6和3
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（5，4），则直线AE的解析式为 　　 ．
【举一反三3】如图一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点B．
（1）写出点A和点B的坐标并求出k、b的值；
（2）求出当x＝时的函数值．
【举一反三4】为鼓励实习员工工作积极性，某公司提供了两种实习员工月工资方案，方案一如图所示，方案二每生产一件产品25元，实习员工可以任选一种方案与公司签订合同．
（1）方案一中，当x≥30时，求月工资y（元）与生产产品x（件）的关系式；
（2）某实习员工发现，当月选择方案一比选择方案二月工资多450元，求该实习员工生产产品的件数．5.4二元一次方程与一次函数
【知识点1】一次函数与二元一次方程（组） 1
【题型1】二元一次方程（组）与一次函数 3
【题型2】用待定系数法求一次函数的表达式 8
【知识点1】一次函数与二元一次方程（组）
（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系
（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义．
1.（2023春 老边区期末）已知直线y=-x+4与y=x+2的图象如图（单位长度为1），则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】找出两函数图象的交点坐标即可．
【解答】解：方程组的解为．
故选：B．
2.（2024春 唐河县期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与y=mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．丽丽根据图象得到如下结论：①在一次函数y=ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组的解为；③方程mx+n=0的解为x=2；④当x=0时，ax+b=-1．其中结论正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数图象的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【解答】解：由一次函数y=ax+b的图象过二，三，四象限，可知y的值随着x值的增大而减小，故①不符合题意；
由图象可得方程组的解为，
即方程组的解为，故②符合题意；
由函数图象可知，一次函数y=mx+n（a＜m＜0）与x轴交于（2，0），
∴方程mx+n=0的解为x=2，故③符合题意；
由图可知，一次函数y=ax+b的图象与y轴的交点在（0，-1）点的下方，可知当x=0时，ax+b≠-1，故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，共2个．
故选：C．
【题型1】二元一次方程（组）与一次函数
【典型例题】已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣2x+3的交点坐标是（　　）
A.（﹣1，﹣5） B.（﹣1，5） C.（0，3） D.（5，﹣1）
【答案】B
【解析】∵关于x，y的方程组的解是，
∴2×（﹣1）+m﹣3＝0，
∴m＝5，
∵方程组是由y＝﹣x+b与y＝﹣2x+3组成的，
∴直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣2x+3的交点坐标是（﹣1，5）．
【举一反三1】如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将（m，4）代入y＝x+2得4＝m+2，
解得m＝2，
∴点P坐标为（2，4），
∴方程组的解为：．
【举一反三2】如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线l1的解析式为y＝kx+b，
∵l1经过点（0，1.5）和（2，3），
∴，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝x+1.5，
设直线l2的解析式为y＝ax，
∵l2经过点（2，3），
∴3＝2a，
解得：a＝，
∴直线l2的解析式为y＝x，
∴以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是，
即．
【举一反三3】如图，l1经过点（0，1.5）和（2，3），l2经过原点和点（2，3），以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设直线l1的解析式为y＝kx+b，
∵l1经过点（0，1.5）和（2，3），
∴，
解得：，
∴直线l1的解析式为y＝x+1.5，
设直线l2的解析式为y＝ax，
∵l2经过点（2，3），
∴3＝2a，
解得：a＝，
∴直线l2的解析式为y＝x，
∴以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是，
即．
【举一反三4】如图，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（m，4），则方程组的解是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将（m，4）代入y＝x+2得4＝m+2，
解得m＝2，
∴点P坐标为（2，4），
∴方程组的解为：．
【举一反三5】如图，直线AB：y＝kx+b与直线CD：y＝mx+n交于点E（3，1），则关于x的二元一次方程组的解为 　　 ．
【答案】
【解析】∵直线AB：y＝kx+b与直线CD：y＝mx+n交于点E（3，1），
则关于x的二元一次方程组的解为．
【举一反三6】如图，若一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象交于点（1，m），则方程组的解为 　　 ．
【答案】
【解析】∵正比例函数y＝2x的图象过点（1，m），
∴m＝2×1＝2，
∴一次函数y＝kx+3与正比例函数y＝2x的图象的交点为（1，2），
∴方程组的解为．
【举一反三7】定义：我们把直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝﹣x的交点称为直线y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求直线y＝3x﹣2的“不动点”：联立方程，解得，则y＝3x﹣2的“不动点”为．若直线y＝mx+n的“不动点”为（n﹣1，3），则m、n的值分别为 　　 ．
【答案】﹣，﹣2
【解析】∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（n﹣1，3），
∴n﹣1＝﹣3，
∴n＝﹣2，
∴“不动点”为（﹣3，3），
∴3＝﹣3m﹣2，
解得m＝﹣．
【举一反三8】如图，直线l1：y＝2x+1与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，a），则方程组的解为 　　 ．
【答案】
【解析】∵y＝2x+1经过P（2，a），
∴a＝2×2+1＝5，
∴直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝kx+b相交于点P（2，5），
即．
【题型2】用待定系数法求一次函数的表达式
【典型例题】函数y＝kx+2，经过点（1，3），则y＝0时，x＝（　　）
A.﹣2 B.2 C.0 D.±2
【答案】A
【解析】根据题意1×k+2＝3，
解得k＝1，
∴函数解析式为y＝x+2，
当y＝0时，x+2＝0，
解得x＝﹣2．
故选：A．
【举一反三1】若点A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）在同一条直线上，则a的值是（　　）
A.6或﹣6 B.6 C.﹣6 D.6和3
【答案】B
【解析】设一次函数的解析式为y＝kx+b，把A（2，﹣3）、B（4，3）、C（5，a）代入得
，
解得．
a的值是6．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（5，4），则直线AE的解析式为 　　 ．
【答案】
【解析】∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（5，4），
∴AD＝OC＝5，DC＝AO＝4，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD＝AF＝5，DE＝EF，
在Rt△AOF中，，
∴FC＝5﹣3＝2，
设EC＝x，
则DE＝EF＝4﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，
即（4﹣x）2＝x2+22，
解得：，
即EC的长为，
∴点E的坐标为．
设直线AE为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AE为：．
【举一反三3】如图一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点B．
（1）写出点A和点B的坐标并求出k、b的值；
（2）求出当x＝时的函数值．
【答案】解：（1）由图可得：A（﹣1，3），B（2，﹣3），
将这两点代入一次函数y＝kx+b得：，
解得：
∴k＝﹣2，b＝1；
（2）将x＝代入y＝﹣2x+1得：y＝﹣2．
【举一反三4】为鼓励实习员工工作积极性，某公司提供了两种实习员工月工资方案，方案一如图所示，方案二每生产一件产品25元，实习员工可以任选一种方案与公司签订合同．
（1）方案一中，当x≥30时，求月工资y（元）与生产产品x（件）的关系式；
（2）某实习员工发现，当月选择方案一比选择方案二月工资多450元，求该实习员工生产产品的件数．
【答案】解：（1）方案一中，当x≥30时，设月工资y（元）与生产产品x（件）的关系式为y＝kx+b（k≠0），
将A（30，600），（50，1400）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴方案一中，当x≥30时，月工资y（元）与生产产品x（件）的关系式为y＝40x﹣600；
（2）根据题意得：40x﹣600﹣25x＝450，
解得：x＝70，
∴该实习员工生产产品的件数为70件．

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