资源简介

6.1平均数与方差
【知识点1】方差 1
【知识点2】加权平均数 2
【知识点3】众数 2
【知识点4】标准差 2
【知识点5】算术平均数 2
【题型1】算术平均数的实际应用 3
【题型2】标准差与极差 3
【题型3】用统计图判断方差的大小 5
【题型4】用加权平均数确定参赛选手 8
【题型5】方差的计算 9
【题型6】算术平均数 10
【题型7】众数与统计表 11
【题型8】众数与平均数 13
【题型9】用统计图分析众数 14
【题型10】众数 16
【题型11】加权平均数及其应用 17
【题型12】用统计图分析平均数 18
【题型13】用样本平均数估计总体平均数 20
【题型14】方差的变化规律 22
【题型15】方差的实际应用 23
【知识点1】方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【知识点2】加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
【知识点3】众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
【知识点4】标准差
（1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．
公式：s=s2=1n[（x1-x ）2+（x2-x ）2+…+（xn-x ）2]
（2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【知识点5】算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则=（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
【题型1】算术平均数的实际应用
【典型例题】2023年以来，成都创建“文明典范城市”工作中，某校开展“文明伴成长”画展，其中彩铅、水墨、水彩、速写四个类别的幅数分别为：18，12，18，20，则这组数据的平均数为（　　）
A.15 B.16 C.17 D.18
【举一反三1】在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是（　　）
A.7小时 B.7.5小时 C.8小时 D.9小时
【举一反三2】小明同学在某学期德智体美劳的各项评价得分依次为10分、9分、8分、9分、9分，则小明同学五项评价的平均得分为（　　）
A.7分 B.8分 C.9分 D.10分
【举一反三3】某学习小组对学校附近一超市2022年3月至10月西红柿价格进行调研，结果统计如下表：（价格：元/千克）
上表中西红柿价格的平均数为 　 　．
【举一反三4】某次体操比赛，六位评委对某位选手的打分（单位：分）如下：
9.5， 9.3， 9.1， 9.5， 9.4， 9.3．
（1）求这六个分数的平均分；
（2）如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下分数的平均值作为这位选手的最后得分，那么该选手的最后得分是多少？
【题型2】标准差与极差
【典型例题】一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：
请你帮采购小组出谋划策，应选购（　　）
A.甲苗圃的树苗 B.乙苗圃的树苗 C.丙苗圃的树苗 D.丁苗圃的树苗
【举一反三1】若一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为6，则x的值是（　　）
A.﹣2 B.2或﹣5 C.5 D.5或﹣2
【举一反三2】已知一组数据6、2、4、4、5，则这一组数据的极差为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】已知数据x1，x2，…xn的方差是4，则3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的标准差为 　 　．
【举一反三4】一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分＝个人成绩﹣平均成绩）÷成绩标准差．
从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学、英语哪个学科考得更好？
【举一反三5】现有一组数：﹣13、|﹣4|、﹣（﹣3）、﹣22、0、﹣（+2），请回答下列问题：
（1）这组数中所有负数的和为 　 　；
（2）若一组数中的最大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为 　 　；
（3）画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“＜”连接起来．
【题型3】用统计图判断方差的大小
【典型例题】某电器集团营销点自去年12 月份至今年5月份销售两种不同品牌冰箱的数量如图，则下列说法正确的是（　　）
A.甲品牌销售量较稳定 B.乙品牌销售量较稳定 C.甲、乙品牌销售量一样稳定 D.不能确定哪种品牌销售量稳定
【举一反三1】观察图中两组数据的折线图，你认为下列说法中正确的是（　　）
A.离散程度较大的是甲组数据 B.离散程度较大的是乙组数据 C.甲、乙两组数据离散程度一样大 D.仅凭本图不能作出判断
【举一反三2】如图所示是甲、乙两种甜玉米产量数据整理的情况，则产量较为稳定的是（　　）
A.甲 B.乙 C.甲、乙一样稳定 D.无法确定
【举一反三3】甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如图所示：设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为、，射击成绩的方差依次为、，那么下列判断中正确的是（　　）
A.＝， B.＝， C.＝， D.＜，
【举一反三4】甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定
【举一反三5】如图，是小明和小红两位同学最近四次的数学测试成绩的折线统计图，在这四次测试中，成绩比较稳定的是 　 　．（填“小明”或“小红”）
【举一反三6】如图是甲、乙两位选手6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，我们可以判断 选手的成绩更稳定．（填甲或乙）
【举一反三7】某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2．（填“＞”“＜”或“=”）
【举一反三8】某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩折线统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是 　 　（填“小乐”或“小涵”）．
【题型4】用加权平均数确定参赛选手
【典型例题】实施青少年生涯规划教育，有助于加深青少年的自我认知，引导青少年设立人生目标，提高学习自主性，促进身心健康发展．近日，宝安区某初中学校开展了“国际未来商业菁英生涯规划模拟挑战赛”的预选赛，甲、乙、丙、丁四位候选人进行了现场模拟和即兴演讲，他们的成绩如表：
若规定现场模拟成绩与即兴演讲成绩依次按60%和40%的比例确定最终成绩，（　　）将以第一名的成绩胜出．
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【举一反三1】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如表（单位：分）．公司的管理层经过讨论认为该职位对能力方面的要求最为重要，给出四项得分的比例为1：1：2：1，则甲、乙两人最终的得分分别为（　　）
A.7.25分，7.5分 B.7.4分，7.5分 C.7.25分，7.8分 D.7.4分，7.8分
【举一反三2】某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按6：4的比例确定各人的最后得分，然后录用得分最高的候选人．最终被录用的是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【举一反三3】某商场准备招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示：
若商场对计算机、语言和商品知识的成绩分别按2：3：5的比确定，通过计算，应该录取 　 　．
【举一反三4】某校为助力我市旅发大会，特组织七年级各班的合唱比赛，决定在七年级各班中选取合唱成绩最好的班级参加这次演出，其中两个班的各项得分如表：
（1）请计算两个班这三项的平均得分，根据平均得分比较哪个班成绩更好？
（2）如果将服装、音准、创新三项得分按1：7：2的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个班成绩更好？
【题型5】方差的计算
【典型例题】数据2、3、3、4的方差是（　　）
A.2 B.1.5 C.0.5 D.0.3
【举一反三1】若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则 x 的值可以为（　　）
A.12 B.10 C.2 D.0
【举一反三2】小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径（单位：cm），他将得到的数进行分析并列出方差公式为S2＝×[（50﹣）2×2+（60﹣）2×3+（70﹣）2×2]，则组数据的平均数与众数分别（　　）
A.60，50 B.60，60 C.70，60 D.70，70
【举一反三3】一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（　　）
A.2 B.4 C.1 D.3
【举一反三4】为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
这十户家庭的月用水量的方差是 　 　．
【举一反三5】小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+ +x20＝40460，当代数式取得最小值时，x的值为 　 　．
【举一反三6】已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则x＝　 　；这组数据的方差为 　 　．
【题型6】算术平均数
【典型例题】在1，6，4，x,2中，平均数是3，则代数式x2-3的值是（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三1】在数据4，5，6，5中添加一个数据，而平均数不发生变化，则添加的数据为（　　）
A.0 B.5 C.4.5 D.5.5
【举一反三2】一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是x，另一组数据2x1+5，2x2+5，2x3+5，2x4+5，2x5+5的平均数是（　　）
A.x B.2x C.2x+5 D.10x+25
【举一反三3】已知一组数据，前8个数据的平均数是x，还有两个数据的分别为84，84，则这组数据的平均数是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三4】已知一组数据是8，4，7，a，10，其平均数是7.4，则a的值为（　　）
A.7.4 B.8 C.9 D.10
【举一反三5】已知一组数据0，2，x，3，5的平均数是x﹣1，则这组数据的平均数为 　 　．
【举一反三6】已知1，2，3，4，x，y，z的平均数是5，那么x+y+z的值是 　　．
【举一反三7】有A，B两组数据，如表所示：
A，B两组数据的平均数分别为，，则　 　．（填“＞”“＜”或“＝”）
【题型7】众数与统计表
【典型例题】祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为（　　）
A.4.5 B.5 C.9 D.14
【举一反三1】荸荠口感脆甜，营养丰富，黄岩院桥素有“店头荸荠三根葱”的美誉．某校兴趣小组对50株荸荠的叶状茎生长度进行测量、记录，统计如表：
这批荸荠叶状茎长度的众数为（　　）
A.45.6 B.46.5 C.46.9 D.47.8
【举一反三2】在跳水运动中，全红婵的“水花消失术”举世闻名．如下表所示的数据是2023年5月8日举行的跳水世界杯蒙特利尔站女子10米台决赛中全红婵某轮的得分情况，这组得分的众数是（　　）
A.9.5 B.9.7 C.9.9 D.10.0
【举一反三3】 “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如下表：
则视力的众数是（　　）
A.4.5 B.4.6 C.4.7 D.4.8
【举一反三4】某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则该组数据的众数为（　　）
A.8 B.7.8 C.9 D.8.4
【举一反三5】某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的众数是　 　．
【举一反三6】某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋．各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 　 　．
【举一反三7】小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩（单位：分）统计如下：
则七次测试成绩数据中的众数是 　 　．
【举一反三8】某课外小组的同学们在实践活动中调查了20户家庭某月用电量，结果如表所示，则这些家庭该月用电量的众数是 　 　度．
【题型8】众数与平均数
【典型例题】已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三1】某校七年学习小组的人数如下：2，2，3，x，3，6，6．已知这组数据的平均数是4，则这组数据的众数是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
【举一反三2】某位同学四次射击测试成绩（单位：环）分别为：9，9，x，8，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则x的值为（　　）
A.10 B.9 C.8 D.7
【举一反三3】在一次体操比赛中，六位评委对某位选手的打分（单位：分）如下：9.2，9.4，9.1，9.3，9.2，9.6，这组数据的平均数和众数分别为（　　）
A.9.3 9.2 B.9.2 9.2 C.9.2 9.3 D.9.3 9.6
【举一反三4】一组数据6，4，3，a，5，2的平均数是4，则这组数据的众数为（　　）
A.3 B. C.4 D.5
【举一反三5】已知一组数据2，3，4，m，﹣2的众数为3，则平均数为 　 　．
【举一反三6】一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，1，4，且这组数据的平均数为2，则这组数据的众数为 　 　．
【举一反三7】已知一组数据2，3，4，m，﹣2的众数为3，则平均数为 　 　．
【题型9】用统计图分析众数
【典型例题】某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果如图所示，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为（　　）
A.6小时 B.7小时 C.8小时 D.5小时
【举一反三1】某超市销售A，B，C，D四种品牌的冷饮，某天的销售情况如图所示，则该超市应多进的冷饮品牌是（　　）
A.A品牌 B.B品牌 C.C品牌 D.D品牌
【举一反三2】如图绘制的是某校八年级100名学生“双减”后每天完成作业所用时间调查统计图，则这部分学生每天完成作业所用时间的众数为（　　）
A.30 B.40 C.1.5 D.2
【举一反三3】如图绘制的是某校八年级100名学生“双减”后每天完成作业所用时间调查统计图，则这部分学生每天完成作业所用时间的众数为（　　）
A.30 B.40 C.1.5 D.2
【举一反三4】4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答活动．为了解活动效果，将所有学生的知识问答成绩进行整理，结果如图所示，则该中学学生知识问答成绩的众数是（　　）
A.6分 B.8分 C.9分 D.10分
【举一反三5】某校八年级6名学生在学校的体测成绩统计如图所示，则这组数据的众数是 分．
【举一反三6】某地5月第1周的日平均气温如图所示，则该地第1周日平均气温的众数为 　 　℃．
【举一反三7】小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是 　 　．
【题型10】众数
【典型例题】空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数．某市4月30日22时至5月1日5时的空气质量指数的整点报告为70，71，69，70，72，70，68，72，这一时段整点空气质量指数的众数是（　　）
A.69 B.70 C.71 D.72
【举一反三1】某射击运动员进行5次射击训练，成绩分别是：5，6，8，8，9（单位：环），这组数据的众数是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三2】 “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取7位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：75，80，82，80，80，85，88．则这组数据的众数为（　　）
A.75 B.80 C.82 D.85
【举一反三3】一组数据有2，0，1，2，3，则这组数据的众数是（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
【举一反三4】 “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是21，23，22，23，24，25，24，23，25．则这组数据的众数是 　 　．
【举一反三5】某校6名学生在一次体育考试中的分数分别是27、28、29、28、30、28．则这组数据的众数是 　 　．
【举一反三6】中小学生的视力状况受到全社会广泛关注．某班全体同学的左眼视力情况统计如下：4.7有2人；4.8有4人；4.9有8人；5.0有10人；5.1有14人；5.2有7人，则这个班同学的左眼视力的众数是 　 　．
【举一反三7】测量7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数是 　 　℃．
【题型11】加权平均数及其应用
【典型例题】2014年8月16日至28日，第二届青年奥运会射击比赛在南京举行，参加该比赛的某位选手在一次训练时成绩如表，则该选手在这次训练时的平均成绩是（　　）
A.8环 B.8.5环 C.9环 D.9.5环
【举一反三1】在一次演讲比赛中，某位选手的演讲内容、演讲表达的得分分别为95分，90分，将演讲内容、演讲表达的成绩按6：4计算，则该选手的成绩是（　　）
A.94分 B.93分 C.92分 D.91分
【举一反三2】一组数据有m个x1，n个x2，p个x3，那么这组数据的平均数为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】为了增强青少年的防毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛．某位选手的演讲内容，语言表达，演讲技巧这三项成绩分别为90分，85分，90分，若依次按30%，40%，30%的比例确定最终成绩，则该选手的比赛成绩是 　 　分．
【举一反三4】为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）：
若按书面测试占30%、实际操作占50%、宣传展示占20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是　 　．
【举一反三5】菲尔兹将是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次.从1936年到2010年，共有53人获奖，获奖者获奖时的年龄分布如图，请计算获奖者的平均获奖年龄．（结果精确到0.1岁）.
【题型12】用统计图分析平均数
【典型例题】某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　）
A.2.8元 B.2.85元 C.3.15元 D.3.55元
【举一反三1】某校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按3：2：2：2：1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明期末操行最终得分为（　　）
A.9 B.9.1 C.45 D.91
【举一反三2】学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（　　）
A.15元 B.16元 C.17元 D.18元
【举一反三3】某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图，则这天销售的四种商品的平均单价是 　 　元．
【举一反三4】小聪家准备购买一台电视机，小聪将收集到的某地区A，B，C三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：
根据上述三个统计图，请解答：
（1）2016～2021年三种品牌电视机销售总量最多的是 　 　品牌，2021年比2020年A品牌月平均销售量的增长率为 　 　．
（2）2021年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？
（3）货比三家后，你建议小聪家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．
【题型13】用样本平均数估计总体平均数
【典型例题】为了了解学生参与家务劳动情况，某老师在所任教班级随机调查了10名学生一周做家务劳动的时间，其统计数据如表：
则这10名学生一周做家务劳动的平均时间是（　　）小时．
A.3.5 B.3 C.2.5 D.2
【举一反三1】已知某外卖平台设置送餐距离超过5千米无法配送，由于给送餐员的费用与送餐距离有关，为更合理设置送餐费用，该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表：
估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为（　　）
A.3千米 B.2.85千米 C.2.35千米 D.1.85千米
【举一反三2】某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表．
则所抽查学生每天睡眠时间的平均数约为（　　）
A.7h B.7.3h C.7.5h D.8h
【举一反三3】某初中学校为了更好地落实教育部“双减”政策，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．则这40名同学每天做书面家庭作业的平均时间是 　 　分钟．
【举一反三4】为了落实“双减”政策，减轻学生作业负担，某学校领导随机调查了九（1）班学生每天在作业上共花费的时间，随机调查了该班10名学生，其统计数据如下表：则这10名学生每天在作业上花费的平均时间是 　 　小时．
【举一反三5】从一批零件毛坯中抽取10个，称得它们的质量（单位：g）如下：
400.0，400.3，401.2，398.9，399.8，399.8，400.0，400.5，399.7，399.8．
求这10个零件的平均质量．
【举一反三6】某渔业养殖户在自家鱼塘中放养了某种鱼2000条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：
（1）求鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
（2）若这种鱼放养的成活率是85%，请估计鱼塘中这种鱼的总重量．（新生鱼和死鱼不计算入内．）
（3）如果把鱼塘中放养的2000条中存活的这种鱼全部卖掉，价格为每千克20元，若投资成本为45000元，求卖出后获得的纯利润．
【题型14】方差的变化规律
【典型例题】如果一组数据a1，a2，……，an的方差是2，那么一组新数据2a1+1，2a2+1，……，2an+1的方差是（　　）
A.3 B.8 C.2 D.4
【举一反三1】甲组数据：a，b，c，d，e和乙组数据：a+2，b+2，c+2，d+2，e+2的方差分别为S甲2和S乙2，则（　　）
A.S甲2＝S乙2 B.S乙2＝S甲2+2 C.S乙2＝S甲2+4 D.S甲2与S乙2的大小不确定
【举一反三2】已知a，b，c的平均数为7，方差为13，则a+2，b+2，c+2的平均数和方差分别是（　　）
A.9，15 B.7，13 C.9，13 D.7，15
【举一反三3】已知第一组数据：1，3，5，7的方差为，第二组数据：6，6，6，6，的方差为，第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为，则S，S，S的大小关系是 　 　．（用“＜”连接）
【举一反三4】如果一组数据a1，a2，…，a6的方差是7，那么一组新数据2a1+5，2a2+5，…，2a6+5的方差是 　 　．
【举一反三5】如图1，有5个数据的折线图，若把图1这组数据的每个数都减去b，得到一组新的数据，画出如图2所示的折线图．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）新数据的方差为6.8，求原数据的方差是多少？
（3）若这一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为S2，另一组新的数据3x1+k，3x2+k，3x3+k，3x4+k，3x5+k的方差为S12，这两组数据的方差有什么关系？
【题型15】方差的实际应用
【典型例题】甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差分别为，，，，则射箭成绩最稳定的是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【举一反三1】甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【举一反三2】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：
根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【举一反三3】近日，生态环境部公布第六批“绿水青山就是金山银山”实践创新基地名单，山西省6个县入选国家生态文明建设示范区，为了响应对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加太原市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90，方差分别是，，．你认为 　 　参加决赛比较合适．
【举一反三4】甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队：178 177 179 179 178 178 177 178 177 179
乙队：178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？6.1平均数与方差
【知识点1】方差 1
【知识点2】加权平均数 2
【知识点3】众数 2
【知识点4】标准差 2
【知识点5】算术平均数 2
【题型1】算术平均数的实际应用 3
【题型2】标准差与极差 4
【题型3】用统计图判断方差的大小 7
【题型4】用加权平均数确定参赛选手 11
【题型5】方差的计算 14
【题型6】算术平均数 16
【题型7】众数与统计表 19
【题型8】众数与平均数 22
【题型9】用统计图分析众数 24
【题型10】众数 28
【题型11】加权平均数及其应用 30
【题型12】用统计图分析平均数 32
【题型13】用样本平均数估计总体平均数 35
【题型14】方差的变化规律 38
【题型15】方差的实际应用 41
【知识点1】方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【知识点2】加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
【知识点3】众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
【知识点4】标准差
（1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．
公式：s=s2=1n[（x1-x ）2+（x2-x ）2+…+（xn-x ）2]
（2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【知识点5】算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则=（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
【题型1】算术平均数的实际应用
【典型例题】2023年以来，成都创建“文明典范城市”工作中，某校开展“文明伴成长”画展，其中彩铅、水墨、水彩、速写四个类别的幅数分别为：18，12，18，20，则这组数据的平均数为（　　）
A.15 B.16 C.17 D.18
【答案】C
【解析】解：这组数据的平均数为＝17，
故选：C．
【举一反三1】在今年中小学全面落实“双减”政策后小丽同学某周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，7，9，7，8，8．则小丽该周每天的平均睡眠时间是（　　）
A.7小时 B.7.5小时 C.8小时 D.9小时
【答案】C
【解析】解：（8+9+7+9+7+8+8）÷7＝8（小时）．
故小丽该周平均每天的睡眠时间为8小时．
故选：C．
【举一反三2】小明同学在某学期德智体美劳的各项评价得分依次为10分、9分、8分、9分、9分，则小明同学五项评价的平均得分为（　　）
A.7分 B.8分 C.9分 D.10分
【答案】C
【解析】解：由题意可得，
小明同学五项评价的平均得分为：（10+9+8+9+9）÷5＝9（分），
故选：C．
【举一反三3】某学习小组对学校附近一超市2022年3月至10月西红柿价格进行调研，结果统计如下表：（价格：元/千克）
上表中西红柿价格的平均数为 　 　．
【答案】7千克
【解析】解：由题意可知，上表中西红柿价格的平均数为：
×（10+9+7+5+5+6+6+8）＝7（千克）．
故答案为：7千克．
【举一反三4】某次体操比赛，六位评委对某位选手的打分（单位：分）如下：
9.5， 9.3， 9.1， 9.5， 9.4， 9.3．
（1）求这六个分数的平均分；
（2）如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下分数的平均值作为这位选手的最后得分，那么该选手的最后得分是多少？
【答案】解：（1）（9.5+9.3+9.1+9.5+9.4+9.3）÷6=9.35（分），
所以这六个分数的平均分为9.35分．
（2）去掉最高分9.5分，去掉最低分9.1分，该选手的最后得分为：
（9.3+9.3+9.4+9.5）÷4=9.375（分）．
【题型2】标准差与极差
【典型例题】一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：
请你帮采购小组出谋划策，应选购（　　）
A.甲苗圃的树苗 B.乙苗圃的树苗 C.丙苗圃的树苗 D.丁苗圃的树苗
【答案】D
【解析】解：∵丁苗圃的树苗平均高度是2.0米，标准差是0.2，标准差最小，
∴采购小组应选购丁苗圃的树苗．
故选：D．
【举一反三1】若一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为6，则x的值是（　　）
A.﹣2 B.2或﹣5 C.5 D.5或﹣2
【答案】D
【解析】解：当x为最大值时，
x﹣（﹣1）＝6，
解得x＝5；
当x为最小值时，
4﹣x＝6，
解得x＝﹣2，
故选：D．
【举一反三2】已知一组数据6、2、4、4、5，则这一组数据的极差为（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】这组数据的极差是6﹣2＝4，
故选：D．
【举一反三3】已知数据x1，x2，…xn的方差是4，则3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的标准差为 　 　．
【答案】6
【解析】解：∵数据x1，x2，…xn的方差是4，
∴3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的方差是：32×4＝36，
∴3x1﹣2，3x2﹣2，…，3xn﹣2的标准差为6．
故答案为：6．
【举一反三4】一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分＝个人成绩﹣平均成绩）÷成绩标准差．
从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学、英语哪个学科考得更好？
【答案】解：（1）数学平均分是：×（71+72+…+70）＝70分，
英语标准差为：＝＝6；
（2）∵数学标准分＝＝，英语标准分＝＝0.5，＞0.5，
∴数学更好．
【举一反三5】现有一组数：﹣13、|﹣4|、﹣（﹣3）、﹣22、0、﹣（+2），请回答下列问题：
（1）这组数中所有负数的和为 　 　；
（2）若一组数中的最大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为 　 　；
（3）画出数轴，并在数轴上表示这一组数，再用“＜”连接起来．
【答案】解：﹣13＝﹣1，|﹣4|＝4，﹣（﹣3）＝3，﹣22＝﹣4，﹣（+2）＝﹣2，
（1）这组数中所有负数的和为：﹣13+（﹣22）+[﹣（+2）]＝﹣1﹣4﹣2＝﹣7，
故答案为：﹣7；
（2）若一组数中的最大值与最小值的差称为极差，则这组数的极差为：|﹣4|﹣（﹣22）＝4+4＝8，
故答案为：8；
（3）如图所示：
故﹣22＜﹣（+2）＜﹣13＜0＜﹣（﹣3）＜|﹣4|．
【题型3】用统计图判断方差的大小
【典型例题】某电器集团营销点自去年12 月份至今年5月份销售两种不同品牌冰箱的数量如图，则下列说法正确的是（　　）
A.甲品牌销售量较稳定 B.乙品牌销售量较稳定 C.甲、乙品牌销售量一样稳定 D.不能确定哪种品牌销售量稳定
【答案】B
【解析】解：读图可得甲品牌的平均数为（7+10+8+10+12+13）÷6＝10，
乙品牌的平均数为（9+10+11+9+12+9）÷6＝10，
故甲品牌的方差为 （9+4+4+9）＝；
乙品牌的方差为 （1+1+1+1+4）＝；
由于S甲2＞S乙2，则销售量较稳定的是乙．
故选：B．
【举一反三1】观察图中两组数据的折线图，你认为下列说法中正确的是（　　）
A.离散程度较大的是甲组数据 B.离散程度较大的是乙组数据 C.甲、乙两组数据离散程度一样大 D.仅凭本图不能作出判断
【答案】B
【解析】解：从图中可以看出：乙组数据的折线统计图起伏较大，所以乙组的数据不如甲组的数据稳定，离散程度较大的是乙组数据，故选B．
【举一反三2】如图所示是甲、乙两种甜玉米产量数据整理的情况，则产量较为稳定的是（　　）
A.甲 B.乙 C.甲、乙一样稳定 D.无法确定
【答案】B
【解析】解：根据图形可知，乙种甜玉米产量比甲的产量波动小，即方差小，所以产量较为稳定的是乙．
故选：B．
【举一反三3】甲、乙两人进行射击比赛，他们5次射击的成绩（单位：环）如图所示：设甲、乙两人射击成绩的平均数依次为、，射击成绩的方差依次为、，那么下列判断中正确的是（　　）
A.＝， B.＝， C.＝， D.＜，
【答案】B
【解析】解：∵＝（7+9+8+6+10）÷5＝8，，＝（7+8+9+8+8）÷5＝8，
∴＝，
∵＝[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，
＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]＝0.4，
∴＞；
故选：B．
【举一反三4】甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么三人中成绩最稳定的是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定
【答案】B
【解析】解：根据图形可得：乙的成绩波动最小，数据最稳定，
则三人中成绩最稳定的是乙；
故选：B．
【举一反三5】如图，是小明和小红两位同学最近四次的数学测试成绩的折线统计图，在这四次测试中，成绩比较稳定的是 　 　．（填“小明”或“小红”）
【答案】小明
【解析】解：从折线统计图波动情况来看，小明的波动较小，所以成绩相对比较稳定．
故答案为：小明．
【举一反三6】如图是甲、乙两位选手6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，我们可以判断 选手的成绩更稳定．（填甲或乙）
【答案】甲
【解析】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，成绩不稳定，甲波动小，成绩更稳定．
故答案为：甲．
【举一反三7】某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2．（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】＞
【解析】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
∴S甲2>S乙2．
故答案为：＞．
【举一反三8】某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩折线统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是 　 　（填“小乐”或“小涵”）．
【答案】小涵．
【解析】解：，
＝144，
，
＝＝20，
∵，，
∴小涵成绩优异且稳定，
故答案位：小涵．
【题型4】用加权平均数确定参赛选手
【典型例题】实施青少年生涯规划教育，有助于加深青少年的自我认知，引导青少年设立人生目标，提高学习自主性，促进身心健康发展．近日，宝安区某初中学校开展了“国际未来商业菁英生涯规划模拟挑战赛”的预选赛，甲、乙、丙、丁四位候选人进行了现场模拟和即兴演讲，他们的成绩如表：
若规定现场模拟成绩与即兴演讲成绩依次按60%和40%的比例确定最终成绩，（　　）将以第一名的成绩胜出．
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
【解析】解：由题意可得，
甲的成绩为：9×60%+9×40%＝9（分），
乙的成绩为：9×60%+7×40%＝8.2（分），
丙的成绩为：7×60%+9×40%＝7.8（分），
丁的成绩为：10×60%+8×40%＝9.2（分），
由上可得，丁的成绩最高，获得第一名，
故选：D．
【举一反三1】某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如表（单位：分）．公司的管理层经过讨论认为该职位对能力方面的要求最为重要，给出四项得分的比例为1：1：2：1，则甲、乙两人最终的得分分别为（　　）
A.7.25分，7.5分 B.7.4分，7.5分 C.7.25分，7.8分 D.7.4分，7.8分
【答案】D
【解析】解：甲最终的得分为：＝7.4（分），
乙最终的得分为：＝7.8（分），
故选：D．
【举一反三2】某校招聘一名教师，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试、面试，他们的各项成绩如下表所示．根据要求，学校将笔试、面试成绩按6：4的比例确定各人的最后得分，然后录用得分最高的候选人．最终被录用的是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
【解析】解：甲的成绩：（80×6+80×4）=80（分），
乙的成绩：（70×6+90×4）=78，
丙的成绩：×（75×6+85×4）=79，
丁的成绩：×（90×6+70×4）=82，
丁得分最高，故最终被录用的是丁．
故选：D．
【举一反三3】某商场准备招聘一名员工，现有甲、乙两人竞聘，通过计算机、语言和商品知识三项测试，他们各自成绩（百分制）如下表所示：
若商场对计算机、语言和商品知识的成绩分别按2：3：5的比确定，通过计算，应该录取 　 　．
【答案】甲
【解析】解：甲的平均成绩为：（分），
乙的平均成绩为：（分），
∴甲的平均成绩高于乙的平均成绩，
∴应该录取甲．
故答案为：甲．
【举一反三4】某校为助力我市旅发大会，特组织七年级各班的合唱比赛，决定在七年级各班中选取合唱成绩最好的班级参加这次演出，其中两个班的各项得分如表：
（1）请计算两个班这三项的平均得分，根据平均得分比较哪个班成绩更好？
（2）如果将服装、音准、创新三项得分按1：7：2的比例确定各班的最终成绩，通过计算比较哪个班成绩更好？
【答案】解：（1）七年级（一）班平均成绩为＝84（分），
七年级（二）班平均成绩为＝83（分），
∵84＞83，
∴七年级（一）班成绩好；
（2）七年级（一）班平均成绩为＝79.9（分），
七年级（二）班平均成绩为＝89.9（分），
∵79.9＜89.9，
∴七年级（二）班成绩好．
【题型5】方差的计算
【典型例题】数据2、3、3、4的方差是（　　）
A.2 B.1.5 C.0.5 D.0.3
【答案】C
【解析】解：平均数＝＝3，
方差×[（2﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2]＝0.5．
故选：C．
【举一反三1】若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则 x 的值可以为（　　）
A.12 B.10 C.2 D.0
【答案】A
【解析】解：5，7，9，11，13，这组数据的平均数为9，方差为S12＝×（42+22+0+22+42）＝8；
数据2，4，6，8，x的方差比这组数据方差大，则有S22＞S12＝8，
当x＝12时，2，4，6，8，12的平均数为6.4，方差为×（4.42+2.42+0.42+1.62+5.62）＝11.84，满足题意，
故选：A．
【举一反三2】小明同学在周末测量了公园里几棵大树的直径（单位：cm），他将得到的数进行分析并列出方差公式为S2＝×[（50﹣）2×2+（60﹣）2×3+（70﹣）2×2]，则组数据的平均数与众数分别（　　）
A.60，50 B.60，60 C.70，60 D.70，70
【答案】B
【解析】解：由方差的计算公式得出这组数据分别为50、50、60、60、60、70、70，
∴这组数据的平均数为＝60，众数是60．
故选：B．
【举一反三3】一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是（　　）
A.2 B.4 C.1 D.3
【答案】A
【解析】解：由平均数的公式得，（0+1+2+3+x）÷5＝2，
解得，x＝4，
∴方差＝[（0﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（4﹣2）2]÷5＝2．
故选：A．
【举一反三4】为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：
这十户家庭的月用水量的方差是 　 　．
【答案】0.4
【解析】解：这十户家庭的月用水量的平均数＝×（5×2+6×6+7×2）＝6（吨），
方差S2＝×[2×（5﹣6）2+6×（6﹣6）2+2×（7﹣6）2]＝0.4．
故答案为：0.4．
【举一反三5】小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x1，x2，…，x20，已知x1+x2+ +x20＝40460，当代数式取得最小值时，x的值为 　 　．
【答案】2023
【解析】解：设y＝（x﹣x1）2+（x﹣x2）2+（x﹣x3）2+…+（x﹣x20）2
＝x2﹣2xx1++x2﹣2xx2++x2﹣2xx3++…+x2﹣2xx20+
＝20x2﹣2（x1+x2+x3+…+x20）x+（+++…+），
＝20x2﹣2×40460x+（+++…+），
则当x＝﹣＝﹣＝2023，
即当x＝2023时，代数式取得最小值，
故答案为：2023．
【举一反三6】已知一组数据1，5，2，4，x的平均数是3，则x＝　 　；这组数据的方差为 　 　．
【答案】3；2
【解析】解：由平均数的公式得：（1+5+2+4+x）÷5＝3，
解得x＝3；
则方差＝[（1﹣3）2+（5﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]＝2．
故答案为：3；2．
【题型6】算术平均数
【典型例题】在1，6，4，x,2中，平均数是3，则代数式x2-3的值是（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】解：∵在1，6，4，x，2中，平均数是3，
∴×（1+6+4+x+2）=3，
∴x=2，
∴x2-3=22-3=1．
故选：B．
【举一反三1】在数据4，5，6，5中添加一个数据，而平均数不发生变化，则添加的数据为（　　）
A.0 B.5 C.4.5 D.5.5
【答案】B
【解析】解：∵数据4，5，6，5的平均数为＝5，
∴添加数据5，新数据的平均数仍然是5，
故选：B．
【举一反三2】一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是x，另一组数据2x1+5，2x2+5，2x3+5，2x4+5，2x5+5的平均数是（　　）
A.x B.2x C.2x+5 D.10x+25
【答案】C
【解析】解：这组数据2x1+5，2x2+5，2x3+5，2x4+5，2x5+5的平均数是：
（2x1+5+2x2+5+2x3+5+2x4+5+2x5+5）÷5
＝[（2x1+2x2+2x3+2x4+2x5）+（5+5+5+5+5）]÷5
＝[2（x1+x2+x3+x4+x5）+（5+5+5+5+5）]÷5
根据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是x，
∴（x1+x2+x3+x4+x5）÷5＝x，
∴x1+x2+x3+x4+x5＝5x，
把x1+x2+x3+x4+x5＝5x代入[2（x1+x2+x3+x4+x5）+（5+5+5+5+5）]÷5得；
＝（10x+25）÷5，
＝2x+5．
故选：C．
【举一反三3】已知一组数据，前8个数据的平均数是x，还有两个数据的分别为84，84，则这组数据的平均数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：这组数据的平均数＝（8x+84+84）÷（8+2）＝．
故选：D．
【举一反三4】已知一组数据是8，4，7，a，10，其平均数是7.4，则a的值为（　　）
A.7.4 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】解：根据题意，得8+4+7+a+10=7.4×5，
解得a=8，
故选：B．
【举一反三5】已知一组数据0，2，x，3，5的平均数是x﹣1，则这组数据的平均数为 　 　．
【答案】
【解析】解：∵这一组数据0，2，x，3，5的平均数是x﹣1，
∴2+x+3+5＝5（x﹣1），
解得x＝，
∴这组数据的平均数为x﹣1＝，
故答案为：．
【举一反三6】已知1，2，3，4，x，y，z的平均数是5，那么x+y+z的值是 　　．
【答案】25
【解析】解：∵1，2，3，4，x，y，z的平均数是5，
∴＝5，
即10+x+y+z＝35，
则x+y+z＝25，
故答案为：25．
【举一反三7】有A，B两组数据，如表所示：
A，B两组数据的平均数分别为，，则　 　．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＝
【解析】解：∵，，
∴=，
故答案为：＝．
【题型7】众数与统计表
【典型例题】祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为（　　）
A.4.5 B.5 C.9 D.14
【答案】C
【解析】解：圆周率的小数点后100位数字之中，出现次数最多的是9，共出现14次，因此的众数为9，
故选：C．
【举一反三1】荸荠口感脆甜，营养丰富，黄岩院桥素有“店头荸荠三根葱”的美誉．某校兴趣小组对50株荸荠的叶状茎生长度进行测量、记录，统计如表：
这批荸荠叶状茎长度的众数为（　　）
A.45.6 B.46.5 C.46.9 D.47.8
【答案】C
【解析】解：在这组数据中，46.9出现23次，次数最多，
∴这批荸荠叶状茎长度的众数为46.9，
故选：C．
【举一反三2】在跳水运动中，全红婵的“水花消失术”举世闻名．如下表所示的数据是2023年5月8日举行的跳水世界杯蒙特利尔站女子10米台决赛中全红婵某轮的得分情况，这组得分的众数是（　　）
A.9.5 B.9.7 C.9.9 D.10.0
【答案】D
【解析】解：由表格数据知，数据10.0出现5次，次数最多，
所以这组数据的众数为10.0，
【举一反三3】 “科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现，某班50名同学的视力检查数据如下表：
则视力的众数是（　　）
A.4.5 B.4.6 C.4.7 D.4.8
【答案】C
【解析】解：由表知，视力为4.7的人数最多，有12人，
所以视力的众数为4.7，
故选：C．
【举一反三4】某校践行“五育并举”，期末时李梅的五育得分如表所示，则该组数据的众数为（　　）
A.8 B.7.8 C.9 D.8.4
【答案】A
【解析】解：由表中数据知，8出现2次，次数最多，
所以该组数据的众数为8，
故选：A．
【举一反三5】某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的众数是　 　．
【答案】7小时
【解析】解：通过统计图表可知，一周阅读时间为6小时及以下的出现6次，7小时的出现11次，8小时的出现8次，9小时的出现8次，10小时及以上的出现7次，根据众数的意义，可得7小时出现的次数最多，因此众数是7小时．
故答案为：7小时．
【举一反三6】某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双学生运动鞋．各种尺码运动鞋的销售量如下表．则这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 　 　．
【答案】24.5
【解析】解：由表知，这组数据中24.5出现次数最多，有12次，所以这组数据的众数为24.5．
故答案为：24.5．
【举一反三7】小明同学将自己前7次数学模拟测试成绩（单位：分）统计如下：
则七次测试成绩数据中的众数是 　 　．
【答案】98
【解析】解：七次测试成绩数据中，98出现的次数最多，故众数为98．
故答案为：98．
【举一反三8】某课外小组的同学们在实践活动中调查了20户家庭某月用电量，结果如表所示，则这些家庭该月用电量的众数是 　 　度．
【答案】180
【解析】解：由表知，这组数据中180出现6次，次数最多，
所以这组数据的众数为180度，
故答案为：180．
【题型8】众数与平均数
【典型例题】已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】解：众数是5，已知的三个数都只出现了一次，所以众数是5，
就可以知道a＝5，
所以平均数＝（2+5+4+5）÷4＝16÷4＝4．
故选：B．
【举一反三1】某校七年学习小组的人数如下：2，2，3，x，3，6，6．已知这组数据的平均数是4，则这组数据的众数是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】D
【解析】解：根据题意，得（2+2+3+x+3+6+6）÷7＝4，
解得：x＝6，
则出现次数最多的数是6，
故这组数据的众数为6，
故选：D．
【举一反三2】某位同学四次射击测试成绩（单位：环）分别为：9，9，x，8，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则x的值为（　　）
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】A
【解析】解：∵这组数据的众数与平均数恰好相等，
∴众数为9，
∴9+9+x+8＝9×4，
∴x＝10．
故选：A．
【举一反三3】在一次体操比赛中，六位评委对某位选手的打分（单位：分）如下：9.2，9.4，9.1，9.3，9.2，9.6，这组数据的平均数和众数分别为（　　）
A.9.3 9.2 B.9.2 9.2 C.9.2 9.3 D.9.3 9.6
【答案】A
【解析】解：平均数＝（9.2+9.4+9.1+9.3+9.2+9.6）÷6＝9.3；
数据9.2出现了2次，出现次数最多，所以众数是9.2；
故选：A．
【举一反三4】一组数据6，4，3，a，5，2的平均数是4，则这组数据的众数为（　　）
A.3 B. C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：∵6，4，3，a，5，2的平均数是4，
∴6+a+4+3+5+2＝4×6，
解得a＝4，
所以这组数据为6，4，3，4，5，2，
则这组数据的众数为4，
故选：C．
【举一反三5】已知一组数据2，3，4，m，﹣2的众数为3，则平均数为 　 　．
【答案】2
【解析】解：∵数据2，3，4，m，﹣2的众数为3，
∴m＝3，
则这组数据为2，3，4，3，﹣2，
所以平均数为＝2，
故答案为：2．
【举一反三6】一组数据由4个数组成，其中3个数分别为2，1，4，且这组数据的平均数为2，则这组数据的众数为 　 　．
【答案】1
【解析】解：由题意知，另外一个数为2×4﹣（2+1+4）＝1，
所以这组数据为1、1、2、4，
所以这组数据的众数为1，
故答案为：1．
【举一反三7】已知一组数据2，3，4，m，﹣2的众数为3，则平均数为 　 　．
【答案】2
【解析】解：∵数据2，3，4，m，﹣2的众数为3，
∴m＝3，
则这组数据为2，3，4，3，﹣2，
所以平均数为＝2，
故答案为：2．
【题型9】用统计图分析众数
【典型例题】某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了35名学生，调查结果如图所示，则这35名学生在校一周体育锻炼时间的众数为（　　）
A.6小时 B.7小时 C.8小时 D.5小时
【答案】A
【解析】解：这组数据中，体育锻炼时间出现最多的数据是6小时，即众数为6小时．
故选：A．
【举一反三1】某超市销售A，B，C，D四种品牌的冷饮，某天的销售情况如图所示，则该超市应多进的冷饮品牌是（　　）
A.A品牌 B.B品牌 C.C品牌 D.D品牌
【答案】C
【解析】解：由扇形统计图知，C品牌冷饮所占百分比最多，
所以该超市应多进的冷饮品牌是C品牌，
故选：C．
【举一反三2】如图绘制的是某校八年级100名学生“双减”后每天完成作业所用时间调查统计图，则这部分学生每天完成作业所用时间的众数为（　　）
A.30 B.40 C.1.5 D.2
【答案】C
【解析】解：每天完成作业时间为1.5小时的学生数为100﹣12﹣30﹣18＝40（名），观察统计图可以知道每天完成作业时间为1.5小时的学生最多，
所以这部分学生每天完成作业所用时间的众数为1.5．
故选：C．
【举一反三3】如图绘制的是某校八年级100名学生“双减”后每天完成作业所用时间调查统计图，则这部分学生每天完成作业所用时间的众数为（　　）
A.30 B.40 C.1.5 D.2
【答案】C
【解析】解：每天完成作业时间为1.5小时的学生数为100﹣12﹣30﹣18＝40（名），观察统计图可以知道每天完成作业时间为1.5小时的学生最多，
所以这部分学生每天完成作业所用时间的众数为1.5．
故选：C．
【举一反三4】4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答活动．为了解活动效果，将所有学生的知识问答成绩进行整理，结果如图所示，则该中学学生知识问答成绩的众数是（　　）
A.6分 B.8分 C.9分 D.10分
【答案】B
【解析】解：由扇形统计图知，8分的人数最多，
所以该中学学生知识问答成绩的众数为8分，
故选：B．
【举一反三5】某校八年级6名学生在学校的体测成绩统计如图所示，则这组数据的众数是 分．
【答案】48
【解析】解：∵48出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是48分．
故答案为：48．
【举一反三6】某地5月第1周的日平均气温如图所示，则该地第1周日平均气温的众数为 　 　℃．
【答案】29
【解析】解：第1周日平均气温为28，29，27，27，29，28，29，
因为29最多有3个，所以众数为29．
故答案为：29．
【举一反三7】小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是 　 　．
【答案】1
【解析】解：从统计图中得知：从星期日到星期六的每天用水量分别为：2，1，0.5，1.5，1，1.5，1（单位：t）．
出现次数最多的数字是1，即可众数是1．
故答案为：1．
【题型10】众数
【典型例题】空气质量指数简称AQI，是定量描述空气质量状况的无量纲指数．某市4月30日22时至5月1日5时的空气质量指数的整点报告为70，71，69，70，72，70，68，72，这一时段整点空气质量指数的众数是（　　）
A.69 B.70 C.71 D.72
【答案】B
【解析】解：∵这组数据70出现了3次，出现的次数最多，
∴由众数的定义，可得这组数据的众数是70．
故选：B．
【举一反三1】某射击运动员进行5次射击训练，成绩分别是：5，6，8，8，9（单位：环），这组数据的众数是（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中8是出现次数最多的，故众数是8．
故选：C．
【举一反三2】 “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取7位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：75，80，82，80，80，85，88．则这组数据的众数为（　　）
A.75 B.80 C.82 D.85
【答案】B
【解析】解：这组数据中80出现3次，出现的次数最多，
所以这组数据的众数是80，
故选：B．
【举一反三3】一组数据有2，0，1，2，3，则这组数据的众数是（　　）
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】解：这组数据中2出现2次，次数最多，
所以众数为2，
故选：C．
【举一反三4】 “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是21，23，22，23，24，25，24，23，25．则这组数据的众数是 　 　．
【答案】23
【解析】解：在21，23，22，23，24，25，24，23，25这组数据23出现次数最多，
∴这组数据的众数为23，
故答案为：23．
【举一反三5】某校6名学生在一次体育考试中的分数分别是27、28、29、28、30、28．则这组数据的众数是 　 　．
【答案】28
【解析】解：27、28、29、28、30、28中，28出现出现次数最多，故这组数据的众数为28，
故答案为：28．
【举一反三6】中小学生的视力状况受到全社会广泛关注．某班全体同学的左眼视力情况统计如下：4.7有2人；4.8有4人；4.9有8人；5.0有10人；5.1有14人；5.2有7人，则这个班同学的左眼视力的众数是 　 　．
【答案】5.1
【解析】解：∵4.7有2人；4.8有4人；4.9有8人；5.0有10人；5.1有14人；5.2有7人，
∴5.1出现的次数最多，
∴这个班同学的左眼视力的众数是5.1．
故答案为：5.1．
【举一反三7】测量7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数是 　 　℃．
【答案】36.5
【解析】解：这七个数据中出现次数最多的是36.5，共出现3次，因此众数是36.5，
故答案为：36.5．
【题型11】加权平均数及其应用
【典型例题】2014年8月16日至28日，第二届青年奥运会射击比赛在南京举行，参加该比赛的某位选手在一次训练时成绩如表，则该选手在这次训练时的平均成绩是（　　）
A.8环 B.8.5环 C.9环 D.9.5环
【答案】C
【解析】解：平均成绩是＝9（环）．
故选：C．
【举一反三1】在一次演讲比赛中，某位选手的演讲内容、演讲表达的得分分别为95分，90分，将演讲内容、演讲表达的成绩按6：4计算，则该选手的成绩是（　　）
A.94分 B.93分 C.92分 D.91分
【答案】B
【解析】解：∵＝93（分），
∴该选手的成绩是93分．
故选：B．
【举一反三2】一组数据有m个x1，n个x2，p个x3，那么这组数据的平均数为（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：依题意得，这组数据的平均数为．
故选：D．
【举一反三3】为了增强青少年的防毒意识，学校举办了一次“禁毒教育”演讲比赛．某位选手的演讲内容，语言表达，演讲技巧这三项成绩分别为90分，85分，90分，若依次按30%，40%，30%的比例确定最终成绩，则该选手的比赛成绩是 　 　分．
【答案】88
【解析】解：由题意知，该名考生的综合成绩为：
90×30%+85×40%+90×30%
＝27+34+27
＝88（分），
∴该选手的比赛成绩是88分．
故答案为：88．
【举一反三4】为了践行“首都市民卫生健康公约”，某班级举办“七步洗手法”比赛活动，小明的单项成绩如表所示（各项成绩均按百分制计）：
若按书面测试占30%、实际操作占50%、宣传展示占20%，计算参赛个人的综合成绩（百分制），则小明的最后得分是　 　．
【答案】97分
【解析】解：小明的最后得分是96×30%+98×50%+96×20%＝97（分），
故答案为：97分．
【举一反三5】菲尔兹将是数学领域的一项国际大奖，每四年颁发一次.从1936年到2010年，共有53人获奖，获奖者获奖时的年龄分布如图，请计算获奖者的平均获奖年龄．（结果精确到0.1岁）.
【答案】解：获奖者的平均获奖年龄为：
×（28+29×3+31×4+32×4+33×3+34×3+35×5+36×6+37×5+38×7+39×6+40×5+45）≈32.4（岁）．
【题型12】用统计图分析平均数
【典型例题】某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、4元、3元、2元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　　）
A.2.8元 B.2.85元 C.3.15元 D.3.55元
【答案】C
【解析】解：5×10%+4×15%+3×55%+2×20%＝3.15（元），
故选：C．
【举一反三1】某校学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面进行，五方面按3：2：2：2：1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明期末操行最终得分为（　　）
A.9 B.9.1 C.45 D.91
【答案】B
【解析】解：由题意可得，＝9.1（分），
故选：B．
【举一反三2】学校食堂有15元，18元，20元三种盒饭供学生选择（每人购一份）．某天盒饭销售情况如图所示，则当天学生购买盒饭费用的平均数是（　　）
A.15元 B.16元 C.17元 D.18元
【答案】C
【解析】解：15×40%+18×50%+20×10%＝17（元），
即当天学生购买盒饭费用的平均数是17元．
故选：C．
【举一反三3】某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是50元，30元，20元，10元．某天这四种商品销售数量的百分比如图，则这天销售的四种商品的平均单价是 　 　元．
【答案】22.5．
【解析】解：这天销售的四种商品的平均单价是：
50×10%+30×15%+20×55%+10×20%＝22.5（元），
故答案为：22.5．
【举一反三4】小聪家准备购买一台电视机，小聪将收集到的某地区A，B，C三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：
根据上述三个统计图，请解答：
（1）2016～2021年三种品牌电视机销售总量最多的是 　 　品牌，2021年比2020年A品牌月平均销售量的增长率为 　 　．
（2）2021年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？
（3）货比三家后，你建议小聪家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．
【答案】解：（1）由条形统计图可得，2016～2021年三种品牌电视机销售总量最多的是B品牌；
由折线统计图可得，2021年比2020年A品牌月平均销售量的增长率为：＝16%；
故答案为：B，16%；
（2）∵23.2÷25%＝92.8（万台），
1﹣25%﹣29%﹣34%＝12%，
∴92.8×12%＝11.136（万台），
答：2020年2021年其他品牌的电视机年销售总量是11.136万台；
（3）建议购买C品牌，因为C品牌2021年的市场占有率最高，且5年的月销售量最稳定；
建议购买B品牌，因为B品牌的销售总量最多，收到广大顾客的青睐；
建议购买A品牌，因为A品牌近五年的月平均销售总量逐年稳步上升（答案不唯一）．
【题型13】用样本平均数估计总体平均数
【典型例题】为了了解学生参与家务劳动情况，某老师在所任教班级随机调查了10名学生一周做家务劳动的时间，其统计数据如表：
则这10名学生一周做家务劳动的平均时间是（　　）小时．
A.3.5 B.3 C.2.5 D.2
【答案】C
【解析】解：由题意，这10名学生一周做家务劳动的平均时间是：
×（4×2+3×4+2×2+1×1+0×1）＝2.5（小时）．
故选：C．
【举一反三1】已知某外卖平台设置送餐距离超过5千米无法配送，由于给送餐员的费用与送餐距离有关，为更合理设置送餐费用，该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如表：
估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为（　　）
A.3千米 B.2.85千米 C.2.35千米 D.1.85千米
【答案】C
【解析】解：估计利用该平台点外卖用户的平均送餐距离为×（12×0.5+20×1.5+24×2.5+16×3.5+8×4.5）＝2.35（千米）．
故选：C．
【举一反三2】某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表．
则所抽查学生每天睡眠时间的平均数约为（　　）
A.7h B.7.3h C.7.5h D.8h
【答案】B
【解析】解：学生每天睡眠时间的平均数＝≈7.3（h），
故选：B．
【举一反三3】某初中学校为了更好地落实教育部“双减”政策，了解学生做书面家庭作业的时间，随机调查了40名同学每天做书面家庭作业的时间，情况如下表．则这40名同学每天做书面家庭作业的平均时间是 　 　分钟．
【答案】88.75．
【解析】解：×（70×4+80×7+90×20+100×8+110×1）＝88.75（分钟）．
故答案为：88.75．
【举一反三4】为了落实“双减”政策，减轻学生作业负担，某学校领导随机调查了九（1）班学生每天在作业上共花费的时间，随机调查了该班10名学生，其统计数据如下表：则这10名学生每天在作业上花费的平均时间是 　 　小时．
【答案】2.5．
【解析】解：这10名学生每天在作业上花费的平均时间是
＝2.5（小时），
故答案为：2.5．
【举一反三5】从一批零件毛坯中抽取10个，称得它们的质量（单位：g）如下：
400.0，400.3，401.2，398.9，399.8，399.8，400.0，400.5，399.7，399.8．
求这10个零件的平均质量．
【答案】解：根据题意，以400g为标准，超过的质量记为正，不足的质量记为负，
上述10个零件毛坯的质量（单位：g）可以分别表示为：
0，0.3，1.2，-1.1，-0.2，-0.2，0，0.5，-0.3，-0.2，
（0+0.3+1.2-1.1-0.2-0.2+0+0.5-0.3-0.2）÷10=0，
∴这10个零件的平均质量400g.
【举一反三6】某渔业养殖户在自家鱼塘中放养了某种鱼2000条，若干年后，准备打捞出售，为了估计鱼塘中这种鱼的总质量，现从鱼塘中捕捞三次，得到数据如下表：
（1）求鱼塘中这种鱼平均每条的重量．
（2）若这种鱼放养的成活率是85%，请估计鱼塘中这种鱼的总重量．（新生鱼和死鱼不计算入内．）
（3）如果把鱼塘中放养的2000条中存活的这种鱼全部卖掉，价格为每千克20元，若投资成本为45000元，求卖出后获得的纯利润．
【答案】解：（1）平均重量为：＝3（千克），
答：鱼塘中这种鱼平均每条的重量为3千克；
（2）∵鱼放养的成活率是85%，
∴该鱼塘中共有鱼2000×85%＝1700条，
总重量为：1700×3＝5100（千克），
答：估计鱼塘中这种鱼的总重量为5100千克；
（3）总收入为：5100×20＝102000（元），
∴102000﹣45000＝57000（元），
答：卖出后获得的纯利润为57000元．
【题型14】方差的变化规律
【典型例题】如果一组数据a1，a2，……，an的方差是2，那么一组新数据2a1+1，2a2+1，……，2an+1的方差是（　　）
A.3 B.8 C.2 D.4
【答案】B
【解析】解：∵一组数据a1，a2，…，an的方差是2，平均数为，
∴S2＝[（a1﹣）2+（a2﹣）2+…+（an﹣）2]＝2，
∵2a1+1，2a2+1，…，2an+1的平均数为2+1，
∴S′2＝[（2a1+1﹣2﹣1）2+（2a2+1﹣2﹣1）2+…+（2an+1﹣2﹣1）2]＝2×22＝8，
故选：B．
【举一反三1】甲组数据：a，b，c，d，e和乙组数据：a+2，b+2，c+2，d+2，e+2的方差分别为S甲2和S乙2，则（　　）
A.S甲2＝S乙2 B.S乙2＝S甲2+2 C.S乙2＝S甲2+4 D.S甲2与S乙2的大小不确定
【答案】A
【解析】解：由题意知，甲组数据的为，一组数据都加上了2，则平均数为+2，
∵s甲2＝[（a﹣）2+（b﹣）2+…+（e﹣）2]，
s乙2＝[（a+2﹣﹣2）2+（b+2﹣﹣2）2+…+（e+2﹣﹣2）2]
＝[（a﹣）2+（b﹣）2+…+（e﹣）2]
＝s甲2，方差不变．
故选：A．
【举一反三2】已知a，b，c的平均数为7，方差为13，则a+2，b+2，c+2的平均数和方差分别是（　　）
A.9，15 B.7，13 C.9，13 D.7，15
【答案】C
【解析】解：∵数据a，b，c的平均数为7，
∴（a+b+c）＝7，
∴（a+2+b+2+c+2）＝（a+b+c）+2＝7+2＝9，
∴数据a+2、b+2、c+2的平均数是9；
∵数据a，b，c的方差为13，
∴[（a﹣7）2+（b﹣7）2+（c﹣7）2]＝13，
∴a+2、b+2、c+2的方差＝[（a+2﹣9）2+（b+2﹣9）2+（c+2﹣9）2]＝[（a﹣7）2+（b﹣7）2+（c﹣7）2]＝13．
故选：C．
【举一反三3】已知第一组数据：1，3，5，7的方差为，第二组数据：6，6，6，6，的方差为，第三组数据：2023，2022，2021，2020的方差为，则S，S，S的大小关系是 　 　．（用“＜”连接）
【答案】＜＜
【解析】解：∵第1组数据相邻两数相差2，第2组数据相邻两组数据相差0，第3组数据相邻两组数据相差1，
∴＜＜，
故答案为：＜＜．
【举一反三4】如果一组数据a1，a2，…，a6的方差是7，那么一组新数据2a1+5，2a2+5，…，2a6+5的方差是 　 　．
【答案】28
【解析】解：一组数据a1，a2，…，a6的方差是7，
则一组新数据2a1，2a2，…，2a6的方差22×7＝28．
故答案为：28．
【举一反三5】如图1，有5个数据的折线图，若把图1这组数据的每个数都减去b，得到一组新的数据，画出如图2所示的折线图．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）新数据的方差为6.8，求原数据的方差是多少？
（3）若这一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为S2，另一组新的数据3x1+k，3x2+k，3x3+k，3x4+k，3x5+k的方差为S12，这两组数据的方差有什么关系？
【答案】解：（1）由题意可得，
b＝101﹣2＝99，
∴a＝4+99＝103，
故答案为：99，103；
（2）原数据的平均数是：＝99，
原数据的方差是：
＝6.8；
（3）∵，
＝，
∴．
【题型15】方差的实际应用
【典型例题】甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人测试10次，射箭成绩的平均数都是8.8环，方差分别为，，，，则射箭成绩最稳定的是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】B
【解析】解：∵，，，，
乙的方差最小，
∴射箭成绩最稳定的是：乙．
故选：B．
【举一反三1】甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如表：如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
【解析】解：∵丁的平均分最高，方差最小，最稳定，
∴应选丁，
故选：D．
【举一反三2】某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对4名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：
根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（　　）
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】C
【解析】解：∵∵甲、丙的平均数比乙、丁大，
∴应从甲和丙中选，
∵甲的方差比丙的大，
∴丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙；
故选：C．
【举一反三3】近日，生态环境部公布第六批“绿水青山就是金山银山”实践创新基地名单，山西省6个县入选国家生态文明建设示范区，为了响应对环境保护的号召，某校要从报名的甲、乙、丙三人中选取一人去参加太原市举办的环保演讲比赛，经过两轮初赛后，甲、乙、丙三人的平均成绩都是90，方差分别是，，．你认为 　 　参加决赛比较合适．
【答案】甲
【解析】解：∵，，，且2.2＜3.5＜10.3，
∴甲的成绩最稳定，
∴甲参加决赛比较合适，
故答案为：甲．
【举一反三4】甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：cm）如下：
甲队：178 177 179 179 178 178 177 178 177 179
乙队：178 177 179 176 178 180 180 178 176 178
哪支仪仗队队员的身高更为整齐？你是怎么判断的？
【答案】解：（2）=（3×177+4×178+3×179）÷10=178，
=（2×176+1×177+4×178+1×179+2×180）÷10=178．
（3）甲仪仗队更为整齐．
理由如下：
s甲2=[3（177-178）2+4（178-178）2+3（179-178）2]÷10=0.6；
s乙2=[2（176-178）2+（177-178）2+4（178-178）2+（179-178）2+2（180-178）2]÷10=1.8；
因为甲，乙两支仪仗队队员身高数据的方差分别为0.6和1.8，
因此，可以认为甲仪仗队更为整齐．

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