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第3讲　自由落体运动与竖直上抛运动
例1　(1)12 s　(2)20 m　220 m　
(3)60 m/s
[解析] (1)由h=gt2,得落地时间t==12 s
(2)最初2 s内的位移大小为h1=g=20 m
前10 s内的位移大小为h2=g=500 m
最后2 s内的位移大小为h3=h-h2=720 m-500 m=220 m
(3)根据公式可得== m/s=60 m/s
变式　A　[解析] 根据h=gt2,可得t=,当h=10 cm=0.1 m时,t≈0.14 s;当h=20 cm=0.2 m时,t=0.2 s;当h=30 cm=0.3 m时,t≈0.24 s;当h=40 cm=0.4 m时,t≈0.28 s,故选A.
例2　(1)6 m/s　(2)1.74 m　(3)①是,理由见解析　②见解析
[解析] (1)由图甲可知,石子经过AB时的平均速度大小=== m/s=6 m/s
(2)设石子下落到A点的速度大小为vA,下落到B点的速度大小为vB,则有==6 m/s,vB=vA+gt
解得vA=5.9 m/s
则石子下落点到A点的高度为h== m≈1.74 m
(3)①根据小球自由下落的频闪照片示意图可得Δx1=(3.2-0.8) m-0.8 m=1.6 m
Δx2=(7.1-3.2) m-(3.2-0.8) m=1.5 m
Δx3=(12.5-7.1) m-(7.1-3.2) m=1.5 m
Δx4=(19.6-12.5) m-(12.5-7.1) m=1.7 m
可知在误差允许的范围内,小球在相邻相等时间内的位移为一定值,则小球运动是匀变速运动
②方法一:由匀变速直线运动推论Δx=gT2
可得重力加速度为g=
方法二:根据x=gt2,测量自下落点与图中某一位置的距离x,确定相应时间t,代入公式求解
方法三:根据匀变速直线运动中间时刻等于该段过程的平均速度,计算出图中某一位置的瞬时速度,再由v=gt,得到重力加速度
例3　(1)2 s　(2)45 m　(3)4 s　(4)5 s　(5)1 s或3 s或 s
[解析] (1)运动到最高点时速度为0,由匀变速运动规律可得v=v0-gt1
解得t1===2 s
(2)根据匀变速运动规律有=2ghmax
解得hmax==20 m
所以Hmax=hmax+h0=45 m
(3)方法一:由(1)(2)知上升时间t1=2 s
下落回到抛点时hmax=g
解得t2=2 s
故回到抛点的时间t=t1+t2=4 s
方法二:由对称性知返回抛出点时速度为20 m/s,方向向下,则由v1=v0-gt
解得t=-=4 s
方法三:将整个过程看成匀减速运动,则有h=v0t-gt2
回到抛点时h=0
解得t=0(舍去)或t=4 s
(4)方法一:分段法,根据上述计算可知,物体上升到最高点的时间t1=2 s
物体从最高点落回地面的时间满足Hmax=gt'2
解得t'==3 s
落回地面的总时间t总=t1+t'=5 s
方法二:全程法,把整个过程看成匀减速运动,以抛点为坐标原点,竖直向上为正方向,则有-h0=v0t总-g
解得t总=-1 s(舍去)或t总=5 s
(5)当物体在抛出点上方时,即h1=15 m
根据匀变速运动规律有
h1=v0t3-g
解得t3=1 s或t3=3 s
同理,当物体在抛出点下方时h2=-15 m
根据h2=v0t4-g
解得t4=(2+) s或t4=(2-) s(舍去)
例4　D　[解析] 根据题意,由逆向思维可知,竖直上抛最后0.6 s即自由落体开始0.6 s,则最后0.6 s内上升的高度为h1=gt2=×10×0.62 m=1.8 m,故A错误;最初0.6 s上升的高度为h2=4h1=7.2 m,由中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度可得,最初0.6 s中间时刻的速度大小为v1==12 m/s,故B错误;从最初0.6 s中间时刻到最高点的时间为t==1.2 s,上升过程的时间为t升=t+Δt=1.5 s,上升的最大高度为h=g=×10×1.52 m=11.25 m,故C错误,D正确.
例5　B　[解析] 将小球的运动分解为竖直向上的匀减速直线运动和竖直向下的自由落体运动,根据t上=t下,则从最高点下落到O点所用时间为,设小球从O点上升的最大高度为h1,则h1=g·,设小球从P点上升的最大高度为h2,同理有h2=g·,依据题意有h1-h2=H,联立解得g=,故B正确,A、C、D错误.第3讲　自由落体运动与竖直上抛运动
1.AD　[解析] 让小球沿长直斜面滚下,可减小其加速度,使运动时间变长,方便更准确地观察与测量,A正确;实验中需要测量的物理量是位移和时间,验证从静止开始滚下的小球,运动的位移与时间的平方是否成正比,得出小球做匀变速直线运动的结论,B、C错误;实验发现,沿不同倾角的斜面运动,小球都做匀变速直线运动,由此类推至斜面倾角为90°(即自由下落)时,小球仍做匀变速直线运动,D正确.
2.B　[解析] 石块自由下落做自由落体运动,与质量无关,则下落1 s后速度为v1=v2=gt=10 m/s2×1 s=10 m/s,故选B.
3.B　[解析] 该同学跳起的高度约为h=1.82 m- m=0.955 m,设该同学离地时竖直向上的速度为v,则有0-v2=-2gh,解得v== m/s≈4.3 m/s,故选B.
4.D　[解析] 铯原子团先做竖直上抛运动,后做自由落体运动,加速度不变,v-t图像是一条倾斜的直线,A、B错误;取竖直向上为正方向,加速度方向一直竖直向下,加速度的数值一直为负值且恒定,C错误,D正确.
5.B　[解析] 设两水滴之间的时间间隔为Δt,则第2滴水滴下落时间t时,1、2两水滴的距离Δh=g(t+Δt)2-gt2=gΔt·t+g(Δt)2,则随时间t的增加1、2两水滴在下落过程中距离越来越大,选项A错误,B正确;1、2两水滴之间的速度差Δv=g(t+Δt)-gt=gΔt,保持不变,选项C错误;以水滴3为参考系,因水滴的加速度均相同,可知水滴1做匀速直线运动,选项D错误.
6.D　[解析] 根据h=gt2,可得t=∝,可知a、b、c下落时间之比为ta∶tb∶tc=∶∶1,则a与b落地的时间差与b与c落地的时间差之比为=<1,可知a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差,故A、C错误,D正确;根据v=gt,可知a、b、c落地前瞬间速度大小之比为va∶vb∶vc=ta∶tb∶tc=∶∶1,故B错误.
7.C　[解析] 由题图可知,初始时刻全红婵具有向上的初速度,先做竖直上抛运动,到达最高点后做自由落体运动,故A错误;由题图可知,在3.65 s时,其速度减为零,到达水中最低点,此时并没有浮出水面,故B错误;由之前分析可知,其初速度为-2 m/s,做竖直上抛运动,有v=v0+gt,解得落水时v=14.5 m/s,故C正确;若其在1.65 s到3.65 s之间做匀减速直线运动,则其平均速度为= m/s=7.25 m/s,由图像可知其做加速度逐渐减小的减速运动,所以其平均速度小于7.25 m/s,故D错误.
8.A　[解析] 物体两次经过同一窗户下边线的时间间隔为t1,根据速度公式有-v1=v1-gt1,物体两次经过同一窗户上边线的时间间隔为t2,根据速度公式有-v2=v2-gt2,根据速度与位移的关系式有-=-2gh,解得h=g,故选A.
9.C　[解析] 由题意可知,羽毛所在的管内空气阻力可以忽略不计,即羽毛做自由落体运动,经过一、三两段相同距离的时间之比为t1∶t2=1∶,由Δv=gt,则==+,即3<<4,故选C.
10.D　[解析] 花盆开始下落第一秒的位移为h1=g=×10×12 m=5 m,选项A错误;花盆开始下落第二秒的位移为h2=g-h1=×10×22 m-5 m=15 m,选项B错误;花盆下落至地面时的瞬时速度v== m/s=40 m/s,则全程中的平均速度为==20 m/s,选项C错误;花盆落地用的总时间t==4 s,花盆在落地前2秒下落的高度为Δh=h-g=80 m-×10×22 m=60 m,选项D正确.
11.BC　[解析] b落地前,以a、b为整体,可知整体做自由落体运动,轻绳的拉力为0,b落地后,绳子松弛,轻绳的拉力仍为0,a继续做自由落体运动,则有vb=,va=,可知小球a落地速度比小球b落地速度大,故A错误,B正确;若增大h,则小球b落地时,小球a的速度v增大,则根据匀变速直线运动规律有l=v·Δt+g·(Δt)2,可知两个小球相继落地的时间间隔Δt一定变小,故C正确,D错误.
12.BD　[解析] 物体从随气球开始运动到绳子断裂前加速度向上,大小为a=8 m/s2;绳子断裂后到刚落地过程,物体的加速度为重力加速度g=10 m/s2,方向向下,故A错误.绳子断裂时,物体离地面的高度为h1=a=25 m,此时物体的速度为v0=at0=20 m/s,绳子断裂后,物体继续上升的高度为h2==20 m,则物体运动过程中距离地面最大高度为H=h1+h2=45 m,故B正确.t1=3.5 s时,物体的速度为v1=v0-g(t1-t0)=20 m/s-10×(3.5-2.5) m/s=10 m/s,物体距离地面的高度为h'=h1+(t1-t0)=40 m,t2=5.5 s时,物体的速度为v2=v0-g(t2-t0)=20 m/s-10×(5.5-2.5) m/s=-10 m/s,物体距离地面的高度为h″=h1+(t2-t0)=40 m,可知t1=3.5 s和t2=5.5 s时,物体的速度大小相等,方向相反,故C错误;绳子断裂后,物体继续上升阶段的所用时间为t'==2 s,物体从最高点落回地面所用时间为t″==3 s,则物体从随气球开始运动到刚落地总共用时t总=t0+t'+t″=7.5 s,故D正确.
13.BD　[解析] 设两球在空中相遇,所需时间为t,根据运动学公式可得gt2+v0t-gt2=h,可得t=,而乙球的落地时间t1=,两球在空中相遇的条件是t14.(1)2 m/s　(2) m/s　
(3)2 m/s　0.2 s
[解析] (1)根据题意可得
d=v1t1-g
解得v1=2 m/s
(2)若小球运动中恰好未进入空管,则可知当小球到达N端面时恰好与空管达到共速,则共速时的速度为v2
有+d=v2·
得d=
解得v2= m/s
(3)若小球运动中恰好未穿过M端面,则可知当小球到达M端面时恰好与空管达到共速
则有d+l=
v3=gt2
联立解得v3=2 m/s,t2=0.2 s
根据(1)中可知,t1=0.1 s时小球恰好到达N端面,可知小球从N端面到达M端面所用的时间为0.1 s,小球与空管在M端面达到共速后,设再经过t3时间小球离开空管,则有l=g
解得t3=0.1 s
由此可得小球在空管中运动的时间t=t2-t1+t3=0.2 s第3讲　自由落体运动与竖直上抛运动
　　　　　 　　　　　 　　　　　
一、自由落体运动
1.基本规律
(1)从静止开始的、只受重力作用的匀加速直线运动.
(2)基本公式:v=　　　　;h=　　　　;v2=2gh.
2.自由落体运动推论比例公式
可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题.
(1)从运动开始连续相等的时间内位移之比为
　.
(2)从运动开始的一段时间内的平均速度===gt.
(3)连续相等的时间T内位移的增加量相等,即Δh=　　　　.
二、竖直上抛运动
1.基本规律
(1)运动特点:初速度方向竖直向上,加速度为g,上升阶段做匀减速运动,下降阶段做自由落体运动.
(2)基本公式
①速度与时间的关系式:　　　　　　;
②位移与时间的关系式:x=　　　　　　.
2.竖直上抛运动的特性
(1)对称性
①时间对称:物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等.
②速度对称:物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等.
(2)多解性:当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,造成多解,在解决问题时要注意这个特性.
【辨别明理】
1.同一地点,轻重不同的物体g值一样大. (　)
2.自由落体运动中相等时间内速度变化量相同. (　)
3.不计空气阻力,物体从某高度由静止下落,任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定. (　)
4.物体做竖直上抛运动,速度为负值时,位移也一定为负值. (　)
5.做竖直上抛运动的物体,在上升过程中,速度变化量方向是竖直向下的. (　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　自由落体运动
例1 从离地面720 m的空中自由落下一个小球,不计空气阻力,g取10 m/s2.
(1)求小球经过多长时间落到地面;
(2)自小球开始下落开始计时,求小球在最初2 s内及最后2 s内的位移大小;
(3)求小球下落全程的平均速度大小.
变式 [2024·安徽黄山模拟] 某同学制作了一把“人的反应时间测量尺”,重力加速度g取10 m/s2,关于该测量尺样式正确的是 (　)
A
B
C
D
[反思感悟]


例2 [2024·北京房山区模拟] 有一种照相机,其光圈(进光孔径)随被拍摄物体的亮度自动调节,而快门(曝光时间)固定不变.此相机拍摄的石子从砖墙前的某一高度处自由落下的照片,如图甲所示.由于石子的运动,它在照片上留下了一条模糊的径迹.已知曝光时间为0.02 s,每块砖的平均厚度为6.0 cm.(不计空气阻力,g取10 m/s2)
(1)计算石子经过AB时的平均速度大小
(2)估算石子下落点到A点的高度
(3)频闪摄影也是研究变速运动常用的实验手段.在暗室中,照相机的快门处于常开状态,频闪仪每隔一定时间T发出一次短暂的强烈闪光,照亮运动的物体,于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置,如图乙所示为小球自由下落的频闪照片示意图,照片中的数字是小球落下的距离,单位是厘米.
①判断小球运动是否为匀变速运动,并写出理由;
②如果要通过这幅照片测量自由落体的加速度,可以采用哪几种方法 (至少写出两种测量方案)
　竖直上抛运动
竖直上抛运动的两种研究方法
分段法 上升阶段:a=g的匀减速直线运动;下降阶段:自由落体运动
全程法 初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动,v=v0-gt,h=v0t-gt2(以竖直向上为正方向) (1)若v>0,物体上升,若v<0,物体下落 (2)若h>0,物体在抛出点上方,若h<0,物体在抛出点下方
例3 为测试一物体的耐摔性,在离地25 m高处,将其以20 m/s的速度竖直向上抛出,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力.求:
(1)经过多长时间到达最高点;
(2)抛出后离地的最大高度;
(3)经过多长时间回到抛出点;
(4)经过多长时间落到地面;
(5)经过多长时间离抛出点15 m.
【技法点拨】
1.多过程问题的解题步骤
(1)准确选取研究对象,根据题意画出物体在各阶段运动的示意图,直观呈现物体运动的全过程.
(2)明确物体在各阶段的运动性质,找出题目给定的已知量、待求未知量,设出中间量.
(3)合理选择运动学公式,列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程.
2.多过程问题的解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带,因此,对连接点速度的求解往往是解题的关键.
例4 高抛发球是网球发球的一种,是指运动员把网球竖直向上抛出,在网球下降过程中某时刻将网球击出.若某次竖直抛出的网球在上升的过程中,开始0.6 s内上升的高度与最后0.6 s内上升的高度之比为4∶1,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则网球 (　)
A.最后0.6 s内上升的高度为2.1 m
B.最初0.6 s中间时刻的速度大小为15 m/s
C.上升过程的时间为1.7 s
D.上升的最大高度为11.25 m
[反思感悟]

例5 在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中,需要重力加速度g的精确值,这可由实验精确测得.近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”,它是将测g转变为测量长度和时间,具体做法是:如图所示,将真空长直管沿竖直方向放置,自其中O点竖直上抛小球,测得小球从离开O点到落回O点所用的时间为T1,小球在运动过程中经过比O点高H的P点,小球从离开P点到落回P点所用的时间为T2,则g等于 (　)
A. B.
C. D.
[反思感悟]

一、1.(2)gt　gt2　2.(1)1∶3∶5∶7∶…　(3)gT2
二、1.(2)①v=v0-gt　②v0t-gt2
【辨别明理】
1.√　2.√　3.√　4.×　5.√第3讲　自由落体运动与竖直上抛运动 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(多选)[2024·河北石家庄模拟] 伽利略为了研究自由落体运动的规律,将落体实验转化为著名的“斜面实验”,如图所示.下列说法正确的是 (　)
A.让小球沿长直斜面滚下,使运动时间变长,方便更准确地观察与测量
B.实验中需要测量的物理量是速度和时间,来验证速度是否与时间成正比
C.实验中需要验证从静止开始滚下的小球,运动的位移与时间是否成正比
D.实验发现,沿不同倾角的斜面运动,小球都做匀变速直线运动,由此类推至斜面倾角为90°(即自由下落)时,小球仍做匀变速直线运动
2.[2024·广西卷] 让质量为1 kg的石块P1从足够高处自由下落,P1在下落的第1 s末速度大小为v1,再将P1和质量为2 kg的石块绑为一个整体P2,使P2从原高度自由下落,P2在下落的第1 s末速度大小为v2,g取10 m/s2,不计空气阻力,则 (　)
A.v1=5 m/s
B.v1=10 m/s
C.v2=15 m/s
D.v2=30 m/s
3.[2024·浙江台州模拟] 在第十四届全国学生运动会中,台州中学金若宣同学以1.82 m的成绩获得全国跳高冠军,该同学身高1.73 m,据此可估算出她离地时竖直向上的速度最接近 (　)
A.3.1 m/s B.4.3 m/s
C.5.1 m/s D.6.0 m/s
4.[2023·广东卷] 铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置.在喷泉钟的真空系统中,可视为质点的铯原子团在激光的推动下,获得一定的初速度.随后激光关闭,铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动,到达最高点后再做一段自由落体运动.取竖直向上为正方向.下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是 (　)
5.如图所示,调节家中水龙头,让水一滴一滴由静止开始不断下落,每两个相邻水滴之间时间间隔相等,忽略空气阻力和水滴间的相互影响,则在水滴落地前,下列说法正确的是 (　)
A.1、2两水滴之间的距离保持不变
B.1、2两水滴在下落过程中距离越来越大
C.1、2两水滴之间的速度差越来越大
D.以水滴3为参考系,水滴1做匀加速直线运动
6.[2024·山东东营模拟] 如图所示,有三架无人机静止在空中,离地面的高度之比h1∶h2∶h3=3∶2∶1.若同时由静止释放炸弹a、b、c,不计空气阻力,则以下说法正确的是 (　)
A.a、b、c下落时间之比为3∶2∶1
B.a、b、c落地前瞬间速度大小之比为3∶2∶1
C.a与b落地的时间差等于b与c落地的时间差
D.a与b落地的时间差小于b与c落地的时间差
7.[2024·江西南昌模拟] 2024年8月6日,在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛中,中国队选手全红婵成功卫冕.假设从全红婵离开跳台开始计时,其重心的v-t图像如图所示.不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,运动轨迹视为直线,取竖直向下为正方向.下列说法正确的是 (　)
A.全红婵在入水前做自由落体运动
B.全红婵在3.65 s时浮出水面
C.全红婵入水时的速度大小约为14.5 m/s
D.全红婵在1.65 s到3.65 s的平均速度大小约为7.25 m/s
8.[2024·湖北黄冈模拟] 一个从地面竖直上抛的物体两次经过同一窗户下边线的时间间隔为t1,两次经过同一窗户上边线的时间间隔为t2,不计空气阻力,重力加速度为g,则窗户的高度为 (　)
A.g B.g
C.g D.g
9.[2024·浙江杭州模拟] 利用亚克力管做自由落体实验,将亚克力管等分为四段,从上到下每段标为h1、h2、h3、h4,羽毛由静止开始从最高点下落,经过h1速度的增加量为Δv1,经过第三段h3速度的增加量为Δv2,则Δv1与Δv2的比值满足 (　)
A.1<<2
B.2<<3
C.3<<4
D.4<<5
10.随着城市高层建筑的增多,高空坠物不时发生,威胁着人们的安全.假设某小区25楼楼外某处(距离地面80 m)挂着的一花盆突然由静止掉落,忽略花盆下落时受到的一切阻力,重力加速度g取10 m/s2,关于花盆下落过程的描述,正确的是 (　)
A.花盆开始下落第一秒的位移为10 m
B.花盆开始下落第二秒的位移为20 m
C.花盆下落至地面全程中的平均速度为5 m/s
D.花盆在落地前2秒下落的高度为60 m
11.(多选)[2024·山西太原模拟] 如图所示,两个小球a、b通过长为l的轻绳连接,现用手拿着上端的小球a由静止释放两球,释放时小球a距离地面的高度为h,两个小球相继落地的时间间隔为Δt,两个小球落地后不再反弹,不考虑空气阻力,则下列说法中正确的是 (　)
A.小球a落地速度比小球b落地速度小
B.两个小球从释放至最后都落地的过程中,轻绳的拉力一直为零
C.若增大h,则两个小球相继落地的时间间隔Δt变小
D.若增大h,则两个小球相继落地的时间间隔Δt变大
12.(多选)[2024·重庆北碚区模拟] 如图所示,一氦气球下方系有一物体从地面由静止释放,以加速度a=8 m/s2匀加速上升,t0=2.5 s时绳子突然断裂,绳子断裂后物体运动过程中不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2.下列说法正确的是 (　)
A.物体从随气球开始运动到刚落地这一过程做匀变速直线运动
B.物体运动过程中距离地面最大高度为45 m
C.t1=3.5 s和t2=5.5 s时,物体距离地面的高度都为40 m,速度相同
D.物体从随气球开始运动到刚落地总共用时7.5 s
13.(多选)[2024·湖南岳阳模拟] 如图所示,乙球静止于地面上,甲球位于乙球正上方h处,现从地面上竖直上抛乙球,初速度v0=10 m/s,同时让甲球自由下落,不计空气阻力(g取10 m/s2,甲、乙两球可看作质点).下列说法正确的是 (　)
A.无论h为何值,甲、乙两球一定能在空中相遇
B.当h=10 m时,乙球恰好在最高点与甲球相遇
C.当h=15 m时,乙球不能在下降过程中与甲球相遇
D.当h<10 m时,乙球能在上升过程中与甲球相遇
14.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示,离地面足够高处有一竖直空管,管长为l=0.05 m,M、N为空管的上、下两端面.空管以恒定的速度开始向下做匀速直线运动,同时在距空管N端面正下方d=0.15 m处有一小球开始做自由落体运动.已知重力加速度g取10 m/s2.
(1)若经过t1=0.1 s,小球与N端面等高,求空管的速度大小v1;
(2)若小球运动中恰好没有进入空管,求空管的速度大小v2;
(3)若小球运动中恰好未穿过M端面,求空管的速度大小v3及小球在空管中运动的时间.(共77张PPT)
第3讲 自由落体运动与竖直上抛运动
一、自由落体运动
1.基本规律
(1)从静止开始的、只受重力作用的匀加速直线运动.
(2)基本公式：____;_ _____; .
2.自由落体运动推论比例公式
可充分利用自由落体运动初速度为零的特点、比例关系及推论等规律解题.
(1)从运动开始连续相等的时间内位移之比为___________.
(2)从运动开始的一段时间内的平均速度 .
(3)连续相等的时间内位移的增加量相等,即 _____.
二、竖直上抛运动
1.基本规律
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为 ，上升阶段做匀减速运动，
下降阶段做自由落体运动.
(2)基本公式
①速度与时间的关系式：____________；
②位移与时间的关系式： ___________.
2.竖直上抛运动的特性
(1)对称性
①时间对称：物体上升过程中从所用时间和下降过程中从
所用时间相等.
②速度对称：物体上升过程经过点的速度与下降过程经过点的速度大
小相等.
(2)多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也
可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性.
【辨别明理】
1.同一地点，轻重不同的物体 值一样大.( )
√
2.自由落体运动中相等时间内速度变化量相同.( )
√
3.不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间
隔 内的位移之差恒定.( )
√
4.物体做竖直上抛运动，速度为负值时，位移也一定为负值.( )
×
5.做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度变化量方向是竖直向下的.
( )
√
考点一 自由落体运动
例1 从离地面的空中自由落下一个小球，不计空气阻力， 取
.
(1) 求小球经过多长时间落到地面；
[答案]
[解析] 由，得落地时间
例1 从离地面的空中自由落下一个小球，不计空气阻力， 取
.
(2) 自小球开始下落开始计时，求小球在最初内及最后 内的位移大小；
[答案] ;
[解析] 最初内的位移大小为
前内的位移大小为
最后内的位移大小为
例1 从离地面的空中自由落下一个小球，不计空气阻力， 取
.
(3) 求小球下落全程的平均速度大小.
[答案]
[解析] 根据公式可得
变式 [2024·安徽黄山模拟] 某同学制作了一把“人的反应
时间测量尺”，重力加速度取 ，关于该测量尺样
式正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 根据，可得 ，当
时， ；
当时，；当
时，；当时， ，故
选A.
例2 [2024·北京房山区模拟] 有一种照相机，其光圈(进光孔径)随被拍摄
物体的亮度自动调节，而快门(曝光时间)固定不变.此相机拍摄的石子从
砖墙前的某一高度处自由落下的照片，如图甲所示.由于石子的运动，它
在照片上留下了一条模糊的径迹.已知曝光时间为，
每块砖的平均厚度为 .(不计空气阻力，取 )
(1) 计算石子经过 时的平均速度大小？
[答案]
[解析] 由图甲可知，石子经过 时的平均速度大小
例2 [2024·北京房山区模拟] 有一种照相机，其光圈
(进光孔径)随被拍摄物体的亮度自动调节，而快门
(曝光时间)固定不变.此相机拍摄的石子从砖墙前的某
一高度处自由落下的照片，如图甲所示.由于石子的
运动，它在照片上留下了一条模糊的径迹.已知曝光
时间为，每块砖的平均厚度为 .
(不计空气阻力，取 )
(2) 估算石子下落点到 点的高度？
[答案]
[解析] 设石子下落到点的速度大小为，下落到
点的速度大小为，则有 ，
解得
则石子下落点到 点的高度为
例2 [2024·北京房山区模拟] 有一种照相机，其光圈
(进光孔径)随被拍摄物体的亮度自动调节，而快门
(曝光时间)固定不变.此相机拍摄的石子从砖墙前的某一高
度处自由落下的照片，如图甲所示.由于石子的运动，它在
照片上留下了一条模糊的径迹.已知曝光时间为 ，每块
砖的平均厚度为.(不计空气阻力，取 )
(3) 频闪摄影也是研究变速运动常用的实验手段.在暗室中，照相机的快门
处于常开状态，频闪仪每隔一定时间 发出一次短暂的强烈闪光，照亮运
动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置，如图乙所示为
小球自由下落的频闪照片示意图，照片中的数字是小球落下的距离，单位
是厘米.
(3) 频闪摄影也是研究变速运动常用的实验手段.在暗室中，照相机的快门
处于常开状态，频闪仪每隔一定时间 发出一次短暂的强烈闪光，照亮运
动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置，如图乙所示为
小球自由下落的频闪照片示意图，照片中的数字是小球落下的距离，单位
是厘米.
① 判断小球运动是否为匀变速运动，并写出理由；
[答案] 是，理由见解析
[解析] 根据小球自由下落的频闪照片示意图可得
可知在误差允许的范围内，小球在相邻相等时间内的位移为一定值，则小
球运动是匀变速运动
② 如果要通过这幅照片测量自由落体的加速度，可以采用哪几种方法？
(至少写出两种测量方案)
(3) 频闪摄影也是研究变速运动常用的实验手段.在暗室中，照相机的快门
处于常开状态，频闪仪每隔一定时间 发出一次短暂的强烈闪光，照亮运
动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置，如图乙所示为
小球自由下落的频闪照片示意图，照片中的数字是小球落下的距离，单位
是厘米.
[答案] 见解析
[解析] 方法一：由匀变速直线运动推论
可得重力加速度为
方法二：根据，测量自下落点与图中某一位置的距离 ，确定相
应时间 ，代入公式求解
方法三：根据匀变速直线运动中间时刻等于该段过程的平均速度，计算出
图中某一位置的瞬时速度，再由 ，得到重力加速度
考点二 竖直上抛运动
竖直上抛运动的两种研究方法
分段法
全程法
例3 为测试一物体的耐摔性，在离地高处，将其以 的速度竖
直向上抛出，重力加速度取 ，不计空气阻力.求：
(1) 经过多长时间到达最高点；
[答案]
[解析] 运动到最高点时速度为0，由匀变速运动规律可得
解得
例3 为测试一物体的耐摔性，在离地高处，将其以 的速度竖
直向上抛出，重力加速度取 ，不计空气阻力.求：
(2) 抛出后离地的最大高度；
[答案]
[解析] 根据匀变速运动规律有
解得
所以
例3 为测试一物体的耐摔性，在离地高处，将其以 的速度竖
直向上抛出，重力加速度取 ，不计空气阻力.求：
(3) 经过多长时间回到抛出点；
[答案]
[解析] 方法一：由知上升时间
下落回到抛点时
解得
故回到抛点的时间
方法二：由对称性知返回抛出点时速度为 ，方向向下，则由
解得
方法三：将整个过程看成匀减速运动，则有
回到抛点时
解得(舍去)或
例3 为测试一物体的耐摔性，在离地高处，将其以 的速度竖
直向上抛出，重力加速度取 ，不计空气阻力.求：
(4) 经过多长时间落到地面；
[答案]
[解析] 方法一：分段法，根据上述计算可知，物体上升到最高点的时间
物体从最高点落回地面的时间满足
解得
落回地面的总时间
方法二：全程法，把整个过程看成匀减速运动，以抛点为坐标原点，竖直
向上为正方向，则有
解得(舍去)或
例3 为测试一物体的耐摔性，在离地高处，将其以 的速度竖
直向上抛出，重力加速度取 ，不计空气阻力.求：
(5) 经过多长时间离抛出点 .
[答案] 或或
[解析] 当物体在抛出点上方时，即
根据匀变速运动规律有
解得或
同理，当物体在抛出点下方时
根据
解得或 (舍去)
[技法点拨]
1.多过程问题的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观
呈现物体运动的全过程.
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，
设出中间量.
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间
的关联方程.
2.多过程问题的解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点
速度的求解往往是解题的关键.
例4 高抛发球是网球发球的一种，是指运动员把网球竖直向上抛出，在网
球下降过程中某时刻将网球击出.若某次竖直抛出的网球在上升的过程中，
开始内上升的高度与最后内上升的高度之比为 ，不计空气阻
力，重力加速度取 ，则网球( )
A.最后内上升的高度为
B.最初中间时刻的速度大小为
C.上升过程的时间为
D.上升的最大高度为
√
[解析] 根据题意，由逆向思维可知，竖直上抛最后 即自由落体开始
，则最后内上升的高度为 ，
故A错误；最初上升的高度为 ，由中间时刻的瞬时
速度等于这段时间的平均速度可得，最初 中间时刻的速度大小为
，故B错误；从最初 中间时刻到最高点的时间为
，上升过程的时间为 ，上升的最大高度
为 ，故C错误，D正确.
例5 在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，
需要重力加速度的精确值，这可由实验精确测得.近年来测
值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测 转变为测量长
度和时间，具体做法是：如图所示，将真空长直管沿竖直方向
放置，自其中点竖直上抛小球，测得小球从离开点到落回
点所用的时间为，小球在运动过程中经过比点高的 点，
小球从离开点到落回点所用的时间为，则 等于( )
A. B. C. D.
√
[解析] 将小球的运动分解为竖直向上的匀减速直线运动和竖直
向下的自由落体运动，根据，则从最高点下落到 点所
用时间为，设小球从点上升的最大高度为 ，则
，设小球从点上升的最大高度为 ，同理有
，依据题意有 ，联立解得
，故B正确，A、C、D错误.
备 用 习 题
√
1.某小区楼房年久老化,靠路边的楼房墙体有一块混凝土脱落,混凝土下落过程可看作自由落体运动,离地面最后2 m下落所用的时间为0.1 s,重力加速度大小g取10 m/s2,则这块混凝土脱落处到地面的高度约为 (　)
A.10 m B.12 m
C.21 m D.15 m
[解析] 设混凝土块脱落的高度为h,下落时间为t,根据自由落体运动规律,下落到地面有h=gt2,下落到距地面2 m高处,则有h-2=g(t-0.1)2,代入数据联立解得时间t=2.05 s,高度h≈21 m,综上分析,故A、B、D错误,C正确.
考点一 自由落体运动
备 用 习 题
√
2.(多选)观察水龙头,发现当水龙头出水口水的流量(单位时间内通过任一横截面的水的体积)稳定,且自来水水流不太大时,从水龙头中连续流出的水会形成一水柱.现测得某水龙头处高为H的水柱上端横截面面积为S1,下端横截面面积为S2,重力加速度为g,不计空气阻力,以下说法正确的是 (　)
A.水柱是上细下粗
B.水柱是上粗下细
C.该水龙头出水口水的流量是S1S2
D.该水龙头出水口水的流量是
√
备 用 习 题
[解析] 由于单位时间内通过任一横截面的水的体积相等,设Δt时间内通过水柱任一横截面的水的体积为V,V=vΔtS,开始时水流速度小,横截面面积大,向下运动过程中速度增大,横截面面积变小,所以水柱是上粗下细,A错误,B正确;高为H的水柱上端速度为v1=,下端速度为v2=,根据-=2gH,解得出水口水的流量=S1S2,C正确,D错误.
A.照片中数字的单位是mm
B.小球受到的空气阻力不可忽略
C.无法求出小球运动到A位置的速度
D.释放小球的瞬间频闪仪刚好闪光
备 用 习 题
√
3.如图是小球自由下落的频闪照片.频闪仪每隔0.04 s闪光一次.照片中的数字是小球距释放点的距离.由题目的已知条件和照片所给的信息,可以判断出 (　)
备 用 习 题
[解析] 若释放小球的瞬间频闪仪刚好闪光且小球做自由落体运动,则第一段时间内的位移x1=gt2=×9.8×0.042 m=0.007 84 m=0.784 cm≈0.78 cm,可知照片中数字的单位是cm最合适,故A错误;设小球运动的加速度为a,根据逐差法可得a==×10-2 m/s2=9.42 m/s2<9.8 m/s2,可知小球受到的空气阻力不可忽略,故B正确;
备 用 习 题
根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度,则小球经过A点时的速度vA=,代入数据即可求出小球运动到A位置的速度为vA=1.54 m/s,故C错误;若释放小球的瞬间频闪仪刚好闪光且小球做加速度为a的匀加速直线运动,则第一段时间内的位移x1=at2=×9.42×0.042 m=0.007 54 m=0.754 cm<0.78 cm,可知先释放小球,再打开的频闪仪,故D错误.
备 用 习 题
√
4.一个从地面竖直上抛的物体,它两次经过一个较低的点a的时间间隔是Ta,两次经过一个较高点b的时间间隔是Tb,重力加速度为g,则a、b之间的距离为 (　)
A.g(-) B.g(-) C.g(-) D.g(Ta-Tb)
[解析] 根据时间的对称性,物体从a点到最高点的时间为Ta,从b点到最高点的时间为Tb,所以a点到最高点的距离ha=g=,b点到最高点的距离hb=g=,故a、b之间的距离为ha-hb=g(-),故A正确.
考点二 竖直上抛运动
备 用 习 题
√
5.(多选)在塔顶边缘将一物体竖直向上抛出,抛出点为A,物体上升的最大高度为20 m.不计空气阻力,g取10 m/s2,设塔足够高,则物体位移大小为10 m时,物体运动的时间可能为 (　)
A.(2-) s B.(2+) s C.(2+) s D. s
√
√
[解析] 物体在塔顶边缘的A点抛出,位移大小为10 m的位置有两处,如图所示,一处在A点之上,另一处在A点之下.在A点之上时,通过位移大小为10 m处有上升和下降两种过程;在A点之下时,通过位移大小为10 m处只有下降一种过程.方法一:分段法
备 用 习 题
由H=,解得v0=20 m/s,设物体上升过程离A点10 m时速度为v1,有-=-2gh,解得v1=10 m/s,则物体运动的时间t1==(2-) s,故A正确; 物体从抛出到下落至A点上方10 m处时,运动的时间t2=t1+=(2+) s,故B正确;物体从最高点到下落至A点下方10 m处时,有H+h=g,解得t3= s,故物体从抛出到下落至A点下方10 m处时,运动的时间t3'=+t3=(2+) s,故C正确,D错误.
备 用 习 题
方法二:全程法
取竖直向上为正方向,物体的位移为x=v0t-gt2,当物体位于A点上方10 m处时,x=10 m,解得t1=(2-) s,t2=(2+) s,故选项A、B正确.当物体位于A点下方10 m处时,x=-10 m,解得t3=(2+) s,t4=(2-) s(舍去),故选项C正确,D错误.
作业手册
1.(多选)[2024·河北石家庄模拟] 伽利略为了研究自由落
体运动的规律，将落体实验转化为著名的“斜面实验”，
如图所示.下列说法正确的是( )
A.让小球沿长直斜面滚下，使运动时间变长，方便更准确地观察与测量
B.实验中需要测量的物理量是速度和时间，来验证速度是否与时间成正比
C.实验中需要验证从静止开始滚下的小球，运动的位移与时间是否成正比
D.实验发现，沿不同倾角的斜面运动，小球都做匀变速直线运动，由此类
推至斜面倾角为 (即自由下落)时，小球仍做匀变速直线运动
√
√
[解析] 让小球沿长直斜面滚下，可减小其加速度，使运
动时间变长，方便更准确地观察与测量，A正确；实验
中需要测量的物理量是位移和时间，验证从静止开始滚
下的小球，运动的位移与时间的平方是否成正比，得出
小球做匀变速直线运动的结论，B、C错误；实验发现，
沿不同倾角的斜面运动，小球都做匀变速直线运动，由
此类推至斜面倾角为 (即自由下落)时，小球仍做匀变
速直线运动，D正确.
2.[2024·广西卷] 让质量为的石块从足够高处自由下落， 在下落的
第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使
从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，取 ，不
计空气阻力,则( )
A. B. C. D.
[解析] 石块自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落 后速度为
，故选B.
√
3.[2024·浙江台州模拟] 在第十四届全国学生运动会中，台州中学金若宣
同学以的成绩获得全国跳高冠军，该同学身高 ，据此可估算
出她离地时竖直向上的速度最接近( )
A. B. C. D.
[解析] 该同学跳起的高度约为 ，设该同学
离地时竖直向上的速度为，则有 ，解得
，故选B.
√
4.[2023·广东卷] 铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置.在喷泉钟的真空系统中,
可视为质点的铯原子团在激光的推动下,获得一定的初速度.随后激光关闭，
铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动,到达最高点后再做一段自由
落体运动.取竖直向上为正方向.下列可能表示激光关闭后铯原子团速度 或
加速度随时间 变化的图像是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 铯原子团先做竖直上抛运动,后做自由落体运动,加速度不变, 图
像是一条倾斜的直线,A、B错误;取竖直向上为正方向,加速度方向一直竖直
向下,加速度的数值一直为负值且恒定,C错误,D正确.
A. B. C. D.
5.如图所示，调节家中水龙头，让水一滴一滴由静止开始不断
下落，每两个相邻水滴之间时间间隔相等，忽略空气阻力和水
滴间的相互影响，则在水滴落地前，下列说法正确的是( )
A.1、2两水滴之间的距离保持不变
B.1、2两水滴在下落过程中距离越来越大
C.1、2两水滴之间的速度差越来越大
D.以水滴3为参考系，水滴1做匀加速直线运动
√
[解析] 设两水滴之间的时间间隔为，则第2滴水滴下落时间
时，1、2两水滴的距离
，则随时间 的
增加1、2两水滴在下落过程中距离越来越大，选项A错误，B
正确；1、2两水滴之间的速度差 ，
保持不变，选项C错误；以水滴3为参考系，因水滴的加速度
均相同，可知水滴1做匀速直线运动，选项D错误.
6.[2024·山东东营模拟] 如图所示，有三架无人机静
止在空中，离地面的高度之比 .若
同时由静止释放炸弹、、 ,不计空气阻力，则以
下说法正确的是( )
A.、、下落时间之比为
B.、、落地前瞬间速度大小之比为
C.与落地的时间差等于与 落地的时间差
D.与落地的时间差小于与 落地的时间差
√
[解析] 根据，可得 ，可知
、、 下落时间之比为
，则与落地的时间差与与
落地的时间差之比为
，可知与落地的时间差小于与
落地的时间差，故A、
C错误，D正确；根据，可知、、 落地前
瞬间速度大小之比为
，故B错误.
7.[2024·江西南昌模拟] 2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决
赛中，中国队选手全红婵成功卫冕.假设从全红婵离开跳台开始计时，其
重心的图像如图所示.不计空气阻力，重力加速度取 ，运动
轨迹视为直线，取竖直向下为正方向.下列说法正确的是( )
A.全红婵在入水前做自由落体运动
B.全红婵在 时浮出水面
C.全红婵入水时的速度大小约为
D.全红婵在到 的平均速度大小约为
√
则其平均速度为 ，由图像可知其做加
速度逐渐减小的减速运动，所以其平均速度小于 ，
故D错误.
[解析] 由题图可知，初始时刻全红婵具有向上的初速度，先做竖直上抛
运动，到达最高点后做自由落体运动，故A错误；由题图可知，在
时，其速度减为零，到达水中最低点，此时并没有浮出水面，故B错误；
由之前分析可知，其初速度为 ，做竖直上抛运动，有，
解得落水时 ，故C正确；若其在到 之间做匀减速
直线运动，
8.[2024·湖北黄冈模拟] 一个从地面竖直上抛的物体两次经过同一窗户下
边线的时间间隔为，两次经过同一窗户上边线的时间间隔为 ，不计空
气阻力，重力加速度为 ，则窗户的高度为( )
A. B. C. D.
[解析] 物体两次经过同一窗户下边线的时间间隔为 ，根据速度公式有
，物体两次经过同一窗户上边线的时间间隔为 ，根据速
度公式有，根据速度与位移的关系式有 ，
解得 ，故选A.
√
9.[2024·浙江杭州模拟] 利用亚克力管做自由落体实验，将亚克
力管等分为四段，从上到下每段标为、、、 ，羽毛由
静止开始从最高点下落，经过速度的增加量为 ，经过第
三段速度的增加量为，则与 的比值满足( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意可知，羽毛所在的管内空气阻力可以忽略不计，
即羽毛做自由落体运动，经过一、三两段相同距离的时间之比为
，由，则 ，即
，故选C.
10.随着城市高层建筑的增多，高空坠物不时发生，威胁着人们的安全.假
设某小区25楼楼外某处(距离地面 )挂着的一花盆突然由静止掉落，忽
略花盆下落时受到的一切阻力，重力加速度取 ，关于花盆下落
过程的描述，正确的是( )
A.花盆开始下落第一秒的位移为
B.花盆开始下落第二秒的位移为
C.花盆下落至地面全程中的平均速度为
D.花盆在落地前2秒下落的高度为
√
[解析] 花盆开始下落第一秒的位移为 ，
选项A错误；花盆开始下落第二秒的位移为
，选项B错误；花盆下落至地面时的瞬时速度
，则全程中的平均速度为
，选项C错误；花盆落地用的总时间 ，花盆在落地前
2秒下落的高度为 ，选项
D正确.
11.(多选)[2024·山西太原模拟] 如图所示，两个小球、通过长为 的轻
绳连接，现用手拿着上端的小球由静止释放两球，释放时小球 距离地面
的高度为，两个小球相继落地的时间间隔为 ，两个小球落地后不再反
弹，不考虑空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A.小球落地速度比小球 落地速度小
B.两个小球从释放至最后都落地的过程中，轻绳的拉力一直
为零
C.若增大，则两个小球相继落地的时间间隔 变小
D.若增大，则两个小球相继落地的时间间隔 变大
√
√
[解析] 落地前，以、 为整体，可知整体做自由落体运动，
轻绳的拉力为0，落地后，绳子松弛，轻绳的拉力仍为0，
继续做自由落体运动，则有， ，
可知小球落地速度比小球 落地速度大，故A错误，B正确；
若增大，则小球落地时，小球的速度 增大，则根据匀变
速直线运动规律有 ，可知两个小球相继
落地的时间间隔 一定变小，故C正确，D错误.
12.(多选)[2024·重庆北碚区模拟] 如图所示，一氦气球下方系有一物体从
地面由静止释放，以加速度匀加速上升， 时绳子突然
断裂，绳子断裂后物体运动过程中不计空气阻力，重力加速度 取
.下列说法正确的是( )
A.物体从随气球开始运动到刚落地这一过程做匀变速直线运动
B.物体运动过程中距离地面最大高度为
C.和时，物体距离地面的高度都为 ，速度
相同
D.物体从随气球开始运动到刚落地总共用时
√
√
[解析] 物体从随气球开始运动到绳子断裂前加速度向上，大小为
；绳子断裂后到刚落地过程，物体的加速度为重力加
速度 ，方向向下，故A错误.绳子断裂时，物体离地面
的高度为 ，此时物体的速度为 ，
绳子断裂后，物体继续上升的高度为 ，则物体运动
过程中距离地面最大高度为，故B正确.
时，物体的速度为
，物体距离地面的高度为
， 时，物体的速度为
，物体距离地面的高度
为 ，可知和 时，
物体的速度大小相等，方向相反，故C错误；绳子断裂后， 物体继
续上升阶段的所用时间为 ，物体从最高点落回地面所
用时间为 ，则物体从随气球开始运动到刚落地总共
用时 ，故D正确.
13.(多选)[2024·湖南岳阳模拟] 如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于
乙球正上方处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度 ，同时让
甲球自由下落，不计空气阻力(取 ，甲、乙两球可看作质点).下列
说法正确的是( )
A.无论 为何值，甲、乙两球一定能在空中相遇
B.当 时，乙球恰好在最高点与甲球相遇
C.当 时，乙球不能在下降过程中与甲球相遇
D.当 时，乙球能在上升过程中与甲球相遇
√
√
[解析] 设两球在空中相遇，所需时间为 ，根据运动学公式可得
，可得，而乙球的落地时间 ，
两球在空中相遇的条件是，整理得 ，故A错误；若
两球恰好在乙球最高点相遇，满足的条件是 ，代入数据整
理得，B正确；由于 ，可得乙球
能在下降过程中与甲球相遇，故C错误；当 时，乙球还没
有上升到最高点就与甲球相遇，故D正确.
14.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示，离地面足够高处有一竖直
空管，管长为，、 为空管的上、下两端面.空管
以恒定的速度开始向下做匀速直线运动，同时在距空管 端面
正下方 处有一小球开始做自由落体运动.已知重力加
速度取 .
(1) 若经过，小球与 端面等高，求空管的速度大小 ；
[答案]
[解析] 根据题意可得
解得
14.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示，离地面足够高处有一竖直
空管，管长为，、 为空管的上、下两端面.空管
以恒定的速度开始向下做匀速直线运动，同时在距空管 端面
正下方 处有一小球开始做自由落体运动.已知重力加
速度取 .
(2) 若小球运动中恰好没有进入空管，求空管的速度大小 ；
[答案]
[解析] 若小球运动中恰好未进入空管，则可知当小球到达 端
面时恰好与空管达到共速，则共速时的速度为
有
得
解得
14.[2024·辽宁沈阳模拟] 如图所示，离地面足够高处有一竖直
空管，管长为，、 为空管的上、下两端面.空管
以恒定的速度开始向下做匀速直线运动，同时在距空管 端面
正下方 处有一小球开始做自由落体运动.已知重力加
速度取 .
(3) 若小球运动中恰好未穿过端面，求空管的速度大小 及
小球在空管中运动的时间.
[答案]
[解析] 若小球运动中恰好未穿过端面，则可知当小球到达
端面时恰好与空管达到共速
则有
联立解得,
根据(1)中可知，时小球恰好到达 端面，可知小球从
端面到达端面所用的时间为，小球与空管在 端面达
到共速后，设再经过时间小球离开空管，则有
解得
由此可得小球在空管中运动的时间
必备知识自查 一、1.（2）（）（）, 2.（1）,（3）
二、1.（2）① ②
【辨别明理】 1.√ 2.√ 3.√ 4.× 5.√
核心考点探究
例1.（1） （2） （3） 变式.A
例2.（1） （2） （3）①是，理由见解析 ②见解析
例3.（1） （2） （3） （4）
（5）或或 例4.D 例5.B
基础巩固练
1.AD 2.B 3.B 4.D 5.B 6.D 7.C
综合提升练
8.A 9.C 10.D 11.BC 12.BD
拓展挑战练
13.BD 14.（1） （2） （3）

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