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专题二　追及、相遇问题
例1　v0<
[解析] 要使两车不相撞,临界情况为A车追上B车时其速度与B车相等.设A、B两车从相距x到A车追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t,B车的位移为xB、末速度为vB,两者的运动过程如图所示,现用三种方法解答如下:
方法一:情景分析法
利用位移公式、速度公式求解
对A车有xA=v0t+×(-2a)×t2,vA=v0+(-2a)×t
对B车有xB=at2,vB=at
对两车有x=xA-xB
追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB
联立解得v0=
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0<
方法二:函数判断法
利用判别式求解,由方法一可知
xA=x+xB
即v0t+×(-2a)×t2=x+at2
整理得3at2-2v0t+2x=0
这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式Δ=(-2v0)2-4×3a×2x<0时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0<
例2　(1)不合理,理由见解析　
(2)16 m
[解析] (1)这个结果不合理,因为汽车B运动的时间最长为t0==5 s<7 s,说明汽车A追上B时汽车B已停止运动
(2)当A、B两汽车速度相等时,两车间的距离最远
即vB-at=vA,解得t=3 s
此时汽车A的位移xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
故两车间的最远距离Δxmax=xB+x0-xA=16 m
【思维拓展】
(3-) s或(3+) s
[解析] B车减速到与A车有共同速度的时间t0== s=3 s
B车减速到静止运动时间t0'==5 s
由位移时间关系公式有vBt-at2=x0+vAt
解得t1= s<5 s,t2= s
说明B车运动 s时追上A车,在 s时A车又追上B车
例3　(1)12 m/s　3 m/s2　(2)x0≥36 m
[解析] (1)在t1=1 s时A车刚启动,两车之间缩短的距离为x1=vBt1
代入数据解得B车的速度为vB=12 m/s
速度—时间图像的斜率表示加速度,则A车的加速度为a===3 m/s2
(2)两车的速度相等时,两车的距离达到最小,此时t2=5 s,两车已发生的相对位移为梯形的面积,为x=vB(t1+t2)=36 m
若A、B两车不会相撞,距离x0应满足条件为x0≥36 m
变式　BC　[解析] 由图像可知,歼 20的加速度为a= m/s2=50 m/s2,由题图可知,当t=6 s时,歼 20与敌机速度相等,此时两者间距离相遇前最大,最大距离为Δx=v敌t-(v0t+at2)+x0=400×6 m- m+4000 m=4900 m,当t'=14 s时,敌机的位移为x敌'=vt'=400×14 m=5600 m,歼 20的位移为x歼'=v0t'+at'2=100×14 m+×50×142 m=6300 m,由于x歼'例4　BC　[解析] 两车均做匀加速直线运动,根据位移方程x=v0t+at2可得=v0+at,可知纵轴截距为初速度,斜率为a,所以甲的初速度为零,加速度为2 m/s2,乙的初速度为1 m/s,加速度为1 m/s2,故B正确;作出两车的v t图像如图所示,可知t=1 s时甲、乙两车速度相等,根据阴影面积表示位移知此段时间乙比甲多向前运动0.5 m,小于1 m,所以甲、乙两车未相遇,之后甲车速度大于乙车速度,两车不会相遇,故A、D错误,C正确.专题二　追及、相遇问题
1.B　[解析] 设经过时间t汽车追上自行车,两者同地出发位移相等,有v0t=at2,解得t=4 s,故选B.
2.D　[解析] 足球最远可运动的距离为x== m=36 m,停止运动时用时为t==6 s,运动员追上足球所用时间为t'== s=9 s,此时足球已经停止运动了,故选D.
3.C　[解析] 根据x1=10t-t2,可知汽车的初速度v0=10 m/s、加速度a=-0.5 m/s2,做匀减速直线运动,根据x2=4t,可知自行车做速度为v=4 m/s的匀速直线运动,故A错误;当两车速度相等时距离最远,有v0+at=v,得t=12 s,即在t=12 s时两车速度相等,此时两车相距最远,故B错误;汽车刹车时间为t0==20 s,刹车距离为x=t0=100 m,故C正确;自行车一直做匀速直线运动,汽车t0=20 s时已停止运动,故自行车最终追上汽车,故D错误.
4.D　[解析] 设v1=18 m/s,v2=6 m/s,t=3 s,两车恰好没有追尾,即两车速度相等时相遇,汽车在这段时间内做匀减速运动的平均速度为==12 m/s,运动距离为x=t=36 m,故A、B错误;由加速度公式有a==-4 m/s2,即小汽车加速度大小为4 m/s2,故C错误;卡车的位移为x'=v2t=18 m,刹车时小汽车离卡车的距离为Δx=x-x'=18 m,故D正确.
5.BD　[解析] 乙车的加速度大小为a2== m/s2=0.5 m/s2,A错误;甲车加速度大小为a1== m/s2=1 m/s2,两车速度相等时,有v1-a1t=a2(t-8),可得t=36 s,B正确;速度相等时两车的位移分别为x1=v1t-a1t2=1152 m,x2=a2=196 m,两车的最近距离为Δxmin=1200 m-=244 m,两车没有相撞,最近距离为244 m,C错误;图像的面积表示位移,甲车停下时,设乙车在甲车前面x处,x=-
50×50× m=391 m,D正确.
6.BC　[解析] 由加速度—时间图像可画出两车的速度—时间图像,如图所示.由图像可知,t=6 s时两车同速,此时距离最近,图中阴影部分面积为0~6 s内两车位移之差,即Δx=×30×3 m+×30×(6-3)m=90 m,则此时两车相距Δs=x0-Δx=10 m,C正确,A错误;0~9 s内两车位移之差为Δx'=×30×3 m=45 m,此时两车相距Δs'=x0-Δx'=55 m,所以两辆车不会相撞,故B正确,D错误.
7.B　[解析] 0~2 s内A、B两个同学的图线的交点表示速度相等,此时两个同学相距最远,所以0~2 s内A、B两个同学的距离先增大后减小,故A错误; 1~3 s内A的平均速度为= m/s=3 m/s,1~3 s内B的平均速度为= m/s=3 m/s,1~3 s内A、B的平均速度之比为=,故B正确;A、B分别在2 s和1 s后做匀减速运动,加速度大小分别为aA= m/s2=2 m/s2、aB= m/s2=1 m/s2,A、B做匀减速运动的时间分别为tA==2 s、tB==4 s,A、B两个同学分别在4 s末、5 s末停下来,故C错误;A、B两个同学运动的总位移分别为xA=×4=8 m、xB=4×1 m+4×4× m=12 m,当A、B都停下来时,B在A前4 m处,故D错误.
8.BC　[解析] 由图可知,5 s末两车的速度相等,均为9 m/s,故B正确;由v-t图像可知,加速阶段两车的加速度分别为a自= m/s2=1.8 m/s2、a越= m/s2=0.6 m/s2,即a自=3a越,故A错误;越野车的初速度为v0=v-a越t20=6 m/s,0~10 s,两车的位移分别为x自=×10 m=90 m、x越=v0t10+a越=90 m,由此可知,两车位移相同,即两车相遇,故C正确;由v-t图像面积的物理意义可知,10 s末两车相遇,10~20 s两车间距变大,20 s之后两车间距变小,25 s后会再相遇一次,故D错误.
9.B　[解析] 由运动学公式v=v0+at,化简可得=v0·+a,对比图像可知v甲0= m/s=4 m/s,a甲=1 m/s2、v乙0= m/s=2 m/s,a乙=2 m/s2,所以甲做匀加速直线运动,甲的加速度大小为1 m/s2,乙的初速度大小为2 m/s,故B正确,A、C错误;设两车经过时间t再次相遇,由运动学公式,则v甲0t+a甲t2=v乙0t+a乙t2,代入数据解得t=4 s,故D错误.
10.(1)会　(2) m/s2
[解析] (1)假设两车某时刻相撞,如图所示.
应满足时间关系t甲=t乙+t0+t1
位移关系s甲=s乙+s0-L
甲车在t0+t1=6 s时的位移为
a1(t0+t1)2=45 m此时尚未撞上乙车,若此后再经时间t与乙车相撞
则有a1(t+t0+t1)2=a2t2+s0-L
代入数据解得t=4 s(另一解舍去),即再经过t=4 s甲、乙两车会相撞
(2)若经过时间t2,两车速度相等,且此时两车恰好不相撞,此种情况下乙车加速度设为a0,则有
a1t2=a0(t2-t0-t1)
a1=a0(t2-t0-t1)2+s0-L
解得a0= m/s2
即要使两车不相撞,乙车运动的加速度至少为 m/s2
11.C　[解析] 根据匀变速运动速度与位移关系v2=+2ax,可知=+2aAx,即=4+2aAx,解得vA0=2 m/s,aA=4 m/s2,同理可得=16+2aBx,解得vB0=4 m/s,aB=2 m/s2,A车的加速度大,A车的速度变化更快,A错误;当两车速度相同时,两车相距最远,有vA0+aAt=vB0+aBt,解得t=1 s,两车相距最远距离为d=-=1 m,B错误;设A车通过前方20 m的标志杆时间为tA,有vA0tA+aA=20 m,设B车通过前方20 m的标志杆时间为tB,有vB0tB+aB=20 m,解得tB>tA,A车先到达标志杆,C正确;两车相遇有xA=xB,即vA0t0+aA=vB0t0+aB,解得t0=2 s,只有一解,相遇一次,D错误.
12.(1)10 m　(2)26.2 m　
(3)①12.25 m　②2.6 s
[解析] (1)由题可知甲车刚刚并线结束时,甲车比乙车多行驶的距离为Δx'=(v-v0)t0=6 m
则甲车车尾与乙车车头之间的距离为Δx1=Δx'+d=10 m
(2)并线完成后,甲车立刻以大小为a=2.5 m/s2的加速度匀减速刹车,设经过时间t1,甲车和丙车共速,则有t1==2.4 s
则甲车的位移为x1=t1=31.2 m
乙车的位移为x2=v0t1=24 m
此时甲车前端与乙车前端相距Δx2=Δx1+d+=21.2 m
此时甲车车头与前面丙车车尾的距离最小为Δx=5 m,乙车车头到丙车车尾之间距离至少为L=Δx2+Δx=26.2 m
(3)①设甲车与乙车共速的时间为t2,则有t2==0.75 s
甲车车尾与乙车车头的最大距离为Δx3=Δx1+t2-v0t2=12.25 m
②设甲车刹车的时间为t3,则有t3==2 s
甲车的位移为x1'=t3=16 m
乙车的位移为x2'=v0t3=20 m
此时由于x2'-x1'=4 m<10 m
则甲车停止后,乙继续向前行驶,有t4==0.6 s
甲、乙两车相撞用时
t总=t3+t4=2.6 s专题二　追及、相遇问题
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　解决追及、相遇问题的一般方法
追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系,只要满足两个物体在同时到达同一地点,即说明两个物体相遇.
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”和“两个等量关系”.
(1)一个临界条件:速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析、判断问题的切入点;
(2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口.
2.常用分析方法
(1) 情境分析法:抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键,认真审题,挖掘题目中的隐含条件,建立物体运动关系的情境图.
(2)二次函数法:设运动时间为t,根据条件列方程,得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系,Δx=0时,表示两者相遇.
①若Δ>0,即有两个解,说明可以相遇两次;
②若Δ=0,一个解,说明刚好追上或相遇;
③若Δ<0,无解,说明追不上或不能相遇.
当t=-时,函数有极值,代表两者距离的最大或最小值.
(3)变换参考系法:一般情况下,我们习惯于选地面为参考系,但有时研究两个以上相对运动物体间运动时,如果能巧妙选取合适的参考系,会简化解题过程,起到化繁为简的效果.
特别注意:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.
例1 [2024·湖北武汉模拟] 在水平轨道上有两列火车A和B相距为x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞(未相遇),A车的初速度v0应满足什么条件
例2 汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动,发现前方相距x0=7 m处平行车道上,有以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速直线运动直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2.从刚刹车开始计时.
(1)若某同学应用关系式vBt-at2+x0=vAt,解得经过t=7 s(另一解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗 为什么
(2)A追上B前,A、B间的最远距离为多少
【思维拓展】 若汽车A以vA=4 m/s的速度向左匀速运动,其后方相距x0=7 m处平行车道上,有以vB=10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小为a=2 m/s2,则经过多长时间两车恰好相遇
　图像法在追及、相遇问题中的综合应用
1.速度小者追速度大者
情景 图像 说明
匀加速 追匀速 ①t=t0以前,后面物体与前面物体间距离增大 ②t=t0时,两物体相距最远,为x0+Δx(x0为两物体初始距离) ③t=t0以后,后面物体与前面物体间距离减小 ④能追上且只能相遇一次
匀速追 匀减速
匀加速 追匀减速
特别提醒:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动
2.速度大者追速度小者
情景 图像 说明
匀减速 追匀速 开始追赶时,两物体间距离为x0,之后两物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻: ①若Δx=x0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件 ②若Δxx0,则相遇两次,设t1时刻Δx=x0,两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇(t2-t0=t0-t1)
匀速追 匀加速
匀减速 追匀加速
例3 如图甲所示,A车原来临时停在一水平路面上,B车在后面匀速向A车靠近,A车司机发现后启动A车,以A车司机发现B车为计时起点(t=0),A、B两车的v-t图像如图乙所示.已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1=12 m.
(1)求B车运动的速度大小vB和A车的加速度a的大小;
(2)若A、B两车不会相撞,则A车司机发现B车时(t=0)两车的距离x0应满足什么条件
变式 (多选)[2024·广东江门模拟] 歼-20是我国自主研制的新一代隐身战斗机.具有隐身好、机动性强、战斗力强等优点.在某次模拟演习中,歼-20巡航时发现前方4 km处有一敌机正在匀速飞行.歼-20立即加速追击,在追击的过程中两飞机的v-t图像如图所示.下面说法正确的是 (　)
A.t=14 s时,歼-20追上敌机
B.0~14 s时间内,歼-20与敌机的距离先增大后减小
C.在追上敌机前,歼-20与敌机的最大距离为4.9 km
D.在追击的过程中,歼-20的最大速度为700 m/s
例4 (多选)[2024·河北邯郸模拟] 甲、乙两玩具汽车同向行驶,甲车在前,乙车在后.某时刻作为计时起点,此时两车相距1.0 m,两车均做匀加速直线运动,-t图像如图所示,则下列判断正确的是
(　)
A.t=2 s时甲、乙两车速度相等
B.甲车的加速度为2 m/s2
C.两车不会相遇
D.两车相遇两次专题二　追及、相遇问题 (限时40分钟)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.[2024·湖北宜昌模拟] 在一条平直的公路上,一辆自行车以8 m/s的速度匀速经过一辆停在路边的汽车,此时汽车正好启动,并以4 m/s2的加速度匀加速行驶,则由此刻开始计时,汽车追上自行车的时间为(　)
A.2 s B.4 s C.6 s D.8 s
2.[2024·吉林长春一中模拟] 若足球运动员将足球以12 m/s的速度踢出,足球沿草地做加速度大小为2 m/s2的匀减速直线运动,踢出的同时运动员以恒定速度4 m/s去追足球,则运动员追上足球所用时间为 (　)
A.6 s B.7 s C.8 s D.9 s
3.[2024·广东江门模拟] 平直公路上,一辆自行车与同方向行驶的一辆汽车在t=0时同时经过某一个路标,它们的位移x随时间t变化的规律分别为:汽车x1=10t-t2,自行车x2=4t,则下列说法正确的是 (　)
A.汽车做匀减速直线运动,自行车做匀加速直线运动
B.在t=20 s时,两车相距最远
C.在t=22 s时,汽车的位移为100 m
D.自行车不可能追上汽车
4.[2024·浙江湖州模拟] 某天早晨朱老师开着小汽车去上班,小汽车以18 m/s的速度直线行驶,通过某路段时,发现正前方浓雾中有一辆卡车,如图所示,此时卡车正以6 m/s的速度同向匀速行驶,朱老师立即刹车减速,两车恰好没有追尾,该过程小汽车做匀减速直线运动,用时3 s,则在这3 s内
(　)
A.小汽车的平均速度为9 m/s
B.小汽车运动的距离为27 m
C.小汽车加速度大小为6 m/s2
D.刹车时小汽车离卡车18 m
5.(多选)甲、乙两辆车初始时相距1200 m,甲车在后、乙车在前,乙车在8 s时刻开始运动,它们在同一直线上做匀变速直线运动,速度—时间图像如图所示,则下列说法正确的是 (　)
A.乙车的加速度大小为0.42 m/s2
B.两辆车在t=36 s时速度相等
C.两辆车可能相撞
D.甲车停下时,乙车在甲车前面391 m处
6.(多选)[2024·重庆沙坪坝区模拟] 假设高速公路上A、B两车在同一车道上同向行驶.A车在前,B车在后,速度均为v0=30 m/s,距离x0=100 m.t=0时刻A车遇紧急情况后,A、B两车的加速度随时间变化关系如图甲、乙所示.取原运动方向为正方向.下面说法正确的是 (　)
A.t=3 s时,两车相距最近
B.0~9 s内,两车位移之差为45 m
C.t=6 s时,两车距离最近为10 m
D.两车在0~9 s内会相撞
7.[2024·湖南娄底模拟] 某校体育课堂上,A、B两个同学在进行跑步运动,A和B运动的v-t图线如图所示,t=0时刻二者并排,B先匀速后减速,A先加速后减速直到两者速度均减为零停下来,则下列说法正确的是(　)
A.0~2 s内A、B两个同学相距越来越远
B.1~3 s内A、B的平均速度之比为1∶1
C.A、B两个同学将会同时停下来
D.当A、B都停下来时,B在A前8 m处
8.(多选)[2024·河北保定模拟] 已知越野车和自动驾驶车在同一公路上向东行驶,自动驾驶车由静止开始运动时,越野车刚好以速度v0从旁边加速驶过,如图分别是越野车和自动驾驶车的v-t图线,根据这些信息,可以判断 (　)
A.加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的2倍
B.第5 s末两车速度均为9 m/s
C.第10 s末两车相遇
D.第25 s末两车再次相遇
9.甲、乙两汽车在同一直线上运动,经过同一位置时开始计时,它们的-图像如图所示,则 (　)
A.甲做加速度增大的运动
B.甲的加速度大小为1 m/s2
C.乙的初速度大小为4 m/s
D.t=2 s时两车再次相遇
10.[2024·天津北辰区模拟] 如图所示,直线MN表示一条平直单车道,甲、乙两辆汽车开始静止,车头分别在A、B两处,两辆车长均为L=4 m,两个车头间的距离为s0=89 m,现甲车先开始向右做匀加速直线运动,加速度a1=2.5 m/s2,甲车运动了t0=5 s后,发现乙车仍然静止,甲车立即鸣笛,又经过t1=1 s,乙车才开始向右做匀加速直线运动.
(1)若乙车运动的加速度a2=5.0 m/s2,两辆汽车是否会相撞 通过计算说明.
(2)若要使两车不相撞,乙车运动的加速度至少是多少
11.[2024·陕西西安模拟] 两款遥控电动玩具车通过速度传感器与计算机相连,在场地上进行直线竞速比赛,两玩具车从同一位置同时同向运动,出发点前方20 m处有一标志杆,通过计算机处理得到两玩具车速度平方v2与位移x的关系图像如图所示,其图线均为倾斜直线,下列说法正确的是 (　)
A.B车的速度变化更快
B.两车相遇前相距最远距离为3 m
C.A车先到达前方标志杆
D.两车可能相遇两次
12.[2024·山东泰安模拟] 驾驶汽车变线超车需要良好的车技和判断力.如图演示了甲车变线超车的过程,乙车与丙车正常匀速行驶,速度均为 v0=10 m/s,甲车速度 v=16 m/s,甲车车身长度 d=4 m,从超出乙车2个车位后(沿行进方向,甲车头到乙车头距离为2d)开始并线,到完成并线,恰好需要 t0=1 s时间.甲车在变线并道过程中,沿前进方向的速度不变,横向移动的速度可忽略,且其并道后立刻以大小为a=2.5 m/s2的加速度减速刹车,保证车头与前面丙车车尾的距离不小于Δx=5 m.
(1)求甲车刚刚并线结束时,甲车车尾与乙车车头之间的距离;
(2)求乙车车头到丙车车尾之间距离L至少有多大,甲车才能安全并道成功;
(3)若甲车并线后立即以大小为a1=8 m/s2的加速度刹车,而此时乙车来不及反应,继续匀速运动.则从甲刹车开始:
①甲车车尾与乙车车头的最大距离为多少;
②经多长时间甲、乙两车相撞.(共75张PPT)
专题二 追及、相遇问题
题型一 解决追及、相遇问题的一般方法
追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，只要满足两个物体在
同时到达同一地点，即说明两个物体相遇.
1.分析思路
可概括为“一个临界条件”和“两个等量关系”.
(1)一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、
最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系.通过画草图找出两物体
的位移关系是解题的突破口.
2.常用分析方法
(1) 情境分析法：抓住“两物体能否同时到达空间同一位置”这一关键，认
真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.
(2)二次函数法：设运动时间为，根据条件列方程，得到关于二者之间的
距离与时间的二次函数关系，时，表示两者相遇.
①若，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若，无解，说明追不上或不能相遇.
当时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值.
(3)变换参考系法：一般情况下,我们习惯于选地面为参考系,但有时研究两
个以上相对运动物体间运动时,如果能巧妙选取合适的参考系，会简化解
题过程,起到化繁为简的效果.
特别注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前
该物体是否已经停止运动.
例1 [2024·湖北武汉模拟] 在水平轨道上有两列火车和相距为， 车在
后面做初速度为、加速度大小为的匀减速直线运动，而 车同时做初
速度为零、加速度为 的匀加速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不
相撞(未相遇)，车的初速度 应满足什么条件？
[答案]
[解析] 要使两车不相撞，临界情况为车追上车时其速度与 车相等. 设、两车从相距到车追上 车时，车的位移为、末速度为 、所用时间为，车的位移为、末速度为 ，两者的运动过程如图所示，现用三种方法解答如下：
方法一：情景分析法
利用位移公式、速度公式求解
对车有 ，
对车有，
对两车有 ，追上时，两车不相撞的临界条件是
联立解得
所以要使两车不相撞， 车的初速度
应满足的条件是
方法二：函数判断法
利用判别式求解，由方法一可知
即
整理得
这是一个关于时间 的一元二次方程，当根的判别式
时， 无实数解，即两车不相撞，所以要
使两车不相撞，车的初速度 应满足的条件是
例2 汽车以 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距
处平行车道上，有以的速度同向运动的汽车 正开始
刹车做匀减速直线运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小
.从刚刹车开始计时.
(1) 若某同学应用关系式，解得经过
(另一解舍去)时恰好追上 .这个结果合理吗？为什么？
[答案] 不合理，理由见解析
[解析] 这个结果不合理，因为汽车运动的时间最长为 ，
说明汽车追上时汽车 已停止运动
例2 汽车以 的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距
处平行车道上，有以的速度同向运动的汽车 正开始
刹车做匀减速直线运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小
.从刚刹车开始计时.
(2) 追上前，、 间的最远距离为多少
[答案]
[解析] 当、 两汽车速度相等时，两车间的距离最远即，
解得 此时汽车的位移 ，汽车的位移
故两车间的最远距离
【思维拓展】 若汽车以 的速度向左匀速运动，其后方相距
处平行车道上，有以的速度同方向运动的汽车 开始
刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为
，则经过多长时间两车恰好相遇？
[答案] 或
[解析] 车减速到与车有共同速度的时间
车减速到静止运动时间
由位移时间关系公式有
解得，
说明车运动时追上车，在时车又追上 车
题型二 图像法在追及、相遇问题中的综合应用
1.速度小者追速度大者
情景 图像 说明
匀加速追匀速 _____________________________________________
情景 图像 说明
匀速追匀减速 _____________________________________________
匀加速追匀减速 _____________________________________________ 续表
情景 图像 说明
特别提醒:若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断被追上前该 物体是否已经停止运动 续表
2.速度大者追速度小者
情景 图像 说明
匀减 速追 匀速 _____________________________________________
情景 图像 说明
匀速追匀 加速 _____________________________________________
匀减速追 匀加速 _____________________________________________ 续表
例3 如图甲所示，车原来临时停在一水平路面上，车在后面匀速向 车
靠近，车司机发现后启动车，以车司机发现车为计时起点 ，
、两车的图像如图乙所示.已知车在第内与 车的距离缩短了
.
(1) 求车运动的速度大小和车的加速度 的大小；
[答案] ;
[解析] 在时车刚启动，两车之间缩短的距离为
代入数据解得车的速度为
速度—时间图像的斜率表示加速度，则 车的加速度为
例3 如图甲所示，车原来临时停在一水平路面上，车在后面匀速向 车
靠近，车司机发现后启动车，以车司机发现车为计时起点 ，
、两车的图像如图乙所示.已知车在第内与 车的距离缩短了
.
(2) 若、两车不会相撞，则车司机发现车时两车的距离 应
满足什么条件？
[答案]
[解析] 两车的速度相等时，两车的距离达到最小，此时 ，两车已
发生的相对位移为梯形的面积，为
若、两车不会相撞，距离应满足条件为
变式 (多选)[2024·广东江门模拟] 歼 是我国自主研制的新一代隐身战
斗机.具有隐身好、机动性强、战斗力强等优点.在某次模拟演习中，歼
巡航时发现前方处有一敌机正在匀速飞行.歼 立即加速追击，
在追击的过程中两飞机的 图像如图所示.下面说法正确的是( )
A.时，歼 追上敌机
B.时间内，歼 与敌机的距离先增大后减小
C.在追上敌机前，歼与敌机的最大距离为
D.在追击的过程中，歼的最大速度为
√
√
[解析] 由图像可知，歼的加速度为 ，由题图可
知，当时，歼 与敌机速度相等，此时两者间距离相遇前最大，最大距离为，当 时，敌机的位移为 ,歼 的位移为 ,由于
，可知当时，歼 没追上敌机，所以时间内，歼 与敌机的距离先增大后减小，故A错误，B、C正确；在追击的过程中，歼 的最大速度为 ，故D错误.
例4 (多选)[2024·河北邯郸模拟] 甲、乙两玩具汽车同向行
驶，甲车在前，乙车在后.某时刻作为计时起点，此时两车相
距，两车均做匀加速直线运动， 图像如图所示，
则下列判断正确的是( )
A.时甲、乙两车速度相等 B.甲车的加速度为
C.两车不会相遇 D.两车相遇两次
√
√
[解析] 两车均做匀加速直线运动，根据位移方程
可得 ，可知纵轴截距
为初速度，斜率为 ，所以甲的初速度为零，加
速度为,乙的初速度为 ，加速度为
，故B正确；作出两车的 图像如图所
示，可知 时甲、乙两车速度相等，根据阴
影面积表示位移知此段时间乙比甲多向前运动，小于 ，所以甲、
乙两车未相遇，之后甲车速度大于乙车速度，两车不会相遇，故A、D错
误，C正确.
备 用 习 题
√
1.球A以初速度vA=40 m/s从地面上一点竖直向上抛出,经过一段时间Δt后又以初速度vB=30 m/s将B从同一点竖直向上抛出(忽略空气阻力),g取10 m/s2,为了使两球能在空中相遇,Δt的取值范围正确的是 (　)
A.3 s<Δt<4 s
B.0<Δt<6 s
C.2 s<Δt<8 s
D.0<Δt<8 s
题型一 解决追及、相遇问题的一般方法
备 用 习 题
[解析] 用位移—时间图像分析,如图所示,竖直上抛运动的x t图线为抛物线,平移图线B,可找到图线的交点范围,由此判断Δt的取值范围;A球在空中时间为tA==8 s,B球在空中时间为tB==6 s,因此,B球应在A球抛出2 s后8 s前抛出,故C项正确.
备 用 习 题
2.汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动,前方相距x0=7 m处以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2.从刚刹车开始计时,则:
(1)A追上B前,A、B间的最远距离为多少
[答案] 16 m　
[解析] 汽车A和B的运动过程如图所示.
备 用 习 题
当A、B两汽车速度相等时,两车间的距离最远,即vB-at=vA,解得t=3 s
此时汽车A的位移xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
故两车间的最远距离Δxmax=xB+x0-xA=16 m.
备 用 习 题
2.汽车A以vA=4 m/s的速度向右做匀速直线运动,前方相距x0=7 m处以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2.从刚刹车开始计时,则:
(2)经过多长时间,A恰好追上B
[答案] 8 s
[解析] 汽车A和B的运动过程如图所示.
备 用 习 题
汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1==5 s
运动的位移xB'==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移xA'=vAt1=20 m
此时两车相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽车A需再运动的时间t2==3 s
故A追上B所用时间t总=t1+t2=8 s.
备 用 习 题
√
3.(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v t图像如图所示.已知两车在t=3 s时并排行驶,则 (　)
A.在t=1 s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
√
题型二 图像法在追及、相遇问题中的综合应用
备 用 习 题
[解析] 在t=3 s时,两车并排,由图可得在1~3 s两车发生的位移大小相等,说明在t=1 s时,两车并排,由图像可得前1 s乙车位移大于甲车位移,且位移差Δx=x2-x1=×1 m=7.5 m,在t=0时,甲车在乙车前7.5 m,选项A、C错误,选项B正确;在1~3 s两车的平均速度==20 m/s,各自的位移x=t=40 m,选项D正确.
备 用 习 题
√
4.在某试验场地的水平路面上甲、乙两车在相邻平行直车道上行驶.当甲、乙两车并排行驶的瞬间,同时开始刹车,刹车过程中两车速度的二次方v2随刹车位移x的变化规律如图所示.则下列说法正确的是 (　)
A.乙车先停止运动
B.甲、乙两车刹车过程中加速度大小之比为1∶12
C.从开始刹车起经4 s,两车再次恰好并排相遇
D.甲车停下时两车相距3.25 m
备 用 习 题
[解析] 根据匀变速位移速度公式得v2-0=-2ax,根据图像,可得甲、乙加速度大小分别为7.5 m/s2和 m/s2,加速度大小比值为12∶1,B错误;两车停下的时间为t甲==2 s,t乙==8 s,所以甲车先停,A错误;甲经2 s先停下时,此时甲的位移为15 m,乙的位移为x1=v乙t1-a乙= m=8.75 m,两车相距6.25 m,两车再次相遇有15 m=v乙t2-a乙,解得t2=4 s,C正确,D错误.
备 用 习 题
5.如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形.图中A车车长LA=4 m,B车车长LB=6 m,两车车头相距L=26 m时,B车正以vB=10 m/s的速度匀速行驶,A车正以vA=15 m/s的速度借道超车,此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来,其速度为vC=8 m/s,C车和B车车头之间相距d=94 m,现在A车司机有两个选择,一是放弃超车,驶回与B相同的车道,而后减速行驶;二是加速超车,在B与C相遇之前超过B车,不考虑变道过程的时间和速度的变化.
(1)若A车选择放弃超车,回到B车所在车道,则A车至少应该以多大的加速度匀减速刹车,才能避免与B车相撞
[答案] m/s2　
备 用 习 题
[解析] 若A车选择放弃超车, 回到B车所在车道,恰好不与B车相撞时,根据运动学公式有vA-a1t1=vB
vAt1-a1=vBt1+L-LB
解得A车的最小加速度为a1= m/s2
备 用 习 题
5.如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形.图中A车车长LA=4 m,B车车长LB=6 m,两车车头相距L=26 m时,B车正以vB=10 m/s的速度匀速行驶,A车正以vA=15 m/s的速度借道超车,此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来,其速度为vC=8 m/s,C车和B车车头之间相距d=94 m,现在A车司机有两个选择,一是放弃超车,驶回与B相同的车道,而后减速行驶;二是加速超车,在B与C相遇之前超过B车,不考虑变道过程的时间和速度的变化.
(2)若A车选择加速超车,求A车能够安全超车的加速度至少多大
[答案] m/s2　
备 用 习 题
[解析] A车加速超车最长时间为t2== s=5 s
A车安全超车,根据运动学公式有vAt2+a2=vBt2+L+LA
解得A车能够安全超车的加速度至少为a2= m/s2
备 用 习 题
5.如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形.图中A车车长LA=4 m,B车车长LB=6 m,两车车头相距L=26 m时,B车正以vB=10 m/s的速度匀速行驶,A车正以vA=15 m/s的速度借道超车,此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正好迎面驶来,其速度为vC=8 m/s,C车和B车车头之间相距d=94 m,现在A车司机有两个选择,一是放弃超车,驶回与B相同的车道,而后减速行驶;二是加速超车,在B与C相遇之前超过B车,不考虑变道过程的时间和速度的变化.
(3)若A车选择超车,但因某种原因并未加速,C车司机在图示位置做出反应(不计反应时间),则C车减速的加速度至少多大才能保证A车安全超车
[答案] 1 m/s2
备 用 习 题
[解析] C车做减速运动的最长时间为t3== s=6 s
A车安全超车,根据运动学公式有vAt3+vCt3-a3=d+L
解得C车减速的最小加速度为a3=1 m/s2
作业手册
1.[2024·湖北宜昌模拟] 在一条平直的公路上，一辆自行车以 的速度
匀速经过一辆停在路边的汽车，此时汽车正好启动，并以 的加速度
匀加速行驶，则由此刻开始计时，汽车追上自行车的时间为( )
A. B. C. D.
[解析] 设经过时间 汽车追上自行车，两者同地出发位移相等，有
，解得 ，故选B.
√
2.[2024·吉林长春一中模拟] 若足球运动员将足球以 的速度踢出，
足球沿草地做加速度大小为 的匀减速直线运动，踢出的同时运动员
以恒定速度 去追足球，则运动员追上足球所用时间为( )
A. B. C. D.
[解析] 足球最远可运动的距离为 ，停止运动时用
时为，运动员追上足球所用时间为 ，此时足
球已经停止运动了，故选D.
√
3.[2024·广东江门模拟] 平直公路上，一辆自行车与同方向行驶的一辆汽
车在时同时经过某一个路标，它们的位移随时间 变化的规律分别
为：汽车，自行车 ，则下列说法正确的是( )
A.汽车做匀减速直线运动，自行车做匀加速直线运动
B.在 时，两车相距最远
C.在时，汽车的位移为
D.自行车不可能追上汽车
√
[解析] 根据，可知汽车的初速度 、加速度
，做匀减速直线运动，根据 ，可知自行车做速度为
的匀速直线运动，故A错误；当两车速度相等时距离最远，有
，得，即在 时两车速度相等，此时两车相距最
远，故B错误；汽车刹车时间为 ，刹车距离为
，故C正确；自行车一直做匀速直线运动，汽车
时已停止运动，故自行车最终追上汽车，故D错误.
4.[2024·浙江湖州模拟] 某天早晨朱老师开着小汽车去
上班，小汽车以 的速度直线行驶，通过某路段
时，发现正前方浓雾中有一辆卡车，如图所示，此时
卡车正以 的速度同向匀速行驶，朱老师立即刹车
减速，两车恰好没有追尾，该过程小汽车做匀减速直
线运动，用时，则在这 内( )
A.小汽车的平均速度为 B.小汽车运动的距离为
C.小汽车加速度大小为 D.刹车时小汽车离卡车
√
[解析] 设，， ，两车恰
好没有追尾，即两车速度相等时相遇，汽车在这段时
间内做匀减速运动的平均速度为 ，
运动距离为 ，故A、B错误；由加速度
公式有 ，即小汽车加速度大小为
，故C错误；卡
车的位移为 ，刹车时小汽车离卡车的
距离为 ，故D正确.
5.(多选)甲、乙两辆车初始时相距 ，甲车在
后、乙车在前，乙车在 时刻开始运动，它们在
同一直线上做匀变速直线运动，速度—时间图像
如图所示，则下列说法正确的是( )
A.乙车的加速度大小为
B.两辆车在 时速度相等
C.两辆车可能相撞
D.甲车停下时，乙车在甲车前面 处
√
√
[解析] 乙车的加速度大小为 ，A错误；
甲车加速度大小为 ，两车速度相等时有
，可得 ，B正确；速度相等时两车的位移分别为 ， ，两车的最近距离为 ，两车没有相撞，最近距离为 ，C错误；图像的面积表示位移，甲车停下时，设乙车在甲车前面 处， ，D正确.
6.(多选)[2024·重庆沙坪坝区模拟] 假设高速公路上、 两车在同一车道
上同向行驶.车在前，车在后，速度均为 ，距离
.时刻车遇紧急情况后，、 两车的加速度随时间变化
关系如图甲、乙所示.取原运动方向为正方向.下面说法正确的是( )
A. 时，两车相距最近
B.内，两车位移之差为
C.时，两车距离最近为
D.两车在 内会相撞
√
√
[解析] 由加速度—时间图像可画出两车
的速度—时间图像，如图所示.由图像可
知， 时两车同速，此时距离最近，
图中阴影部分面积为 内两车位移之
差，即 ，则此时两车相距
，C正确，A错误； 内两车位移之差为
，此时两车相距 ,所以两
辆车不会相撞，故B正确，D错误.
7.[2024·湖南娄底模拟] 某校体育课堂上，、 两个同学在进行跑步运
动，和运动的图线如图所示，时刻二者并排， 先匀速后减
速， 先加速后减速直到两者速度均减为零停下来，则下列说法正确的是
( )
A.内、 两个同学相距越来越远
B.内、的平均速度之比为
C.、 两个同学将会同时停下来
D.当、都停下来时，在前 处
√
[解析] 内、 两个同学的图线的交点表示速度相等，此时两个同学
相距最远，所以内、 两个同学的距离先增大后减小，故A错误；
内 的平均速度为，内 的平均
速度为，内、 的平均速度之比为，
故B正确；
、分别在和 后做匀减速运动， 加速度大小分别
为、 ，
、 做匀减速运动的时间分别为、
，、 两个同学分别在 末、末停下来，故C错误；
、 两个同学运动的总位移分别为 、
，当、 都停下来时，在前 处，故D错误.
8.(多选)[2024·河北保定模拟] 已知越野车和自动驾驶车在同一公路上向
东行驶，自动驾驶车由静止开始运动时，越野车刚好以速度 从旁边加速
驶过，如图分别是越野车和自动驾驶车的 图线，根据这些信息，可
以判断( )
A.加速阶段自动驾驶车的加速度是越野车的2倍
B.第末两车速度均为
C.第 末两车相遇
D.第 末两车再次相遇
√
√
[解析] 由图可知， 末两车的速度相等，均为，故B正确；由 图
像可知，加速阶段两车的加速度分别为 、
，即 ，故A错误；越野车的初速度为
， ，两车的位移=分别为
、 ，由此可知，两车位
移相同，即两车相遇，故C正确；由 图像面
积的物理意义可知，末两车相遇， 两
车间距变大，之后两车间距变小， 后会再
相遇一次，故D错误.
9.甲、乙两汽车在同一直线上运动，经过同一位置时开始计时，它们的
图像如图所示，则( )
A.甲做加速度增大的运动 B.甲的加速度大小为
C.乙的初速度大小为 D. 时两车再次相遇
√
[解析] 由运动学公式，化简可得 ，对比图像可知
，、 ，
，所以甲做匀加速直线运动，甲的加速度大小为 ，乙
的初速度大小为，故B正确，A、C错误；设两车经过时间 再次相遇，
由运动学公式，则，代入数据解得 ，
故D错误.
10.[2024·天津北辰区模拟] 如图所示，直
线 表示一条平直单车道，甲、乙两辆
(1) 若乙车运动的加速度 ，两辆汽车是否会相撞？通过计算
说明.
[答案] 会
汽车开始静止，车头分别在、两处，两辆车长均为 ，两个车头
间的距离为 ，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度
，甲车运动了 后，发现乙车仍然静止，甲车立即鸣
笛，又经过 ，乙车才开始向右做匀加速直线运动.
[解析] 假设两车某时刻相撞，如图所示.
应满足时间关系
位移关系
甲车在 时的位移为
此时尚未撞上乙车，若此后再经时间 与乙车相撞
则有
代入数据解得(另一解舍去)，即再经过 甲、乙两车会相撞
10.[2024·天津北辰区模拟] 如图所示，直
线 表示一条平直单车道，甲、乙两辆
(2) 若要使两车不相撞，乙车运动的加速度至少是多少？
[答案]
汽车开始静止，车头分别在、两处，两辆车长均为 ，两个车头
间的距离为 ，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度
，甲车运动了 后，发现乙车仍然静止，甲车立即鸣
笛，又经过 ，乙车才开始向右做匀加速直线运动.
[解析] 若经过时间 ，两车速度相等，
且此时两车恰好不相撞，此种情况下乙
车加速度设为 ，则有
解得
即要使两车不相撞，乙车运动的加速度
至少为
11.[2024·陕西西安模拟] 两款遥控电动玩具车通过速
度传感器与计算机相连，在场地上进行直线竞速比赛，
两玩具车从同一位置同时同向运动，出发点前方
处有一标志杆，通过计算机处理得到两玩具车速度平
方与位移 的关系图像如图所示，其图线均为倾斜
直线，下列说法正确的是( )
A.车的速度变化更快 B.两车相遇前相距最远距离为
C. 车先到达前方标志杆 D.两车可能相遇两次
√
[解析] 根据匀变速运动速度与位移关系 ，
可知，即 ，解得
， ，同理可得
，解得，，
车的加速度大， 车的速度变化更快，A错误；当两车
速度相同时，两车相距最远,有 ，
解得 ，两车相距最远距离为
，B错误；
设车通过前方的标志杆时间为 ，有
，设车通过前方 的标志杆
时间为,有，解得，
车先到达标志杆，C正确；两车相遇有 ，即
，解得 ，只有
一解，相遇一次，D错误.
12.[2024·山东泰安模拟] 驾驶汽车变线超车需要良好的车技和
判断力.如图演示了甲车变线超车的过程，乙车与丙车正常匀
速行驶，速度均为，甲车速度 ，甲车
车身长度 ，从超出乙车2个车位后(沿行进方向，甲车
头到乙车头距离为 )开始并线，到完成并线，恰好需要
(1) 求甲车刚刚并线结束时，甲车车尾与乙车车头之间的距离；
[答案]
时间.甲车在变线并道过程中，沿前进方向的速度不变，横向移动
的速度可忽略，且其并道后立刻以大小为 的加速度减速刹车，
保证车头与前面丙车车尾的距离不小于 .
[解析] 由题可知甲车刚刚并线结束时，甲车比乙车多行驶的距
离为
则甲车车尾与乙车车头之间的距离为
12.[2024·山东泰安模拟] 驾驶汽车变线超车需要良好的车技和
判断力.如图演示了甲车变线超车的过程，乙车与丙车正常匀
速行驶，速度均为，甲车速度 ，甲车
车身长度 ，从超出乙车2个车位后(沿行进方向，甲车
头到乙车头距离为 )开始并线，到完成并线，恰好需要
(2) 求乙车车头到丙车车尾之间距离 至少有多大，甲车才能安全并道成功；
[答案]
时间.甲车在变线并道过程中，沿前进方向的速度不变，横向移动
的速度可忽略，且其并道后立刻以大小为 的加速度减速刹车，
保证车头与前面丙车车尾的距离不小于 .
[解析] 并线完成后，甲车立刻以大小为 的加速度
匀减速刹车，设经过时间 ，甲车和丙车共速，则有
则甲车的位移为
乙车的位移为
此时甲车前端与乙车前端相距
此时甲车车头与前面丙车车尾的距离最小为 ，乙车车
头到丙车车尾之间距离至少为
12.[2024·山东泰安模拟] 驾驶汽车变线超车需要良好的车技和
判断力.如图演示了甲车变线超车的过程，乙车与丙车正常匀速
行驶，速度均为，甲车速度 ，甲车车身
长度 ，从超出乙车2个车位后(沿行进方向，甲车头到乙
车头距离为)开始并线，到完成并线，恰好需要 时间.
(3) 若甲车并线后立即以大小为 的加速度刹车，而此时乙车来
不及反应，继续匀速运动.则从甲刹车开始：
甲车在变线并道过程中，沿前进方向的速度不变，横向移动的速度可忽略，
且其并道后立刻以大小为 的加速度减速刹车，保证车头与前
面丙车车尾的距离不小于 .
(3) 若甲车并线后立即以大小为 的加速度刹车，而
此时乙车来不及反应，继续匀速运动.则从甲刹车开始：
① 甲车车尾与乙车车头的最大距离为多少；
[答案]
[解析] 设甲车与乙车共速的时间为，则有
甲车车尾与乙车车头的最大距离为
(3) 若甲车并线后立即以大小为 的加速度刹车，而
此时乙车来不及反应，继续匀速运动.则从甲刹车开始：
② 经多长时间甲、乙两车相撞.
[答案]
[解析] 设甲车刹车的时间为，则有
甲车的位移为
乙车的位移为
此时由于
则甲车停止后，乙继续向前行驶，有
甲、乙两车相撞用时
例1. 例2.（1）不合理，理由见解析 （2）
【思维拓展】或
例3.（1） （2） 变式.BC 例4.BC
基础巩固练
1.B 2.D 3.C 4.D 5.BD
综合提升练
6.BC 7.B 8.BC 9.B 10.（1）会 （2）
拓展挑战练
11.C 12.（1） （2） （3）① ②

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