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3.2.1 基本不等式的证明
1.了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
虫草放到天平的左边，测出它的质量为????
?
a
虫草放到天平的右边，测出它的质量为b
b
（算术平均数）
冬虫夏草是名贵的滋补药材.某虫草店有一架天平，由于操作不当，现在两臂长度不等.虫草店老板说：“我的天平有毛病，现在我把虫草放到左托盘上称一次，再放到右托盘上称一次，虫草的重量就是两次的平均数。”请问这样称得的虫草重量是多了，还是少了？
设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体实际质量为 M，根据力学原理有
l1M ＝ l2a，
l2M ＝ l1b.
将上述两个等式的两边分别相乘，得
l1l2M2＝l1l2ab，
所以 M＝????????.
?
算术平均数与几何平均数
由此可知，物体的实际质量是????????.
对于正数 a，b，我们把 ????＋????2 称为 a，b 的算术平均数， ???????? 称为 a，b 的几何平均数.
?
思考：两个正数 a，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系?
l2
l1
当a＞0，b＞0时，我们可以尝试作出长度为???????? 和 ????＋????2 的两条线段，再比较这两条线段的长.
?
如图，AB是⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C作CD⊥AB 交⊙O 的半圆于点 D，连接 AD，BD，易知 △ACD∽△DCB，故 ????????????????＝????????????????，得CD＝????????.
?
而OD＝????＋????2，且CD≤OD，
所以 ???????? ≤ ????＋????2
当且仅当点 C与点O 重合，即 a＝b 时，等号成立.
?
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等.
下面证明上述猜想，你能想到哪些方法？
????＋????2 －???????? ＝ 12(a＋b－2????????)
＝ 12[(????)2＋(????)2－2????????]
＝ 12(????－????)2.
?
因为(????－????)2 ≥ 0，所以????＋????2－????????≥0 ，
即?????????≤ ????＋????2.
当且仅当???? ＝ ????，即a＝b时，等号成立.
?
只要证 2?????????≤ a＋b，
只要证 0≤a－2????????＋b，
只要证 0≤(????－????)2.
?
因为最后一个不等式成立，
所以 ?????????≤ ????＋????2 成立，
当且仅当 a＝b 时，等号成立.
?
对于正数 a，b，有
证法1 ：
???????? ≤ ????＋????2
?
对于正数 a，b，要证 ?????????≤ ????＋????2.
?
证法2：
对于正数 a，b，有
(????－????)2≥0，
? a＋b－2????????≥0，
? a＋b≥2????????，
? ????＋????2≥a＋b.
?
当且仅当 a＝b 时，等号成立.
证法3：
(1) 公式：
① 条件：a，b是正数；
② 结论：____________；
③ 等号成立：当且仅当 a＝b 时.
一、基本不等式
?????????≤ ????＋????2
?
当 a，b≥0时，这个
不等式仍然成立.
我们把不等式?????????≤ ????＋????2 (a，b≥0) 称为基本不等式.
?
(2) 本质：基本不等式表明，两个正数的算术平均数 ????＋????2 不小于它们的几何平均数???????? .
?
归纳总结
(3) 变形式：
当 a，b∈R 时，由(a－b)2≥0可得a2＋b2≥2ab，a2＋b2＋2ab≥4ab，
即 ????2＋????22 ≥ab，(????＋????2)2≥ab，
当且仅当 a＝b时，其中的等号成立.
?
从而得到：当 a，b∈R 时，
ab≤ ????2＋????22 (当且仅当 a＝b 时，等号成立)；
ab≤(????＋????2)2 (当且仅当 a＝b 时，等号成立).
?
这两个不等式通常可以直接使用.
当 a＞0，b＞0 时，请用基本不等式证明这两个不等式.
设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
(1) ????????＋ ?????????≥2；
?
(2) a＋b＋1????＋ 1?????≥4；
?
证明：（1） 因为 a，b 为正数，所以 ?????????， ???????? 也为正数.
由基本不等式，得????????＋???????? ≥2????????·???????? ＝2，
当且仅当 ????????＝???????? ，即 a＝b 时，取得等号.
所以原不等式成立.
?
例1 ：
证明：（2） 因为 a，b 为正数，所以 1?????， 1???? 也为正数.
由基本不等式，得 a＋1????≥2????·1???? ＝2， b＋1????≥2????·1???? ＝2
?
设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
(1) ????????＋ ?????????≥2；
?
(2) a＋b＋1????＋ 1?????≥4；
?
所以a＋b＋1????＋ 1?????≥4，
当且仅当 a＝1?????，b＝1???? 时，即a＝b＝1时，取得等号.
因此，原不等式成立.
?
例1 ：
设 y＝x＋16????＋2，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值.
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解：因为 x＞－2，所以 x＋2＞0.
由基本不等式，得 x＋16????＋2 ＝ (x＋2)＋16????＋2－2≥2(????＋2)＋16????＋2－2?＝6，
当且仅当 x＋2＝ 16????＋2，即 x＝2时，等号成立.
因此，当 x＝2 时，y的最小值为6.
?
例2 ：
1. 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数 (其中p＞0)：
(1) 2，8； (2) 3，12； (3) p，9p； (4) 2，2p2.
解：(1) 2，8 的算术平均数为5，几何平均数为4；
(2) 3，12 的算术平均数为152，几何平均数为6；
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(3) p，9p的算术平均数为5p，几何平均数为3p；
(4) 2，2p2的算术平均数为1＋p2，几何平均数为2p；
2. 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的. 设直角三角形的直角边长为 a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用 a，b 表示这种关系.
解：由题意，直角三角形的斜边长为????2＋????2，
则大正方形面积 S1＝a2＋b2
四个直角三角形的面积为 S2 ＝ 4×12ab ＝2ab，
则 a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
?
3. 证明：
(1) a＋1????－1 ≥3(a＞1)；
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证明：∵a＞1，∴a＋1????－1＝a－1＋1????－1 ＋1≥2(????－1)·1????－1 ＋1 ＝3，
当且仅当a－1＝1????－1，即a＝2 (a＞1)时等号成立；
?
(2) x＋1???? ≤－2 (x＜0).
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证明：∵ x＜0，∴ x＋1????＝－(－x＋1－????)≤－2(－????)·1－???? ＝－2，
当且仅当－x＝1－????，即x＝－1 (x＜1)时等号成立；
?
4. 求 4x2＋9????2 的最小值.
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解：由4x2，9????2 均大于0，
∴ 4x2＋9????2 ≥24????2·9????2 ＝236 ＝12，
当且仅当 4x2＝9????2 时取得最小值，故x＝62，
即 4x2＋9????2 是的最小值为12，此时x为62.
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5. 设 0° ＜ α ＜ 90°利用直角三角形三边关系，证明 1 ＜ sinα ＋ cosα ≤ 2.
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证明：∵ 0°＜α＜90°，
∴ 0°＜2α＜180°，
∴ sin2α∈(0，1]，
∴ 1＋sin2α∈ (1，2]，
∴ (sinα＋cosα)2∈ (1，2]，
∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，
∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，得证.
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