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2025-2026学年人教版（2024）八年级数学第一学期
第十五章 轴对称
一、选择题
1．我国古代数学的发展历史源远流长，在历代数学家的不懈探索中，诞生了很多重大的数学发现．下列有关我国古代数学发现的图示中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，等腰的周长为13，底边，的垂直平分线交 于点D，交于点E，则的周长为(　　)
A．5 B． C．8 D．10
4．如图，在中，垂直平分，，且，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F．若是等边三角形，，则的长度为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，在中，，，，为的中点，过点作交于点，则的长为（　　）
A． B．6 C．5 D．
7．如图，作中边的垂直平分线的周长为，则的周长是（　　）
A．20 B．16 C．15 D．21
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为圆心，相同的长(大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC＝3，AB＝5，则CE等于(　　)
A． B．2 C． D．
9．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（　　）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．如图，在中，，，于，则　 　．
12．如图，在中，是高，则　 　．
13．如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为　 　．
14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则△APC周长的最小值为　 　．
15．如图，点G在内，点M，N分别是点G关于，的对称点，且分别交，于点E，F，若，则的周长　 　．
三、解答题
16． 如图， AD=BC， AC=BD， 求证： △EAB 是等腰三角形.
17． 如图， △ABC是等边三角形， BD 是中线， 延长BC至E， 使CE=CD. 求证DB=DE.
18． 如图， 在△ABC 中， ∠ABC=50°， ∠ACB=80°， 延长CB 至D， 使DB=BA，延长BC至E， 使CE=CA， 连接AD， AE. 求∠D， ∠E， ∠DAE 的度数.
19．上午8时，一条船从海岛A 出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处. 从A， B 望灯塔C， 测得∠NAC=42°， ∠NBC=84°. 求海岛B 与灯塔C 的距离.
20．如图，已知AC⊥BC，AD⊥DB，E为AB 的中点，
（1）如图1，求证：△ECD 是等腰三角形
（2）如图2，CD与AB交于点F，若AC=BC，若CE=4，BF=1，求CD的长
21．如图，在中，.点在边AB上，点在CB延长线，且满足.连接.已知.
（1）若，求的度数.
（2）小真同学通过画图和测量得到以下近似数据：
AE 4cm 6cm 8cm 10cm
BC 2cm 3cm 4cm 5cm
猜想：AE与BC之间的等量关系，并给出证明.
（3）探究三者之间的等量关系，并给出证明.
22．在平面直角坐标系中，已知A(0，4)，B(-4，0)，点C 为x轴上的点，△ABC的面积为2.
（1）如图①，求点C 的坐标.
（2）如图②，若点C在点B 的右侧，连接AC并延长至点D，使得DO=AO，过点B 作BE∥y 轴交OD 的延长线于点E，求OE—BE 的值.
（3）如图③，若点C 在点B 的右侧，点 P 为y 轴上一动点，以CP 为腰作等腰△CPQ，使PC=PQ，∠CPQ=2∠ACO=2α(α为定值)，AC=5，连接OQ，求线段OQ的最小值.
参考答案
1-5CCCCB 6-10AAABD
11．【答案】3
12．【答案】
13．【答案】4
14．【答案】7
15．【答案】
16．【答案】证明：∵A D = B C ， A C = B D ， A B = B A ，
∴△ A B D △ B A C ( SSS )
∴∠ A B E = ∠ B A E
∴A E = B E
∴ △EAB 是等腰三角形.
17．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形， BD 是中线，
∴∠ ABC= ∠ ACB =60 ，
∵ BD 是中线，
∴BD也是角平分线，
∴∠ D B C =∠ A B C = 30
∵CE=CD，∠ ACB =60 ，
∴∠ E =∠ CDE =30 ，
∴∠DBC=∠ E，
∴DB=DE.
18．【答案】解：∵ ∠ACB=80° ， CE=CA
∴∠E=∠EAC=40°，
∵DB=BA，∠ABC=50°，
∴∠D=∠DAB=20°，
∵∠ACB=80° ， ∠ABC=50°，
∴∠BAC=50°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=115°.
∴∠D=25°，∠E=40°，∠DAE=115°.
19．【答案】解：解：根据题意可得：AB=15×（10-8）=30（ n mile ）
∵∠NBC=84°，∠NAC=42°，
∴∠C=84°-42°=42°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=3030 n mile.
即：从海岛 B 到灯塔 C 的距离为 30 n mile.
20．【答案】（1）证明：∵AC⊥BC， AD⊥DB
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵E为AB的中点
∴CE=DE=AB.
∴△ECD是等腰三角形.
（2）解：过E作EG⊥CD
∵CE=DE
∴CD=2CG
∵∠ACB=90°，AC=BC，E为AB的中点
∴ BE=CE=4， CE⊥AB.
∵ BF=1
∴EF =3，
∴在Rt△CEF中，CF=5
∴EG=
∴在Rt△CEG中，
∴CD=2CG=
21．【答案】（1）因为，所以，
所以，因为，
所以，因为，
所以
（2）猜想：，证明如下：
延长BC至点，使得，连接AP，
设，因为，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，因为，所以，
所以
（3）.
由勾股定理，可得：，
化简，得：，
化简，得：，
由（2）可知：，
所以.
22．【答案】（1）解： (1)设点C (m， 0)，
则△ABC的面积= BC·OA=| m+4|x4
= 2，
解得m= -3或-5，
故点C的坐标为(一3， 0)或(-5， 0)；
（2）解： (2)如图2，过点A作AK⊥y轴，使AK = BE，连接OK交AE于点G，
∴∠OAK = ∠OBE = 90°，
AO= OB= 4，
∴△АОК≌△ВОЕ (SAS)，
∴∠AOG = ∠COD， OK = ОЕ，
∵AO= DO， 故∠CDO= ∠GAO，
在△GAOR和△COD中，
∴△COD≌△GOA(AAS)，
∴OС= OG， 则∠OCG =∠OGC，
而∠KAG=∠OCG， ∠KGA=∠OGC，
∴∠KAG =∠KGA，
∴KA= KG，
∴OE-BE=OK-AK=OK-KG=OG=OC=3
（3）解： (3)在Rt△AOC中， AC=5， AO=4， 则OC= 3.如图3，延长AC至M，使AP= PM，连接AQ交x轴F AN，
在△AOC中， ∠CAO= 90°-∠ACO= 90°- α =∠MAP，
∵AP= МР， 则∠M = ∠MAP= 90°- α ，
在等腰△AРM中， ∠APM = ∠MPC+ ∠CPO =180- 2∠M = 2 α ，
而∠CPQ= ∠CPO+ ∠APQ = 2 α ，
∴∠APQ = ∠MPC，
∵AP= PМ， CP= PQ，
∴∠△MPC≌△APQ (SAS)，
∴∠M = ∠PAQ =∠CAO，
又∵AO= AO，∠AOC=∠AON = 90°，
∴△AOC≌△AON（AAS）
∴ON=OC=3，AN=AC=5
在Rt△AON中，设AN边上的高为h
则S△AON=AO·ON=AN·h
即3×4=5h，解得h=12
即AQ的最小值为.

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