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石家庄市第一中学 2026 届高三年级统一摸底考试
数学答案
1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C
9.BC 10.ABD 11.ABD
12．3 13． 14． ； .
15．(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),
由 2an+1=λan+4(n∈N*),①
得 2an=λan-1+4(n∈N*,n≥2),②
①-②得,2d=λd.
又因为 d≠0,所以λ=2.
将λ=2 代入①,
可得 an+1-an=2,即 d=2.
又因为 a1=1,所以 an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)可得 =2(2n-n)-1=2n+1-(2n+1),
所以 Sn=(22+23+…+2n+1)-[3+5+…+(2n+1)]= - =2n+2-n2-2n-4.
16．(1)由正弦定理得 sin∠BACtan∠BAC＝sin Bcos∠ACB＋sin∠ACBcos B＝sin(B＋∠ACB)，
因为 B＋∠ACB＝π－∠BAC，
所以 sin(B＋∠ACB)＝sin(π－∠BAC)＝sin∠BAC，且 sin∠BAC≠0，
所以 tan∠BAC＝ .
因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝ .
在△ABC 中， ＝ ＝ ，化简可得 ＝ .
(2)设 AB＝2x，则 AM＝3x.在△ABM 中，由余弦定理得 AB2＋AM2－2AB·AMcos∠BAM＝BM2，即 4x2＋
9x2－12x2· ＝64，解得 x2＝ ，
所以 S△ABM＝ ·2x·3x· ＝ × ＝ .
17．（1） 在题图①中， ， ，所以 ， ，
因为 为 的中点， ，所以 ， .
因为 ，所以点 在题图①中 的中点位置，所以 ，
在题图②中，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 .
（2） 在题图②中，因为 ， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
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因为平面 平面 ， ， 平面 ,所以 平面 .
由（1）知 ，即 ，又 ，所以 ，
过点 在平面 内作 ，
以 为坐标原点， , , 所在直线分别为 , , 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则
令 ，解得 ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，则
令 ，解得 ，所以 , , ，
所以 , ，所以 , ，
所以二面角 的正弦值为 .
18．（1）由题得， ，
令 ，
则函数 有两个极值点，即方程 有两个正实数根.
因为 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以， ，
且当 时， ， 时， .
所以方程 有两个正实数根，
只需 ，解得 ，
即函数 有两个极值点时， 的范围为 .
（2）由 且 ，令 ，则 ，
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由（1）知， ，
即 ，
则 ，
即 ，解得 ，
所以 .
则 ，
令 ，
则 ，
令 ，
则
所以函数 在 上单调递增，
又 ，所以 ， 则 .
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
则当 时， .
即 的最大值为 .
19．（1）设 ， ， ，故 ，
点 在椭圆 上，则 ，
，故得 ，即
解得 ，故椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）知， ， ，若直线 的斜率不存在，
则 ，代入椭圆方程可得 ，故 ，
此时 ,故直线有斜率，
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直线 的斜率为 ，则 的方程为 ，
由 ,消去 得 ，①
显然 ，设 , ， , ，则 ，
于是，
,
化简可得 ，即 ，解得 ，
所以直线的方程为 .
（3）由于椭圆 上一点 ， 的切线方程为 ．
依题意，设椭圆上的点 , ，则过点 , 的切线方程为 ，
即 ，原点到切线的距离为 ．
由两点间距离公式可得 ，
同理, ，则 ，
故 为定值．
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数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上指定位置，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1．集合 的实部为 0}， ， ，i 为
虚数单位，则 为（ ）
A． B． C． D．
2．设 i 为虚数单位，复数 z0 在复平面内对应的点为 Z0(1，2)，且 z0·z＝3＋i，则|z|＝( )
A．1 B． C． D．2
3．作用于原点的两个力 ， ，为使它们平衡需要增加力 ，则力 的大
小为
A． B． C．5 D．25
4．已知函数 （ ）的图象的相邻两支截直线 所得线段长为 ，则
的值是
A．0 B． C． D．
5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，则焦点 到准线 的距离是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知函数 则 ( )
A．4 B．3 C．2 D．无意义
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7．在四面体 中， ，若直线 与平面
所成角为 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知 ， ，若不等式 的解集中
只含有 个正整数，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．在 的展开式中,下列说法正确的是
A．x 的系数为 10
B．第 4 项的二项式系数为 10
C．没有常数项
D．各项系数的和为 32
10．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别
为 ， ． 为双曲线 在第一象限上的点，设 ， 的斜率分别为 ， ，且
．过点 作双曲线 的切线与双曲线的渐近线交于 ， 两点，则（ ）
A． 的值随着 的增大而减小 B．双曲线 的离心率为
C． D．
11．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，
分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五
“三斜求积”中提出了已知三角形三边 a，b，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全
等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂
减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
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.现有 满足 ，且 的面积
，请运用上述公式判断下列命题正确的是（ ）
A． 周长为
B． 三个内角 A，C，B 满足关系
C． 外接圆半径为
D． 中线 CD 的长为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则
＝ ．
13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何
体，如图，羡除 中，底面 是正方形， 平面 ， 和
均为等边三角形，且 ．则这个几何体的外接球的体积为 ．
14．双曲线 的虚轴长为 ，以 的左焦点为圆心，1 为半径的圆的标准
方程为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且存在实数λ满足 2an+1=λan+4,n∈N*.
(1)求λ的值及通项 an;
(2)求数列{ }的前 n 项和 Sn.
16．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，延长 BC 至 M，使得 MC＝
3BC＝6，CA⊥AM，且 atan∠BAC＝bcos∠ACB＋ccos B．
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(1)求 的值；
(2)求△ABM 的面积．
17．如图①所示，在 中， ， ， ， 为 中点.过点
作 ，垂足为 .现将 沿 翻折至 的位置，如图②所示，连接 ，
，过点 作 ，垂足为 ，且 .
图① 图②
（1） 若平面 平面 ，求证： ；
（2） 求二面角 的正弦值.
18．已知函数 且函数 有两个极值点.
(1)求 的范围;
(2)若函数 的两个极值点为 且 ，求 的最大值.
19．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 在
椭圆 上，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 A 为椭圆 的左顶点，过点 的直线 交椭圆 于 , 两点， ，求直线
的方程．
(3)若过椭圆上一点 的切线方程为 ，利用上述结论，设 是从椭圆
中心到椭圆在点 处切线的距离，当 在椭圆上运动时，判断 是否为定值．
若是求出定值，若不是说明理由．
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