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3.2.2 双曲线的几何性质
1.理解并掌握双曲线的几何性质.
2.能利用双曲线的简单性质求标准方程、离心率.
回顾：研究椭圆的几何性质时，涉及到哪些方面？
范围，对称性，顶点，离心率等
回想：我们是怎样研究上述性质的？双曲线是否具有类似的性质呢？
1.范围:
2.顶点:
双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
线段A1A2叫实轴，长为2a，a叫实半轴长.
线段B1B2叫虚轴，长为2b，b叫虚半轴长.
思考：a，b，c的几何意义？
实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
注意点
方程为x2－y2＝m(m≠0)
x
y
o
a
b
4.渐近线:
关于x轴、y轴、原点对称.
3.对称性:
①有助于画双曲线；
②与双曲线无限接近，但永不相交.
③求法(适用于任意双曲线)：
5.离心率
(c>a>0)
e >1
e越大，双曲线开口越大.
(1)定义：
(2)范围：
(3)变形：
(4)e的含义：
椭圆：e越大，椭圆越扁
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
方程
范围
顶点
离心率
渐近线
A1(0，-a)，A2(0，a)
A1(- a，0)， A2(a，0)
归纳总结
问题1：椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度.那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗?怎样反映这种关系?
因为 ????????=????2?????2????=????2????2?1=????2?1 ，所以 ???? 越大， ???????? 也越大，
即渐近线 ????=±???????????? 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，
因此离心率 ???? 可以用来表示双曲线开口的大小.
?
问题2：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗?
渐近线相同的双曲线有无数条，不一定是同一条双曲线，但它们实轴长与虚轴长的比值相同.
问题3：实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率和渐近线分别是什么？
离心率为e＝2，渐近线方程为y＝±x.
?
例1 求双曲线x2－3y2＋12＝0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.
归纳总结
由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为53.
(2)与双曲线????24?????23=1有共同的渐近线，且经过点M(3，-2).
?
解：(1)由题意设所求双曲线的标准方程为????2????2?????2????2=1(????>0，????>0)，
且2b=8，e=????????=53, 从而b=4，c=53a，又c2＝a2+b2，得a2＝9，
?
故所求双曲线的标准方程为????29?????216=1.
?
(2)由题意设所求双曲线的标准方程为????24?????23=λ(λ≠0)，
∵点M(3，-2)在双曲线上，∴44?93=λ，即λ=-2，
∴双曲线的标准方程为????26?????28=1.
?
(2)与双曲线????24?????23=1有共同的渐近线，且经过点M(3，-2).
?
归纳总结
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.
(2)与双曲线????2????2?????2????2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为????2????2?????2????2=λ(λ≠0).
?
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
例3 已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，求双曲线C的离心率.
解：设O为坐标原点，则A1A2的中点为O，且|OA1|=a，|BO|=b.
由△BA1A2是等边三角形可知|BO|=3|OA1|，因此
?
∴c=2a，从而e＝????????＝2.
?
又∵c2=a2+b2=a2+(3a)2=4a2，
?
1.双曲线????29?????216＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于( )
A.6 B.8 C.9 D.10
2.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　)
A.x2－????24＝1 B.y2－????24＝1
C.????24?????216＝1或????24?????216＝1 D.x2－????24＝1或y2－????24＝1
?
B
D
3.已知双曲线????2????2－y2＝1(a>0)的离心率是5，则a＝(　　)
A.6 B.4 C.2 D.12
4.已知双曲线C：????2????2?????2????2＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C
的方程为(　　)
A.????220?????25＝1 B.????25?????220＝1
C.????280?????220＝1 D.????220?????280＝1
?
D
A
回顾本节课，回答下列问题：
(1)双曲线的几何性质；
(2)常见的双曲线的求法有哪些？

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