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3.2.2 双曲线的几何性质
第3章
1.掌握双曲线的简单几何性质.
2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义.
3.根据几何条件求双曲线的标准方程.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}标准方程
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
半轴长
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(±a，0)、(0，±b)
(±c，0)
(±b，0)、(0，±a)
(0，±c)
-a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
-a ≤ y ≤ a, - b≤ x ≤ b
长半轴长为a，短半轴长为b(a＞b)
双曲线是否具有类似的性质呢？
F1
F2
x
O
y
问题1：如何用方程(代数方法)研究曲线 中x的范围？
范围： x≤-a或x≥a，且y∈R.
因此，双曲线C在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内，即位于两条直线x=-a和x=a外侧的区域.
-a
a
∴x≤-a或x≥a，且y∈R.
由双曲线的标准方程????2????2?????2????2=1可知????2????2?????2????2＞0，
即(?????????????????)(????????+????????)＞0，
从而?????????????????＞0????????+????????＞0或?????????????????＜0????????+????????＜0，
∴双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内，
也就是以直线????=????????????和????=?????????????为边界的平面区域内.
?
思考：根据双曲线的标准方程 ，双曲线的范围还受到怎样的限制？
①P(x,y) P1(x,-y)
x轴
方程不变，点在双曲线上
问题2：请观察双曲线方程 图象说明双曲线的对称性.
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
方程不变，点在双曲线上
②P(x,y) P2(-x,y)
y轴
③P(x,y) P3(-x,-y)
原点
方程不变，点在双曲线上
综上，双曲线既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形.这个对称中心称为双曲线的中心.
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
P1
P2
P3
F1
F2
x
O
y
在
中，令y=0，得x=±a，
A1
A2
B1
B2
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长；
双曲线和x轴有两个交点
双曲线的顶点
实轴
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
虚轴
实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.
F1
F2
x
O
y
A1
A2
B1
B2
思考交流：观察图中双曲线x2-4y2=1在第一象限的图形，可发现如下情形：随着x的增大，y随之增大，当x比较大时，该图形逼近于直线y=12x，且总在
该直线的下方.双曲线的这种特征，能否从它在第一象限的方程
y=12????2?1(x≥1)和直线方程y=12x的联系中给出解释呢？
?
双曲线x2-4y2=1上的点P(x,y)在第一象限时，
当 时， 且无限逼近于1，y无限逼近于
也就是说，当 时，双曲线在第一象限内的点P(x,y)无限逼近于直线
因此，形象地称直线 为双曲线x2-4y2=1的渐近线，
根据双曲线的对称性可知 也是双曲线x2-4y2=1的渐近线.
一般地，对于双曲线
当双曲线上的点P(x,y)在第一象限时，有
当 时， 且无限逼近于1，
∴点P(x,y)在直线 的下方，且y无限逼近于
即当 时，点P(x,y)无限逼近于直线
一般地，直线 和 称为双曲线 的渐近线.
∵c＞a＞0，
我们把 叫作双曲线 的离心率，用e表示.
问题3： 决定双曲线的开口大小， 越大，双曲线的开口就越大，你知道这是为什么吗？
∴ 越大，e也越大，从而离心率e可以用来表示双曲线开口的程度.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}方程
x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2?x2b2＝1(a>0，b>0)
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
离心率
渐近线
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}方程
焦点
顶点
范围
对称性
虚实轴
离心率
渐近线
F1(-c，0)，F2(c，0)
A1(-a，0)，A2(a，0)
x≤-a或x≥a
y≤-a或y≥a
中心：原点；对称轴：x轴、y轴
实轴长：2a；虚轴长：2b
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(0，-a)，A2(0，a)
提醒
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大.
(2)等轴双曲线的离心率为2，渐近线方程为y＝±x.
(3)求双曲线的渐近线方程时要注意焦点所在坐标轴的位置.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
?
例1 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程.
解：(1) 由方程可知，焦点在x轴上，且a2=9，b2=16
所以，实轴长2a=6，焦点坐标为：(-5，0)，(5，0)
所以a=3，b=4 且 c2= a2+b2 ，即 c=5.
渐近线方程为：
离心率：
(2)将双曲线方程化成标准方程形式：
又因为 ，即
所以，实轴长2a=6，焦点坐标为：
离心率
渐近线方程为
可知焦点在y轴上，且a2+b2=9，所以a=b=3，
例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的方程.
?
解：根据题意知2c＝16，????????=43，
解得a＝6，c＝8，
从而b2＝ c2－a2 ＝28，
∵双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，
∴所求双曲线方程为????236?????228=1.
?
归纳总结
求双曲线的标准方程常用待定系数法.
当焦点位置明确时，直接设出双曲线的标准方程；
当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2-ny2=λ(mn>0).
根据今天所学，回答下列问题：
1.双曲线的几何性质有哪些？
2.常见的双曲线的怎么求？
1.已知双曲线C:x2-y2=1，则下列有关双曲线的说法正确的有(　 　)
A.实轴长为1 B.虚轴长为2
C.离心率e=2 D.渐近线方程为x±y=0
2.若双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A.y=±2x B. y=±2x
C.y=±12x D.y=±22x
?
BCD
B
D

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