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3.3.1 抛物线的标准方程
第3章
1.理解抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线方程.
彩虹
生活中的抛物线
拱桥
把一根直尺固定在图板上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离)，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.
思考：观察点P的轨迹，说出点P满足的几何条件.
点P到定点F的距离和到定直线l的距离相等.
平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.
定义式：|MF|=d
(d为M到l的距离)
注：若直线l过点F，则点M的轨迹是过点F且与l垂直的直线.
点F叫做抛物线的焦点;
直线l叫做抛物线的准线.
准线
比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？
取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
l
F
M
H
K
O
y
x
设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0)，则|KF|=p，那么焦点F的坐标为 准线l的方程为
设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d，则|MF|=d.
l
F
M
H
K
O
y
x
因为
所以
将上式两边平方并化简，得
思考交流：在建立椭圆和双曲线的标准方程时，由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同，它们各有两种形式的标准方程，你认为抛物线的标准方程一共有几种形式 请分别指出抛物线的焦点位置，并写出相应的标准方程和准线方程.
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
________ ________ ________
________ ________ ________
y2＝2px(p>0)
F(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝　
归纳总结
归纳总结
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
________ ________ ________
________ ________ ________
x2＝2py(p>0)
F(0，)
y＝－　
x2＝－2py(p>0)
F(0，－)
y＝
快问快答：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
提醒
(1)p的几何意义是焦点到准线的距离.
(2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直.
(3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的符号.
(4)由方程写焦点坐标、准线方程时勿忘记化为标准方程.
例1 已知抛物线的焦点为F(5，0)，求抛物线的标准方程和准线方程.
解：∵抛物线的焦点为F(5，0)，
∴可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，其中＝5，
即p＝10，2p＝20，
因此所求抛物线的标准方程是y2＝20x，准线方程是x＝-5.
例2 求经过点P(-2，-4)的抛物线的标准方程.
解：如图，∵点P在第三象限，
∴满足条件的抛物线的标准方程有两种情形：
y2＝-2p1x(p1＞0)和x2＝-2p2y(p2＞0)，
分别将点P的坐标代入方程可解得p1＝4，p2＝，
因此满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝-8x，x2＝-y.
归纳总结
求抛物线的标准方程一般有两种形式：
(1)定义法：直接利用定义求解；
①已知抛物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，求出p 值;
②焦点位置不确定，则分情况讨论
焦点在 x 轴上，设 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上，设 x2＝ay (a ≠ 0)．
(2)待定系数法：
例3 已知探照灯的轴截面是抛物线y2＝x，平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1，-1)，反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点，试确定点Q的坐标.
解：∵抛物线y2＝x的焦点为F(，0)，
∴直线PF的方程为，即y＝-x＋，
由Q(x，y)是抛物线与直线PF的公共点，
解方程组得或(舍去)，
故点Q的坐标为(，).
回顾本节课，回答下列问题：
(1)抛物线的标准方程的四种形式.
(2)如何求抛物线方程？
1.已知抛物线C：y＝4x2，则该抛物线的焦点坐标为(　 　)
A.(1，0) B.(0，1) C.(，0) D.(0，)
2.已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则该抛物线的焦点坐标为(　 　)
A.(1，0) B.(1，) C.(0，) D.(0，1)
D
C
BD
4.已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线焦点的距离为2，则点M的纵坐标是(　 　)
A.0 B. C.1 D.2
C

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