资源简介

3.3.1 抛物线的标准方程
1.理解抛物线的定义及其焦点、准线的概念.
2.掌握抛物线的标准方程.
3.能根据已知条件求出抛物线方程.
数学家华罗庚曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生活之谜，日月之繁，无处不用数学”，比如足球射门时那条美丽的弧线，天空中那一道道美丽的彩虹，广场上那五彩斑斓的喷泉，运动场上那些跳跃运动，哪怕是一个小朋友轻轻投掷一块石子，都会产生一道与众不同的弧线.
动手操作：如图，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处.用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹.
问题1：曲线上点P到直线l的距离是什么?
问题2：曲线上点P到定点F的距离是什么?
问题3：曲线上的点到直线l和定点F之间的距离有何关系?
线段BP的长
线段PF的长
相等
平面上到一个定点F与到一条直线l (l不过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.
l
F
M
H
焦点
准线
定点F称为抛物线的焦点，
定直线l称为抛物线的准线.
概念生成
距离相等
抛物线的定义实质可以归结为“一动三定”:
“一动”：一个动点，设为M;
“三定”：一个定点F——焦点，
一条定直线l——准线;
一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1，为离心率.
l
F
H
M
讨论：(1)定义中为什么加上条件“l不经过F”?
(2)抛物线的图形是双曲线的一支吗?
(1)若点F在直线l上，满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线，而不是抛物线.
(2)不是.
当抛物线上的点趋向于无穷远时，图像的切线接近于和x轴平行；
而双曲线上的点趋向于无穷远时，图像的切线接近于与渐近线平行，抛物线没有渐近线；
从方程上看，抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别.
思考：求抛物线方程时该如何建立适当的坐标系？
l
过抛物线的焦点 F 作准线 l 的垂线，记垂足为 K ，
如图，以直线 KF 为 x 轴，线段 KF 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系.
l
F
M
H
K
O
y
x
设 |KF|=p(p>0)，
则抛物线的焦点为 ，准线为
设点M的坐标为(x，y)，点M到准线l的距离为d，
l
F
M
H
K
O
y
x
因为
所以
将上式两边平方并化简，得
①
叫做抛物线的标准方程.
l
F
M
H
K
O
y
x
它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是
准线是 的抛物线.
p表示焦点到准线的距离.
讨论1：如果建立的平面直角坐标系分别如图(1)(2)(3)所示，其他条件不变，下列抛物线的焦点坐标和准线方程分别是什么？
焦点F：
准线l：
讨论2：如何通过方程y2=2px(p>0)①得到下列抛物线的标准方程？
l
F
M
K
O
y
x
通常称②为焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程 .
将①中的x变为-x 即可得到抛物线(1)的方程为
②
y2=2px(p>0)①
l
F
M
K
O
y
x
通常称③为焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程.
将①中的 x 与 y 互换即可得到抛物线(2)的方程为
③
通常称④为焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程.
将①中的 x 变为 - y 且 y 变为 - x即可得到抛物线(3)的方程为
④
归纳总结
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}图象
标准方程
焦点坐标
准线方程
开口方向
向右
向左
向上
向下
例1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程：
(1)焦点在x轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.
(2)抛物线的焦点是F(?3，0).
(3)焦点在直线x+3y+15＝0上.
解： (1)由题意知抛物线的标准方程具有y2＝-2px的形式，且 p＝5，
因此所求标准方程为y2＝-10x，准线方程为x＝52.
(2)∵抛物线焦点为 F(?3，0)，∴其标准方程可设为y2＝-2px，且????2＝3，
∴p＝6，因此所求标准方程为y2＝-12x，准线方程为x＝3.
?
(3)焦点在直线x+3y+15＝0上.
(3)令x＝0得y＝-5，∴抛物线的焦点为(0，-5)，
∴p＝-10，
因此所求标准方程为x2＝-20y，准线方程为y＝5.
令y＝0得x＝-15，∴抛物线的焦点为(-15，0)，
∴p＝30，
因此所求标准方程为y2＝-60x，准线方程为x＝15.
归纳总结
求抛物线方程，先判断焦点位置，通常用待定系数法.
(1)若能确定抛物线的焦点位置，则直接设出抛物线的标准方程，求出p值即可；
(2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.
例2 已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l:x=-3相切，求动圆圆心M的轨迹方程.
解：设动点M(x，y)，☉M与直线l:x=-3的切点为N，
则|MA|=|MN|，
即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等，
∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l:x=-3为准线，
∴????2=3，∴p=6，
故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.
?
归纳总结
解决轨迹为抛物线问题的方法
抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解.
后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.
1.抛物线y2＝16x的准线方程是( )
A.x＝-2 B.x＝-4 C.y＝-2 D.y＝-4
2.若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为(　　)
A.y2＝4x B.y2＝6x C.y2＝8x D.y2＝10x
3.(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝______，准线方程为________.
(2)已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
B
C
2
x＝－1　
x2=-12y
根据今天所学，回答下列问题：
1.抛物线的标准方程是什么？其焦点坐标和准线方程是什么？
2.求抛物线的方法.
3.求曲线轨迹方程的方法.

展开更多......

收起↑