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(共22张PPT)
3.3.2 抛物线的几何性质
1.理解并掌握抛物线的几何性质.
2.能用抛物线的几何性质分析解决问题．
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？
应研究范围、对称性、顶点，离心率等性质，可通过图形进行研究.
思考：如果抛物线 C 的标准方程是 y2=2px (p>0) ①
则可以根据方程①来得到抛物线的几何性质：
(1)范围
当 x →+∞时，|y|→+∞，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，如图所示.
∴除顶点外，抛物线上的其余点都在 y 轴的右侧.
由方程①可知， 2px≥0，又∵ p>0，∴ x≥0.
此时，称抛物线 C 的开口向右(或朝右).
所以抛物线C关于x轴对称.
此时称 x 轴是抛物线的对称轴，
x轴对称
抛物线只有一条对称轴．
(2)对称性
y2=2px (p>0) ①
y2=2px (p>0) ①
此时，称原点是抛物线的顶点.
(3)顶点
在方程①中，令 y=0 ，得 x=0 ；令 x=0 ，得 y=0.
可知抛物线 C 与 x 轴、y 轴都交于原点 (0，0) .
y2=2px (p>0) ①
(4)离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率，用 e 表示.
l
F
M
K
O
y
x
e=1.
根据抛物线的定义可知，抛物线的离心率
交流讨论：抛物线其他标准方程的范围(开口方向)、对称性、顶点、离心率，同y2=2px (p>0)表示的抛物线相比，有什么变化？
四种抛物线的几何性质的对比
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y2 = 2px
(p>0)
y2 = -2px
(p>0)
x2 = 2py
(p>0)
x2 = -2py
(p>0)
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0，0)
x轴
y轴
1
y轴
x轴
(0，0)
(0，0)
(0，0)
1
1
1
思考1:掌握抛物线的性质，重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”，它们分别指的是什么
“两点”是指抛物线的焦点和顶点；
“两线”是指抛物线的准线和对称轴；
“一率”是指离心率1；
“一方向”是指抛物线的开口方向.
思考2:抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些
抛物线的离心率等于1，它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.
例1 已知双曲线方程是，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.
解：∵双曲线的右顶点坐标为(2，0)，
∴＝2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，
∴所求抛物线的标准方程为y2＝8x，其准线方程分别为x＝-2.
例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：由题意可知， 焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1.
于是
如图，设 A，B两点到准线的距离分别为 由抛物线的定义，可知
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，所以直线l的方程为 y=x-1 ①
将 ①代入方程 得 化简，得
x2-6x+1=0，
所以
所以，线段AB的长是8.
例2 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦.
F
A
B
x
y
O
焦点弦公式
归纳总结
当焦点弦垂直于抛物线的对称轴时，称为抛物线的通径.
F
A
B
x
y
O
p刻画了抛物线开口的大小：
p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄.
例3 如图，A地在B地北偏东45°方向，相距2km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电.
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
解：(1)如图，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4).
∵曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，
∴PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线.
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则p＝4，
故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
(2)问变电房M建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
(2)要使架设电路所用电线长度最短，即使MA＋MB的值最小.
如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，
依题意得MB＝MH，∴MA＋MB＝MA＋MH，
故当A，M，H三点共线时，MA＋MH取得最小值，
即MA＋MH取得最小值，此时M(2，)，
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距km时，
所用电线长度最短，最短长度为6km.
归纳总结
解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而利用其几何性质进行推理、运算.
1.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　)
A.y2＝8x B.y2＝－8x
C.x2＝8y D.x2＝－8y
2.抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为(　　)
A.4 B.2 C.1 D.
3.过抛物线C：y2＝16x的焦点且斜率为4的直线与C交于A，B两点，则|AB|的长度为(　　)
A.1 B.17 C.4 D.8
CD
C
B
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
范围
对称性 顶点 离心率
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0，0)
e=1
y2 = -2px
x≤0， y∈R
y2 = 2px
x≥0， y∈R
x2 = -2py
x∈R， y≤0
x2 = 2py
x∈R， y≥0
不同抛物线的简单几何性质

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