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2025-2026学年北京大学附中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　）
A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10
2.下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A. B. C. D.
3.在平行四边形ABCD中，∠A=2∠B，则∠C的度数是（　　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 135°
4.下列各式中，运算正确的是（　　）
A. =-2 B. += C. ×=4 D. 2-
5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，则矩形对角线的长等于（　　）
A. 6 B. 8 C. D.
6.下列命题正确的是（　　）
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7.下列函数的图象是由正比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到的是（　　）
A. y=2x+1 B. y=2x+2 C. y=2x-1 D. y=2x-2
8.我们知道，四边形具有不稳定性.如图，边长为2的菱形ABCD的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形ABCD的面积为y,AC的长度为x,则下列图象中，可以表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.如图，AB=AC，BD⊥x轴于D，且BD=1，则数轴上点C所表示的数为______．
11.若点A（-1，y1）和点B（2，y2）在一次函数y=-3x+b的图象上，则y1 ______y2（用“＞”、“＜”或“=”连接）.
12.已知菱形两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形一边上的高为______cm.
13.如图，在Rt△ABC中，AB=12，AC=5，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE= ______.
14.我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”.如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD，中空的部分是小正方形EFGH，连接CE.若正方形ABCD的面积为5，EF=BG，则CE的长为______.
15.将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C′点，已知AB=2，∠DEC′=30°，则折痕DE的长为______．
16.如图，直线y=kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y=mx+n分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（-1，2），则不等式kx+b≤mx+n的解集为______．
三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：.
18.(本小题4分)
已知，求代数式的值.
19.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），B（-2，0）.
（1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式；
（2）当0＜y＜2时，x的取值范围是______；
（3）如果点C（2，0），那么△ABC的面积是______.
20.(本小题9分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求作：以AC为对角线的矩形ADCE.
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；
②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；
③连接AE，CE.
四边形ADCE为所求的矩形.
（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明.
证明：∵AE=CD，CE=AD，
∴四边形ADCE为平行四边形（______）.（填推理的依据）
由作图可知，
AD平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC（______）.（填推理的依据）
∴∠ADC=90°.
∴平行四边形ADCE是矩形（______）.（填推理的依据）
21.(本小题10分)
某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.12名学生的身高：160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b.12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.3 m n
（1）写出表中m,n的值；
（2）现将12名学生分成如下甲乙两组.对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好.据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171
乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，168，168.在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为______和______.
22.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD于点O，O为AC中点.（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）延长AB到点E，使得BE=AB，连接CE.若AC=8，BC=5，求CE的长.
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象经过点（1，3），与x轴交于点B.
（1）求这个一次函数的表达式及点B的坐标；
（2）当x＜-2时，对于x的每一个值，函数y=-x+m的值大于一次函数y=x+b的值，直接写出m的取值范围.
24.(本小题10分)
在正方形ABCD中，点E在边CD上，点F在边AD上，CE=DF，连接BE，CF.
（1）求证：BE⊥CF；
（2）在边AB上取点M，使得AM=AF，过点M作MN∥BE交CF于点N，连接AN.用等式表示线段AN，FN，MN之间的数量关系，并证明.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】x≥-3
10.【答案】-1
11.【答案】＞
12.【答案】
13.【答案】0.5
14.【答案】
15.【答案】4
16.【答案】x≤-1
17.【答案】解：原式=3-2+2-
=3-2+2-2
=．
18.【答案】解：∵a=，
∴
=a+
=a+|1-a|
=a+a-1
=2a-1
=2-1．
19.【答案】y=x+2；
-2＜x＜0；
6．
20.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 三线合一 有一个角是90°的平行四边形是矩形
21.【答案】167，167；
甲组；
166、167
22.【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∵O为AC中点，
∴OA=OC，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=AC=×8=4，OB=OD=BD，AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD，
在Rt△BCO中，
OB===3，
∴BD=2OB=6，
∵BE=AB，
∴CD=BE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CE=BD=6，
即CE的长为6．
23.【答案】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象经过点（1，3），
∴1+b=3，
∴b=2，
∴这个一次函数的表达式为y=x+2；
令y=x+2=0，
得x=-2，
∴点B的坐标为（-2，0）；
（2）将（-2，0）代入y=-x+m,
得：-（-2）+m=0，解得 m=-2，
∴直线y=-x-2与直线y=x+2 交于点（-2，0），
∵当m的值变大时，y=-x+m的图象向上平移，函数y=-x+m的值变大，
∴m的取值范围为m≥-2．
24.【答案】设BE与CF的交点为H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠D=90°，
在△BCE与△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF，∠BEC=∠CFD，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠DCF+∠CEB=90°，
∵∠ECH+∠CEH+∠EHC=180°，
∴∠CHE=90°，
∴BE⊥CF；
，理由如下：
延长NM到点Q，使MQ=FN，连接AQ，如图，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠DCF+∠CFD=90°，
∴∠CBE+∠CFD=90°，
又∵∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CFD，
∵MN∥BE，
∴∠AMN=∠ABE，
∴∠AMN=∠CFD，
∴∠AMQ=∠AFN，
在△AMQ与△AFN中，
，
∴△AMQ≌△AFN（SAS），
∴AQ=AN，∠QAM=∠NAF，
∵∠FAN+∠MAN=90°，
∴∠MAQ+∠MAN=90°，即∠QAN=90°，
∴△AQN是等腰直角三角形，
∴，即，
∴
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