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浙教版2025-2026学年九年级上数学第1~3章综合练习卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．从一个装有 6 个红球， 4 个蓝球， 2 个白球和 1 个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
2．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大
C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5
3．已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
（第4题） （第6题） （第8题） （第10题）
5．下列命题正确的是（　　）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．同弧或等弧所对的圆周角相等
D．圆内接平行四边形一定是正方形
6．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A．4cm B． C． D．
7．若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最低位置秋千底部所经过的路径长为（　　）
A．2米 B．米 C．米 D．米
9．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．
10．如图，已知，，，是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的边数是　 　．
12．已知扇形的半径为6，弧长为3π，则扇形的面积为　 　.
13．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　．
14． 如图，在相距 2m 的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面 2.6m，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高 1.1m 的小妹距较近的那棵树 0.5m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　 　m.
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，若点为直线下方的抛物线上一动点，连接，，则面积的最大值为　 　．
16．如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知抛物线的图象经过点
（1）求a的值；
（2）若点，都在该抛物线上，试比较与的大小．
18．一个不透明口袋里装有 4 个大小完全相同的球，其中红球 2 个，白球 2 个。
（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率。
（2）若第一次从口袋中任意摸出 1 个球，不放回搅匀，第二次再摸出 1 个球。用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率。
19．如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
20．如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结 ．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）①当售价上涨时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
②当售价下降时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
（2）每件商品的售价x定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围______．
22．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8 ，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
23．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
（2）已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
24．如图1，是的直径，点A、D在上，连接、，，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）如图2，连接，作的角平分线交于，求的长度．
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浙教版2025-2026学年九年级上数学第1~3章综合练习卷1
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．从一个装有 6 个红球， 4 个蓝球， 2 个白球和 1 个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余均同），下列事件中发生可能性最小的是（ ）
A．摸出红球 B．摸出蓝球 C．摸出白球 D．摸出黑球
【答案】D
【解析】∵所有的球中黑球最少，∴摸出黑球的可能性最小，
故答案为： D.
2．关于二次函数，下列说法中正确的是（　　）
A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而增大
C．图象的顶点坐标是 D．当时，有最小值是5
【答案】C
【解析】二次函数中，
，函数图象开口向下，A不符合题意；
函数图象的顶点坐标是，当时，函数有最大值，最大值是5，C符合题意，D不符合题意；
函数图象的对称轴为，时y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，B不符合题意．
故答案为：C．
3．已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵抛物线的解析式为：，∴抛物线的对称轴为，
∵，∴抛物线开口方向向下，∴离对称轴距离越远，函数值越小，
∵点，，在抛物线（为常数）上，
∴，
∴，
故答案为：D．
4．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：B
5．下列命题正确的是（　　）
A．三个点确定一个圆
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．同弧或等弧所对的圆周角相等
D．圆内接平行四边形一定是正方形
【答案】C
【解析】A、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原命题错误，不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意；
D、圆内接平行四边形一定是矩形，但不一定是正方形，故原命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
6．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　）
A．4cm B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦的长为．
故答案为：C．
7．若抛物线经过点，则下列各点，必在抛物线上的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线的对称轴为直线x=，
设关于直线x=的对称点为（m，n），
∴，
∴m=-b-1
∴必在抛物线L上的是，
故答案为：D．
8．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最低位置秋千底部所经过的路径长为（　　）
A．2米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【解析】过点作于点，
∵当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，
当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，
∴．
∵，
∴
∴，
∴秋千底部所经过的路径长．
故答案为：C．
9．已知二次函数的对称轴为，当时，y的取值范围是．则的值为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【解析】∵二次函数的对称轴为，
∴，即，
∴，
当时，有最大值，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，
∴，，
解得：或；或；
经检验时，不符合题意；
∴，，
∴．
故答案为：D
10．如图，已知，，，是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点A作⊙O直径AE，过点B作⊙O的直径BF，连接DE，CF，如图所示：
∵，
∴，
∴∠E+∠F=90°，
∵AE，BF是⊙O的直径，⊙O的半径是10，
∴AE=BF=20，∠ADE=∠FCB=90°，
∴∠E+∠A=90°，
∴∠A=∠F，
在△ADE和△FCB中，
∴△ADE≌△FCB(AAS)，
∴DE=BC=x，
在Rt△ADE中，AD=y，DE=x，AE=20，
由勾股定理得：DE2+AD2=AE2，
即x2+y2=400，
∴在x，y值的变化过程中，代数式x2+y2的值不变，
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的边数是　 　．
【答案】10
【解析】
所以这个正多边形是正十边形.
故答案为：10.
12．已知扇形的半径为6，弧长为3π，则扇形的面积为　 　.
【答案】9π
【解析】
故答案为：9π.
13．盒中有a枚黑棋和b枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为　 　．
【答案】
【解析】由题意得：，整理得：，∴，
故答案为：．
14． 如图，在相距 2m 的两棵树上拴了一根绳子做成一个简易秋千，拴绳子的地方都高出地面 2.6m，绳子自然下垂近似呈抛物线形，当身高 1.1m 的小妹距较近的那棵树 0.5m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　 　m.
【答案】0.6
【解析】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A(0，2.6)， B(2，2.6)， C(0.5，1.1)
设函数解析式为
把A、B、C三点分别代入得出c=2.6
同时可得44a+2b+c=2.6，0.25a+0.5b+c=1.1
解得a=2，b=-4，c=2.6.
∴当x=1时， 米.
故答案为： 0.6.
15．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，若点为直线下方的抛物线上一动点，连接，，则面积的最大值为　 　．
【答案】
【解析】直线与轴交于点，与轴交于点，
令，，令，，
∴，
∵二次函数的图象经过，两点，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为：，
∵点为直线下方的抛物线上一动点，
设，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
=
=
，
∵，
∴关于的二次函数图象开口向下，二次函数有最大值，
∴当时，有最大，最大值为，
故答案为： ．
16．如图， 经过 Rt 的直角顶点 ，交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，且满足 ，则 的半径为　 　．
【答案】
【解析】如图， 过点O作OM⊥AB于点M， ON⊥BC于点N，OP⊥AC于点P， 连接OC，
∵DE=FC=CG，
∴OM=ON=OP，
MD=ME=NF =NC = PC = PG，
∴小⊙O是Rt△ABC的内切圆， 四边形CPON是正方形，
∴AP =AM， BM=BN， CP=CN， △CNO是等腰直角三角形，
∴AG=AD， BF = BE，
设DE=FC=CG=x(x>0)，
∴
在 ‘中，由勾股定理得： 即
解得： (不合题意，舍去)，
∴
是等腰直角三角形，
∴⊙O的半径为
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知抛物线的图象经过点
（1）求a的值；
（2）若点，都在该抛物线上，试比较与的大小．
【答案】（1）解：∵抛物线的图象经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∵点，都在该抛物线上，
∴．
18．一个不透明口袋里装有 4 个大小完全相同的球，其中红球 2 个，白球 2 个。
（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率。
（2）若第一次从口袋中任意摸出 1 个球，不放回搅匀，第二次再摸出 1 个球。用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率。
【答案】（1）解：∵一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个，
∴从中任取一个球，求摸到红球的概率是
（2）解：
（列表亦可）
共有 12 种等可能的结果，同时摸两个球恰好是两个红球的有 2 种情况，
两次摸到的球都是红球的概率为
19．如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：由旋转的性质得：，，，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴；
∵，
∴，
∴
=180°-∠ACB-∠ACD-∠ABC+∠ABE=180°-67.5°-67.5°=45°．
20．如图，的直径垂直弦于点，是圆上一点，是的中点，连结交于点，连结 ．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2）解：∵的直径垂直弦，且，
∴，
设，
∴，，
在中，，即，
解得（负值已舍），即，
在中，
21．某商品的进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，如果售价每上涨1元，则每月少卖10件（每件售价不能高于65元）；如果售价每下降1元，则每月多卖12件（每件售价不低于48元）．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件．
（1）①当售价上涨时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
②当售价下降时，y与x的函数关系为______，自变量x的取值范围是______；
（2）每件商品的售价x定为多少元时，每月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）商家发现：在售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除，当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，请直接写出a的取值范围______．
【答案】（1）解：∵进价为每件40元，当售价为每件50元，每月可卖出200件，
又∵售价每上涨1元，则每月少卖10件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y件，
∴上涨了元，少卖出了件，
∴，
整理得：，
∵每件售价不能高于65元，x为正整数，
∴；
∵如果售价每下降1元，则每月多卖12件，
∴下降了元，多卖出了件，
∴，
整理得：，
∵每件售价不低于48元，x为正整数，
∴，
（2）解：∵由（1）得和，
∴对价格上涨和下降分情况讨论利润问题：
设：利润为，
①当价格上涨时，售价为x，此时销量为，
∴，
整理得：，
∵且为正整数，，开口向下利润有最大值，
∴售价元时利润最大，最大利润为：元，
②当价格下降时，售价为x，此时销量为，
∴，
整理得：，
∵且为正整数，，开口向下利润有最大值，
∴对称轴，当元时，利润最大为：元，
∵，
∴综上所述：当售价为55元时，利润最大，最大利润为2250元.

（3）解：∵售价上涨的情况下，每件商品还有元的其他费用需要扣除，
由（1）得，，
∴，
整理得：，
∴对称轴为：，
∵当售价每件不低于60元时，每月的利润随x的增大而减小，
∴，
∴，
∵，
∴，
22．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF．
（1）求证：△AFO≌△CEB；
（2）若BE＝4，CD＝8 ，求：
①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴BC＝BD，
∴∠A＝∠DCB，
∴OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠CEB，
∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS）．
（2）解：①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CE＝ CD＝4
设 OC＝r，则 OE＝r﹣4，
∴r2＝（r﹣4）2+（4 ）2
∴r＝8．
②连结 OD．
∵OE＝4＝ OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，
∴∠COD＝120°，
∵△AFO≌△CEB，
∴S△AFO＝S△BCE，
∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD
＝ ﹣
＝ ﹣16 .
23．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”．
（1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”．
（2）已知二次函数．
①求证：该函数图象上一定存在两个“点”．
②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：（答案不唯一）
（2）解：①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），
将（x，-x），代入y=x2-mx-3，
得，则，
，
∴此方程存在两个不相等的实数根，
∴该函数图象上一定存在两个“点”；
②∵这两个“点”的横坐标分别是，
是的解，
函数图象与轴相交于点，，
该函数图象开口向上，且，
当时，即，
．
【解析】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，
则方程有解；
∴y=-x，
∴方程有解；
∴；
二次函数满足要求；
24．如图1，是的直径，点A、D在上，连接、，，，．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）如图2，连接，作的角平分线交于，求的长度．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，，
在中，，
∴，即，
解得：，
∵，
∴点是的中点，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴；
（3）解：连接，，过点C作于点F，
∵是的直径，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
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