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浙教版2025-2026学年八年级上数学第1-2章综合练习卷2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，将 沿直线DE折叠，点A 落在BC 的延长线点 F 处，若 则 的度数为（　　)
A． B．50 C． D．
【答案】D
【解析】根据折叠可知，∠DFE=∠A =25°，
∵∠ADF=∠B+∠BFD=95°，∠B=40°，∴∠BFD=55°，
∴∠EFB=∠DFE+∠BFD=25°+55°=80°.
故答案为：D
2．如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠A=40°，∴∠ABC+∠C=140°，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，
∵BD平分∠ABC，∴，
故答案选：B．
3．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【解析】作直线 所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点 内角平分线相交于点 根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等.
故答案为：D.
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
5．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（　　）
A．17 B．20 C．22 D．26
【答案】B
【解析】∵，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：B
6． 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴AM=PM，PN=CN.
∴∠MAP=∠MPA，∠CPN=∠PCN，
∵∠BMN=∠MAP+∠MPA，∠BNM=∠CPN+∠PCN，
∴∠BMN=2∠MPA∠BNM=2∠CPN
又∵∠APC=114°
∴∠BMN+∠BNM=2(∠MPA+∠CPN)=2(180°-∠APC)=132°
∴∠ABC =180°-(∠BMN+∠BNM)=48°，
故答案为：A.
7．如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点A作AF⊥BC于点F，
则BF=FC=4，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B.
8．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有(　　).
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
【答案】C
【解析】设直角三角形的两条直角边分别为a，b（a≤b），则斜边为，
∴周长为：a+b+，面积为：，
∴a+b+=k.（a，b，k均为正整数），
整理如下：=k.-a-b，
a2+b2=（k.-a-b）2，
k2ab-4ka-4kb+8=0，
(ka-4)(kb-4)=8=1×8=2×4=（-1）×（-8）=（-2）×（-4），
∵a，b，k均为正整数，且a≤b，
∴可分为以下几种情况：①，可得：k=1时：；
②，可得：k=2时：；k=1时：；
其他情况均不合题意，舍去。
综上可得出：符合条件的直角三角形的个数为3个。
故答案为：C .
9．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】如图，在上截取，连接
平分，平分
，
在和中
在和中
周长为
，
∴
∴
解得：.
故选：.
10．如图，等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=AE，BE 和CD 交于点N，AF⊥BE，FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G.下列说法：①∠ABE=∠FAC；②AN 垂直平分BC；③GE=GM；④BG=AF+FG，其中正确的个数是(　　).
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵AF⊥BE
∴∠ABE+∠BAF=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABE+∠FAC=90°
∴∠ABE=∠FAC
故①正确
如图，连接AN
∵ △ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=90°.
∵AD=AE，∠BAC=∠BAC，AC=AB.
∴Rt△ABE≌Rt△ACD (SAS)，
∴∠ABE=∠ACD， AC=AB.
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠CBN=∠BCN，
BN=CN，
又∵AB=AC，
∴AN垂直平分BC，
故②正确；
∵Rt△ABE≌Rt△ACD，
∴∠BEA=∠ADC，
又∵GF⊥DC，
∴∠FMC+∠DCM=90°，而∠ADC+∠DCM=90°
∴∠AEB=∠FMC，
∴∠GEM=∠GME.
∴GE=GM，
故③正确
如上图，过G作GH⊥BC于K，交AF的延长于点H，连BH.
∵CD⊥FG，AF⊥BG
∴∠GFC+∠BCN=90°，∠CBN+∠BFA=90°，
∴∠GFC=∠AFB.
∴∠GFC=∠HFK，
在△GFK和△HFK中，
∴△GFK≌△HFK(SAS)，
∴GK=KH， GF=FH，
∴AF+FG= AF+FH= AH
∵GK=KH， GH⊥BC
∴BG= BH，
又∵BC⊥GH.
∴∠GBC=∠HBC=∠BCD
∵∠ABC+ ∠ACB=90°，
∴∠ABC+ ∠BCD=90°-∠ACD
∴∠ABC+∠GBC=∠ABC+∠HBC=∠ABH=90°-∠ACD
∵∠BAH= 90°- ∠FAC，∠ABE=∠CAF=∠ACD .∠ABH=∠BAH
∴AH= BH，
∴BG= AH= AF+ FG，
故④正确，
故答案为：D .
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
12．若等腰三角形的一个内角为 ，则它的底角的度数为　 　．
【答案】65°或50°
【解析】∵等腰三角形的一个内角为50°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣50°）÷2=65°，
若这个角为底角，则另一个底角也为50°，∴其一个底角的度数是65°或50°．
故答案为：65°或50°．
13．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是　 　米．
【答案】24
【解析】如图所示：
根据题意可知米，米，
根据勾股定理得．
解得AB=15（米）
所以树折断前有（米）．
故答案为：．
14．如图，AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管　 　根.
【答案】8
【解析】 ∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，
即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．
故答案为：8．
15．如图，在四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥BD.若 ，则线段AB 的长为　 　.
【答案】
【解析】过点C作CE⊥CD交AD于E，BC与AD的交点记作点F，
∴∠ECD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠AFC+∠CAE=90°
∵∠AFC=∠DFB，
∴∠DFB+∠CAE=90°
∵∠ADB=90°，
∴∠DFB+∠CBD=90°，
∴∠CAE=∠CBD，
∴△ACE≌△BCD(ASA)，
∴AE=BD，CE=CD，
在Rt△DCE中，，
∴，
∵BD=2，
∴AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，
，
故答案为：.
16．如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是　 　；
（2）若，且，则　 　．
【答案】（1）10
（2）6
【解析】（1）延长交的延长线于点H，
，
，
，
∴，
，即是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在中，，
即，
；
故答案为：10；
（2），，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
．
故答案为：6．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中，AD为中线，过点B作 于点E，过点C作 交AD的延长线于点 F.
（1）求证：BE=CF；
（2）若 的面积为7， 的面积为2，求 的面积.
【答案】（1）证明：∵AD 为△ABC的中线，
∴BD=CD，
∵ BE⊥AD，CF⊥AF，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴BE=CF；
（2）解：由(1)可得，△BED≌△CFD，
∵△ABE的面积为7，△BDE 的面积为2，
∵AD为△ABC的中线，
∴△ACF的面积为11.
18．如图，已知，，相交于点，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：如图，令交于点O，
，
，
，
，
．
19．如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，．
（1）求证：；
（2）求四边形面积．
【答案】（1）证明：∵在中，，，
∴．
∵， ，
∴，
∴是直角三角形，．
（2）解：∵是直角三角形，且，
∴；
∵在中，，
∴．
∴．
20．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵是的平分线，，，
∴，，
，，∴，
∵，∴，
∴，∴
（2）解：∵，∴，
∵，，∴=
=
21．我们规定：在任意 中，在线段 上取 两点 ，使得 ，则称线段 为 的等角线，如图1．
（1）如图2，在 中， 是 的角平分线，点 分别在线段 上（不与端点重合），连结 ，则点 到线段 的距离相等，判断线段 是否为 的答角线，并说明理由。
（2）如图3，在等腰直角三角形 中， ，线 段 是 等角线，且 ，若 求 的长．
【答案】（1）解：∵ 是 的角平分线 ，∴∠BAD=∠CAD，
∵ 点 到线段 的距离相等 ，∴AD为∠PAQ的平分线，即∠PAD=∠QAD，
∴∠BAD-∠PAD=∠CAD-∠QAD，即∠BAQ=∠CAQ，
根据规定“ 任意 中，在线段 上取 两点 ，使得 ，则称线段 为 的等角线， ”∴ 是 的等角线。
解：
∵线 段 是 等角线，是等腰直角三角形，且，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∠BAP=∠CAQ，因此△BAP≌△CAQ（ASA），∴BP=CQ=，
过A点作AD⊥BC于D点，∵是等腰直角三角形，且 ，
∴D为BC中点且AD平分∠BAC，PD=QD，
∵ 线 段 是 等角线， ，∴∠BAP=∠CAQ=（90°-45°）÷2=22.5°，
∴AD平分∠PAQ，即∠PAD=∠QAD=45°÷2=22.5°，
过P点作PE⊥AB于E点，∵∠BAP=∠PAD=22.5°，PE⊥AB、PD⊥AD，
∴AP为∠BAD角平分线，且PE=PD，
设PE=PD=a，
∵∠B=45°，∠BEP=90°，∴BE=PE=a，
此时有BE2+PE2=BP2，即a2+a2=2，解得a=1，
∴PQ=PD+DQ=1+1=2
22．如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点，交于点．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在中，，
，
和的角平分线相交于点，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
是直角三角形，
又，
是等腰直角三角形
（2）解：过点作于点，于点，如图所示：
，
四边形是矩形，
平分，，，，
，
矩形是正方形，且，
设，
在和中，
，
≌，
，
，
由可知：是直角三角形，且，
即，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
∴
23．
（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度数；
②求∠CAP的度数．
【答案】（1）解：∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=80°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC=∠ABC=20°，∠FCB=∠ACB=40°，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=120°；
（2）解：①在△ABC中，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，
∴∠PCD=∠BPC+∠PBC=42°+∠ABC，
∴∠ACD=∠ABC+42°，
∴∠ACD-∠ABC=84°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=84°，
即∠CAB=84°．
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∴PE=PG，PF=PG，
∴PE=PF，
∴AP平分∠CAE，
∴∠CAP=∠CAE=×（180°-84°）=48°．
24． 在 中，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别为AC，AB上的点，连接AD，DE，EF，FD.
（1）【探究发现】如图①，若AB=BC，F为AB的中点， 求证：AB=AF+AE；
（2）【类比猜想】如图②，若 ，试说明AB，AE，AF之间的数量关系；
（3）【拓展延伸】如图③，若 求AB 的长度.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，AB=BC，
∴AB=AC=BC，
∴ △ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C=60°.
∵∠EDF=60°，
∴ ∠EDC+∠FDB=180°-60°=120°，
∴∠EDC=∠BFD，
∵D为BC的中点，
∴
∵ F为AB的中点，
∴
∵AB=BC，
∴AF=BF=BD=CD，
∴△BDF≌△CED(ASA)，
∴CE=BD=BF，
∴
∴AE=CE=BF，
∴AB=AF+BF=AF+AE；
（2）解：AB=AF+AE，理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAD=∠B=∠CAD，
∴AD=BD.
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，
∵∠ADF+∠BDF=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
∴△BFD≌△AED(ASA)，
∴AE=BF，
∴AB=AF+BF=AF+AE
（3）解：如图，取AC的中点 G，连接DG，
∴
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C，
∵∠BAC=120°，
∴ ∠C=30°，∠DAC=∠DAB=60°
∴
∴AG=AD，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD=GD，∠ADG=∠AGD=60°，
∴ ∠ADE+∠GDE=60°，∠FAD=∠EGD=60°.
∵∠EDF=60°，
∴∠ADF+∠ADE=60°，
∴∠ADF=∠GDE.
在△AFD和△GED中，
∴△AFD≌△GED(ASA)，
∴EG=FA，
∵
∴
∵AE+AF=12，
∴AB=24.
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浙教版2025-2026学年八年级上数学第1-2章综合练习卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，将 沿直线DE折叠，点A 落在BC 的延长线点 F 处，若 则 的度数为（　　)
A． B．50 C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，在中，，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（　　）
A．17 B．20 C．22 D．26
6． 如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第9题） （第10题）
7．如图，在中，，点在AB边上，连结CD，点是CD的中点，连结AE．若，则AE的长是（　　）
A．2 B． C． D．
8．满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有(　　).
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
9．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（　　）
A． B． C． D．4
10．如图，等腰Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD=AE，BE 和CD 交于点N，AF⊥BE，FG⊥CD 交 BE 的延长线于点 G.下列说法：①∠ABE=∠FAC；②AN 垂直平分BC；③GE=GM；④BG=AF+FG，其中正确的个数是(　　).
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是　 　．
12．若等腰三角形的一个内角为 ，则它的底角的度数为　 　．
13．如图所示，一棵大树在离地面米处断裂，断裂后树的顶部落在离底部米处．这棵大树在折断之前是　 　米．
（第1题）（第1题）（第1题）（第1题）
14．如图，AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管　 　根.
15．如图，在四边形ABCD中，AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥BD.若 ，则线段AB 的长为　 　.
16．如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且．
（1）则的长是　 　；
（2）若，且，则　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在 中，AD为中线，过点B作 于点E，过点C作 交AD的延长线于点 F.
（1）求证：BE=CF；
（2）若 的面积为7， 的面积为2，求 的面积.
18．如图，已知，，相交于点，，．
（1）求证：．
（2）求证：．
19．如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，．
（1）求证：；
（2）求四边形面积．
20．如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G．
（1）求证：；
（2）若，，，求的面积．
21．我们规定：在任意 中，在线段 上取 两点 ，使得 ，则称线段 为 的等角线，如图1．
（1）如图2，在 中， 是 的角平分线，点 分别在线段 上（不与端点重合），连结 ，则点 到线段 的距离相等，判断线段 是否为 的答角线，并说明理由。
（2）如图3，在等腰直角三角形 中， ，线 段 是 等角线，且 ，若 求 的长．
22．如图，在中，和的角平分线相交于点，延长，与外角的角平分线相交于点，交于点．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）若，，求的长．
23．
（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度数；
②求∠CAP的度数．
24． 在 中，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别为AC，AB上的点，连接AD，DE，EF，FD.
（1）【探究发现】如图①，若AB=BC，F为AB的中点， 求证：AB=AF+AE；
（2）【类比猜想】如图②，若 ，试说明AB，AE，AF之间的数量关系；
（3）【拓展延伸】如图③，若 求AB 的长度.
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