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2023级高三学年上学期九月份月考
数 学 试 题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，：“”， ：“”，则是的　　
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．的展开式中的系数为15，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
6．已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．已知函数，其中e是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形；在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC（含端点）上的一点，则的范围为（ ）
B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则　　
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称
C．函数在区间上单调递减
D．若，则
10．已知等边的边长为4，点D，E满足，，与CD交于点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是　　
A．
B．若，则只有一解
C．若为锐角三角形，则取值范围是
D．若为边上的中点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知锐角满足，则=_______
13．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面
都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一
个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经
证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体 正六面体 正八面体
正十二面体 正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的
外接球与内切球的表面积的比为 ．
14．已知函数，在区间上单调，且满足，若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为 　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若且，求的取值范围．
16．已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线；
(2)讨论的单调性；
17．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：） 54 58 60 63 64
件数（单位：件） 5 25 45 20 5
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；
（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量，则，，
18．已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若不等式在区间内有解，求的取值范围．
条件①：；
条件②：的图象可由的图象平移得到；
条件③：在区间内无极值点，且．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知函数在定义域内存在实数和非零实数，使得成立，则称函数为“伴和函数”.
(1)判断是否存在实数，使得函数为“伴和函数”？若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由；
(2)证明：函数在上为“伴和函数”；
(3)若函数在上为“伴和函数”，求实数的取值范围.2023级高三学年上学期九月份月考
数学答案
一、选择题（1-8每小题5分，9-11每小题6分共58分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B B C D A C A ACD ABD ABD
填空题（每小题5分，共15分）
12. 13. 3:1 14.
三、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）解：（Ⅰ）由正弦定理，，即，
由余弦定理，，
又，．
（Ⅱ）因为，且，由正弦定理得，得，，
可得，
，，，
16．（15分）解：（1）当时，函数，则，切点坐标为，
，则曲线在点处的切线斜率为，
所求切线方程为，即.
（2），函数定义域为R，
，
①，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
②，解得或，解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
③，恒成立，在上单调递增.
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
（15分）解：（1）由题意可知:，
则，
所以
（2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，
事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，
则，，，，
所以；
（ii）因为，所以，所以．
18．（17分）解：因为，所以，
选择条件①：，则，即，
此时不唯一，不符合题意；
选择条件②：的图象可由的图象平移得到，
因为的图象可由的图象平移得到，所以的最小正周期为，
因为，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为，所以，
因为不等式在区间内有解，即在区间内有解，
所以，即，所以的取值范围是；
选择条件③：在区间内无极值点，且；
（Ⅰ）因为，
所以．
因为，
所以，
所以分别在，时取得最大值、最小值，
所以的最小正周期，
因为在区间内无极值点，
所以的最小正周期，
所以．
因为，所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为，所以，
因为不等式在区间内有解，
即在区间内有解，
所以，即，
所以的取值范围是．
19．（17分）（1）解：不存在，理由如下：若，则，
整理得，因为，该方程无解，
所以，不存在实数使得函数为“伴和函数”.
（2）证明：由，得，整理得，
设因为在内连续不断，且，，则，
所以，在内存在零点，所以，在内存在零点，
即方程在内存在实根，故函数在上为“伴和函数”.
（3）解：若函数在上为“伴和函数”，则，
即，整理得，
令，则，所以，.
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，，所以，，
即，所以，实数的取值范围为.

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