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吉林七中大学区2025-2026学年度上学期阶段质量检测考试九年级数学科试题
本试卷共7页，满分120分 答题时间：120分钟
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意，每小题3分，共18分）
1．下列关于的函数中，属于二次函数的是
A． B． C． D．
2．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为
A．3 B．2 C． D．
3．一元二次方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
4．已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
5．关于二次函数的图象，下列叙述正确的是
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当时，随增大而增大 D．与轴交于点
6． 俗语有云：“一日不练，手生脚慢；两日不练，技艺减半；三日不练，成门外汉；四日不练，只能旁观．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两日不练，技艺减半”，则每天“遗忘”的百分比约为 （参考数据：）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
7．若抛物线 y=(a-2) x2 +x+4 的开口向上，则a满足的条件为 .
8 . 如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是 ．
（第8题） （第9题）
9 . 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ．
10 . 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形．若车棚占地面积为，设电动车车棚的宽为x m，则列方程为： .
如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为 ．
（第10题） （第11题）
三、解答题（本题共11题，共87分）
12．（6分）解方程:
13 .（6分）将抛物线向右平移1个单位后经过点．
求平移后抛物线的解析式．
14 .（6分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
15 .（7分） 已知抛物线 y=x2 - 3x - 4与x轴的交点为A、B（点A在点B的左侧）,与y轴的交点为C.
（1）求A、B、C三点的坐标.
（2）若该抛物线的顶点为P,求 PAB的面积.
16 .（7分）已知二次函数y= - x2 - (m - 1)x + m + 1.
（1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点.
（2）若该函数图象的对称轴是直线x=1,将该函数的图象向下平移1个单位长 度后新的图象函数解析式是： _.
17 .（7分）教材再现．人教版初中数学教科书九年级上册第页数学活动对三角点阵中前行的点数计算进行了探究：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第行有一个点，第行有两个点 第行有个点
小明同学发现，前行的点数和是，前行的点数和是，前行的点数和是前行的点数和是，他有点疑惑，能不能用含的式子把表示出来．
小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来的．经过思考后，他发现：
设，① 则，② 由①②可得
(1)探索：三角点阵中前行的点数之和为 ，前行的点数之和为 .
(2)应用：若图中三角点阵前行的点数之和为，则的值为 ．
18 .（8分）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a+bi(a,b为实数)，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似.
例如：解方程x2=-1，解得x1=i，x2= -i.
同样我们也可以化简：
读完这段文字，请解答以下问题：
（1）填空：i3=________，i4=________，i6=________，i2025= .
（2）在复数范围内解方程：（x - 1）2 = -1 .
19．（8分）请仔细阅读并完成相应的任务.
用图象法解一元二次不等式： 方法如下： 步骤一：设 步骤二：先将二次函数：化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x…0123…y… 3 30…
步骤四：描点，连线（因为，所以抛物线开口向下）. 步骤五：观察函数图象可知，当或时，. 所以的解集是或
任务：
(1)“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是 .
(2)将材料中的表格补充完整，并画出图象.
(3)请直接写出一元二次不等式的解集是 ．
20．（10分）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99
元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件.
（1）当销售量为30件时，产品售价为 元/件.
（2）直接写出日销售量y(件)与售价x(元/件)的函数关系式：
（写化简后的解析式并写出自变量取值范围）.
（3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？
21 .（10分）如图，抛物线经过点和点．
（1）求抛物线的解析式为 .
（2）若直线轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线交于点N，
设线段 的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围．
（3）若抛物线的图象上存在点P，使 PAB的面积等于 AOB
的面积的一半，则这样的点P共有 个.
22．（12分）掷实心球是我市中考体育考试的必考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处．
求抛物线的解析式；
男子实心球的得分标准如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
若抛物线经过，两点，抛物线在，之间的部分为图象（包 括，两点），图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，直接写出的值.试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页《吉林七中大学区2025-2026学年度上学期阶段质量检测九年级数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D A C C B
a>2 8. 1 9. ， 10. 11. 4
12．（6分）解：，
， 或 (2x+5)(x-1)=0
∴，
∴，
∴；
13．（6分）解：∵抛物线向右平移1个单位，
∴平移后的抛物线顶点坐标为，解析式为，
∵抛物线向右平移1个单位后经过点，
∴，
解得，
∴平移后的解析式为．
（6分）解:设每个支干长出x小分支
1+x+x2=91
解得x1=9,x2= -10(舍)
答：设每个支干长出9小分支
（7分）（1）当y=0时，x2-3x-4=0,解得x1=4,x2= -1 A（-1,0）B（4,0）
当x=0时，y=-4 C（0，-4）
（2）AB=4-(-1)=5, P() , S=
16解：（1）
故不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点.
（2）
17 . （7分）(1) 36， (2)
（1）解：第一行有个点，第二行有个点，，第行有个点，
前行的点数之和为，
记前行的点数之和为，
则①，
又②，
①②得，，
，即前行的点数之和为．
（2）解：由（1）知，前行的点数之和为，
前行的点数之和为，
整理得，，
因式分解得，，
于是得，或，
，，
，
，即的值为．
18（8分）（1）-i 1 -1 i （2）x1=1+ i , x2=1 - i
19.（8分）（1）解：，
（2）解：对于，
当时，；
当时，；
∴表格补全为：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
图象如下：
；
（3）解：，
则函数图像取在x轴上方的部分，对应x的范围是，
(1)105 （2）y=-2x+240(70≤x≤99)
（3）该产品的售价每件应定为95元，电商每天可盈利最大，最大值为1250元。
21．（10分）（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
把代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
如图，设点M的横坐标为m，
则点M的坐标为，点N的坐标为，
又∵点M，N在第一象限，
∴线段的长度，
当时，n有最大值，最大值为，
∴n的取值范围是．
（3）4
22．（1）解：由题意可得，抛物线的顶点的坐标为，
设该抛物线的解析式为，
抛物线经过点，
，
，
该抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
解得：，，
点在轴的正半轴，
舍去，
，即小强在这次训练中的成绩为米，
，
小强的得分是分；
（3）解：抛物线经过两点，，
，
，
由题意可知，图象上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，
有以下四种情况：
如图，当时，的值随的值的增大而增大，
依题意，，
即：，
解得：，
这与相矛盾，故舍去；
如图，当时，，
即：，
解得：或，
与相矛盾，故舍去，
；
如图，当时，，
即：，
解得：或，
与相矛盾，故舍去，
；
如图，当时，的值随的值的增大而减小，
依题意，，
即：，
解得：，
这与相矛盾，故舍去；
综上所述：或．

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