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2025高中数学人教A版必修一第三章单元拔尖测试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（5分）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
3．（5分）（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．200 D．600
7．（5分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
10．（6分）（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数的图象经过点，则（ ）
A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称
C．在上单调递减 D．在上最大值为
11．（6分）（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．为奇函数
C． D．在上单调递减
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 .
13．（5分）（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 .
14．（5分）（24-25高一上·广东广州·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·新疆阿克苏·期中）求下列函数的定义域或值域：
(1)求的定义域；
(2)的值域；
16．（15分）（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知幂函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
17．（15分）（24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润.
(1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式；
(2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润.
18．（17分）（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式．
19．（17分）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围．
答案解析
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数.
【解答过程】对于A选项，两个函数的定义域相同，
，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数；
对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同，
故得到两个函数是同一函数；
对于C，两个函数的定义域相同为，
且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数；
对于D，两个函数定义域相同，，
对应法则相同，故两个函数是同一函数.
故选：A.
2．（5分）（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
【答案】D
【解题思路】令，采用换元法求函数的解析式.
【解答过程】令，则，
，
所以.
故选：D.
3．（5分）（24-25高一上·云南昭通·期中）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案.
【解答过程】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以，
则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则.
故选：A.
4．（5分）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】利用函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值的正负即可判断得解.
【解答过程】函数中，，解得，函数的定义域为，
由，得函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除AD；
当时，，排除选项C，选项B符合要求.
故选：B.
5．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项.
【解答过程】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减．
由于，所以，
又，所以，
所以，即
故选：D.
6．（5分）（24-25高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ）
A．60 B．100 C．200 D．600
【答案】B
【解题思路】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值．
【解答过程】解：当时，设，则，解得
于是
设车流量为q，则
当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有；
当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数，
因此恒有，等号成立当且仅当；
综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆．
故选：B．
7．（5分）（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当且时，都有，若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解题思路】构造，利用函数单调性与奇偶性的定义与判断得的性质，再分类讨论，与三种情况，利用的单调性即可得解.
【解答过程】由当且时，都有，得，
令，则且，成立，
因此函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数，
则的定义域为，且，
于是是偶函数，在上单调递减，，
当时，，不等式无解；
当时，不等式，解得；
当时，不等式，解得，
因此或，所以不等式的解集为.
故选：B.
8．（5分）（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．函数在上单调递减
D．
【答案】D
【解题思路】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D．
【解答过程】A选项，因为奇函数，则，
令，得，可得，故A正确；
B选项，因为偶函数，则，
即为函数图象的一条对称轴，故B正确；
C选项，由，得为图象的一个对称中心，
又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增，
所以在当单调递增，
又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确；
D选项，由B选项，，令，可得，故D错误．
故选：D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·吉林通化·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
【答案】ACD
【解题思路】对于A求抽象函数的定义域，由得即可判断，对于B判断是否是同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C由得，即即可判断，对于D消元法求函数解析式可判断.
【解答过程】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确；
对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误；
对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确；
对于D：由，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
10．（6分）（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数的图象经过点，则（ ）
A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称
C．在上单调递减 D．在上最大值为
【答案】BC
【解题思路】根据函数解析式和图象经过的点求出，进而利用的解析式，结合偶函数的定义与复合函数的单调性，逐一分析判断各选项即可得解.
【解答过程】因为的图象经过点，
所以，解得，则，
对于A，因为在处无意义，
所以的图象不经过点，故A错误；
对于B，因为的定义域为，
又，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，故B正确；
对于C，因为在上单调递增，且，
所以在上单调递减，故C正确；
对于D，由选项C可知在上最大值为，故D错误.
故选：BC.
11．（6分）（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）若定义在上不恒为0的，对于都满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．为奇函数
C． D．在上单调递减
【答案】ABD
【解题思路】A：令可得结果；B：令可得结果；先结合奇偶性分析在上的单调性，由此可判断D；根据条件将化简，结合单调性可判断C.
【解答过程】对于A：令，则，所以，故正确；
对于B：令，则，所以，
且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确；
对于CD：，则，
因为，所以，所以，所以，
因为，
且，
所以，所以，即，
因为时，，所以，
所以，所以在上单调递减，故D正确；
又因为，且，所以，故C错误；
故选：ABD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是 .
【答案】
【解题思路】由求解即可.
【解答过程】由题意可得：，
解得：，
所以定义域是，
故答案为：.
13．（5分）（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 .
【答案】
【解题思路】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式.
【解答过程】因为幂函数在上是减函数，
所以，即，
解得.又因为，所以或.
当时，，，为偶函数，
图象关于轴对称，且满足题意.
原不等式为，由于在R上单调递增，
则不等式化为，解得.
当时，，，为奇函数，不满足图象关于轴对称，舍弃.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
14．（5分）（24-25高一上·广东广州·期末）设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，若，则不等式的解集为 .
【答案】
【解题思路】令，由条件可得的奇偶性与单调性，分为三种情况讨论，结合，得到不等式的解集.
【解答过程】因为为上的奇函数，所以，.
不妨设，由得，
则，可得，
令，则在上单调递增，
的定义域为，
且，
故为偶函数，在上单调递减，
当时，，
因为，所以，
故，即，解得；
当时，，
因为，所以，
故，解得；
当时，，符合题意，
故不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·新疆阿克苏·期中）求下列函数的定义域或值域：
(1)求的定义域；
(2)的值域；
【答案】(1)且且；
(2).
【解题思路】（1）根据题意由求解；
（2）令，由求解.
【解答过程】（1）解：由题意得：，
解得且且，
所以函数的定义域为且且.
（2）由题意得，
所以，
所以函数的值域是.
16．（15分）（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知幂函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）根据幂函数的定义，结合求出解析式；
（2）根据幂函数的定义域以及单调性求解不等式即可.
【解答过程】（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故．
（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
17．（15分）（24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润.
(1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式；
(2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润.
【答案】(1)
(2)70个，640万元
【解题思路】（1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可；
（2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.
【解答过程】（1）根据题意得
当时，，
当时， ，
所以
（2）当时，，
在内单调递增，所以当时，的最大值为450，
当时，，
因为，当且仅当，
即时，等号成立，
所以，
因为，所以当时，的最大值为640，
所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元.
18．（17分）（24-25高一上·四川乐山·期中）已知函数定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式．
【答案】(1)；
(2)是上的增函数，证明见解析；
(3)．
【解题思路】（1）由求得，再由求得，并检验；
（2）根据单调性定义证明；
（3）由奇偶性变形不等式，再由单调性求解．
【解答过程】（1）因为函数定义在上的奇函数，所以，，
所以，，所以，
，满足题意；
所以；
（2）是上的增函数，证明如下：
设，则，
因为，所以，从而，而，
所以，即，
所以是上的增函数；
（3）由题意是上的递增的奇函数，
由得，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
19．（17分）（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的实数，均有，且，当时，．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若对任意，，，总有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)奇函数
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)．
【解题思路】（1）令，结合得，利用奇函数定义即可证明；
（2）先利用条件证时，，然后利用函数单调性的定义以及已知条件，判断函数单调性即可；
（3）先判断在R上的单调递增，求出函数的最值，然后将问题转化为恒成立，即对恒成立，列不等式组求解即可.
【解答过程】（1）函数为R上的奇函数.证明如下：
易知函数的定义域为，令，则，
又，所以，所以函数为奇函数.
（2）在上的单调递增，证明如下：
由（1）知，，
当时，，所以，
从而，
，则 ，
因为，所以，又当时，，
所以，所以，所以，
故在上的单调递增.
（3）由（1）知，函数为R上的奇函数，所以，
由（2）知，当时，，且在上的单调递增，
所以在上的单调递增，
所以当时，函数的最大值为，最小值为，
又任意，总有恒成立，
所以，即，
由题意，对恒成立，令，则，
所以，解得或，
故实数的取值范围是.

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