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2025高中数学人教A版必修一第三章单元基础练习题
题型1 函数的概念
1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是 （填序号）．
①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；
④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．
4．（24-25高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，.
5．（24-25高一·全国·随堂练习）下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；
(2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；
(3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系；
(4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系；
(5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系；
(6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系．
题型2 函数的定义域的求解
1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是
.
4．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域，求函数的定义域.
题型3 函数的值域的求解
1．（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（ ）
A． B．（）
C．（） D．
3．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ．
4．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)．
题型4 同一函数的判断
1．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
①
②
③
④
⑤
A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤
3．（24-25高一上·甘肃庆阳·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是 ．
（1）
（2）
（3）
（4）
4．（24-25高一·江苏·课后作业）判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：
（1），； （2），，；
（3），； （4），.
5．（24-25高一·江苏·课后作业）试判断下列各组函数是否表示同一个函数．
（1）与；
（2）与；
（3）与 ；
（4），与，.
题型5 函数单调性的判断及单调区间的求解
1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ．
4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并证明：
(2)解不等式：.
5．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数
(1)求函数的定义域.
(2)求函数的单调区间.
(3)当时，求函数的最小值.
题型6 函数的最值问题
1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．4
2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3或5
3．（24-25高一上·全国·周测）函数，的最大值为 .
4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
5．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知
(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数
(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值
题型7 函数奇偶性的判断
1．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数．
4．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)，．
5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数；
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性，并证明.
题型8 函数图象的判断与应用
1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·湖南衡阳·期中）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为 .
4．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求出函数的解析式；
(2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间；
(3)根据图象写出使的x的取值集合.
5．（25-26高一上·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分．
(1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象；
(2)求函数在上的解析式；
(3)求函数的单调区间和最大值．
题型9 求幂函数的函数值、解析式
1．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．2 B．8 C． D．16
2．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则 ．
4．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知幂函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数a的值.
5．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围．
题型10 幂函数的定义域、值域问题
1．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ．
4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域．
(1)；
(2)；
(3)．
5．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
题型11 二次函数模型的应用
1．（24-25高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
2．（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（24-25高一上·全国·课后作业）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间满足，若小球飞到最高处时用了2s，则小球的飞行高度不低于15m的时长为 s．
4．（24-25高一上·河南开封·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差．
(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
5．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本.
(1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？
(2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？
题型12 分式型函数模型的应用
1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（ ）m时，能使总造价最低．
A．6 B．4 C． D．3
2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（ ）万元.
A．45.5 B．37.5 C．36 D．35
3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为 元.
4．（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为．
(1)用表示；
(2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？
5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用关于的表达式；
(2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
答案解析
题型1
1．（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
【答案】B
【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可.
【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，故A错误；
对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确；
对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误；
对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误．
故选：B.
2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列表示函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】根据函数的定义对图象一一判断即可.
【解答过程】在函数的基本概念中，自变量和因变量需要一一对应，且对于每个值，仅有一个值对应，
所以选项ABD均不符合.
故选：C.
3．（24-25高一上·上海·课前预习）下列四种说法中，不正确的是 （填序号）．
①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；
④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．
【答案】②
【解题思路】根据函数的定义，即可求解.
【解答过程】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确；
若函数,定义域为，但值域为，故②错误，
定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确，
由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确，
故答案为：②.
4．（24-25高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，.
【答案】(1)不是集合A到集合B的函数
(2)是集合A到集合B的函数
(3)不是集合A到集合B的函数
(4)是集合A到集合B的函数．
【解题思路】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数.
【解答过程】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．
（2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数．
（3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数．
（4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
5．（24-25高一·全国·随堂练习）下列变化过程中，变量之间存在怎样的依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)地球绕太阳公转的过程中，二者间的距离与时间的关系；
(2)在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间的关系；
(3)某超市一天的销售额与客流量之间的关系；
(4)某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系；
(5)往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间的关系；
(6)抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间的关系．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可.
【解答过程】（1）地球绕太阳公转，二者的距离与时间存在函数关系，
其中时间时自变量，距离是因变量
（2）在空中做斜抛运动的铅球，铅球距地面的高度与时间存在函数关系，
其中时间为自变量，高度是因变量
（3）某超市一天的销售额与客流量之间存在函数关系，
其中客流量是自变量，销售额是因变量
（4）某十字路口，通过汽车的数量与时间存在函数关系，
其中时间是自变量，通过汽车的数量是因变量
（5）往烧杯中注水，杯中水的体积与注水时间存在函数关系，
其中时间是自变量，杯中水的体积是因变量
（6）抛掷一枚均匀硬币的次数与硬币正面朝上的次数之间不存在函数关系.
题型2
1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据偶次根式、分式有意义的条件列不等式，求解即可.
【解答过程】由题意得，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D.
2．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用抽象函数的定义域，结合复合函数定义域列式求解即得.
【解答过程】由函数的定义域为，得，则，
即的定义域为，在函数中，由，解得，
所以所求函数的定义域为.
故选：A.
3．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）若函数的定义域为，则函数的定义域是
.
【答案】
【解题思路】由求解即可.
【解答过程】由题意可得：，
解得：，
所以定义域是，
故答案为：.
4．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3){且
(4)且
【解题思路】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（2）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；
（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（4）根据分式中的分母为不为零以及偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可.
【解答过程】（1）
所以定义域为
（2）
所以定义域为
（3）且
所以定义域为且
（4）且
所以定义域为且.
5．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域，求函数的定义域.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；
（2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可；
【解答过程】（1）设，由于函数定义域为，
故，即，解得，
所以函数的定义域为；
（2）因为函数的定义域为，即，
所以，所以函数的定义域为，
由，得，
所以函数的定义域为.
题型3
1．（24-25高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】令，，可得，利用函数单调性求值域.
【解答过程】令，，则，
所以函数，函数在上单调递增，
时，有最小值，
所以函数的值域为.
故选：C.
2．（2025高一·全国·专题练习）下列函数中，值域是的是（ ）
A． B．（）
C．（） D．
【答案】D
【解题思路】分别求出各函数的值域即可.
【解答过程】因为，所以函数值域为，故A错误；
因为时，，故B错误；
因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误；
因为，所以函数的值域为，故D正确.
故选：D．
3．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的值域是 ．
【答案】
【解题思路】分离常数后，即可求解.
【解答过程】因为，所以，
故所求值域为．
故答案为：.
4．（2025高三·全国·专题练习）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解题思路】（1）根据即可求出函数的值域；
（2）（3）分离常数，结合反比例函数的性质即可得解；
（4）根据二次函数的性质求出被开方数的范围即可得解.
【解答过程】（1）由，即所求函数的值域为；
（2）由，
∵，∴，
即函数的值域为；
（3）由，∴函数的定义域为，
，
即，∴，
即函数的值域为；
（4）由，得，
∴所求函数的值域为．
5．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列函数的值域：
(1)，；
(2)；
(3)，；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【解题思路】（1）根据给定的自变量值求出函数值即可.
（2）利用二次根式的意义求出值域.
（3）利用二次函数的性质求出值域.
（4）利用分式函数，结合分离常数的思想求出值域.
【解答过程】（1），且，则．
所以函数的值域为.
（2）函数的定义域为，由，得，
所以的值域为.
（3）函数图象的对称轴为，而，
当时，，当时，，
所以函数的值域为．
（4）函数的定义域为，
，
所以函数的值域为．
题型4
1．（24-25高一上·天津·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解题思路】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解.
【解答过程】对于A，与的定义域分别为，故A错误；
对于B，与的定义域分别为，故B错误；
对于C，与的定义域都是，且，故C正确；
对于D，与的定义域分别为，故D错误.
故选：C.
2．（24-25高一上·福建福州·期中）下列各组函数中，是同一个函数的有（ ）
①
②
③
④
⑤
A．①②③ B．①④⑤ C．①⑤ D．①③④⑤
【答案】C
【解题思路】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案.
【解答过程】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确；
对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误；
对于④，由，故④错误；
对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确.
故选：C.
3．（24-25高一上·甘肃庆阳·阶段练习）下列各组函数表示同一个函数的是 ．
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）（4）
【解题思路】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数，从而得解.
【解答过程】对于选项（1），因为，
所以两个函数的定义域均为，且对应关系也相同，
所以是同一个函数，故（1）正确；
对于选项（2），因为，
两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故（2）错误；
对于选项（3），因为的定义域为，
的定义域为，
所以两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故（3）错误；
对于选项（4），因为，
所以两个函数的定义域均为，对应关系也相同，是同一个函数，故（4）正确．
故答案为：（1）（4）.
4．（24-25高一·江苏·课后作业）判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：
（1），； （2），，；
（3），； （4），.
【答案】答案见解析.
【解题思路】根据函数的三要素：定义域，对应关系，值域是否相同来判断即可.
【解答过程】（1）函数的定义域为R，的定义域为，
所以两者不是同一个函数.
（2）函数的定义域为R，，的定义域为，定义域不同，所以两者不是同一个函数.
（3）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.
（4）定义域，对应关系，值域均相同，所以两者是同一个函数.
5．（24-25高一·江苏·课后作业）试判断下列各组函数是否表示同一个函数．
（1）与；
（2）与；
（3）与 ；
（4），与，.
【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）不是.
【解题思路】（1）求两个函数的定义域即可求解；
（2）根据两个函数的对应关系即可求解；
（3）求两个函数的定义域和对应关系即可求解；
（4）根据两个函数的对应关系即可求解；
【解答过程】（1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数；
（2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数．
（3）因为定义域为， ，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数；
（4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数．
题型5
1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案.
【解答过程】由题意得，解得，故的定义域为，
由于在上单调递减，由复合函数单调性可知，
故只需求解在内的单调递增区间，
开口向下，对称轴为，故即为所求.
故选：B.
2．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（ ）
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
【答案】A
【解题思路】根据正比例函数、反比例函数的单调性，结合函数单调性的性质、定义逐一判断即可.
【解答过程】函数在区间上均单调递增，因此当时，单调递增，A正确，B错误；
令，任取，
则，
当时，，，故在区间内单调递减；
当时，，故在上单调递增，C错误，D错误．
故选：A.
3．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间为 ．
【答案】和
【解题思路】整理可得，利用函数单调性的定义判断函数单调性.
【解答过程】首先，的定义域为，且.
而对任意，根据可知，即，故.
又对任意，根据可知，故.
因此在区间上单调递减，在上单调递减，故函数的单调递减区间为和．
故答案为：和．
4．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，.
(1)判断函数的单调性，并证明：
(2)解不等式：.
【答案】(1)增函数，证明见解析
(2).
【解题思路】（1）任取、且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性；
（2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式.
【解答过程】（1）任取、且，即，
，
因为，则，，
，即，
所以函数在区间上是增函数；
（2）由（1）可知函数在区间上是增函数，且，
因此由可得.
因此，不等式的解集为.
5．（24-25高一上·湖南郴州·期中）已知函数
(1)求函数的定义域.
(2)求函数的单调区间.
(3)当时，求函数的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解题思路】（1）结合分式成立的条件即可求出函数的定义域；
（2）利用单调性的定义进行证明即可；
（3）结合（2）的单调性求时，函数的最小值.
【解答过程】（1）要使函数有意义，则，
即函数的定义域为.
（2），令，则，
则，
当时，，则，故函数在上单调递增；
当时，，则，故函数在上单调递减；
当时，，则，故函数在上单调递减；
当时，，则，故函数在上单调递增；
综上知，的增区间为和，的减区间为和.
（3）由（2）知，当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
因此时，函数取得最小值为.
题型6
1．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则函数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】B
【解题思路】利用函数的单调性求解即可.
【解答过程】因为在上单调递减，
所以当时取得最小值，，
故选：B.
2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．3或5
【答案】A
【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.
【解答过程】，当时，，不符合题意；
当，即时，在内单调递减，，符合题意；
当，即时，在内单调递增，，
解得，与矛盾，舍去．
综上所述，．
故选：A.
3．（24-25高一上·全国·周测）函数，的最大值为 .
【答案】12
【解题思路】换元法将函数转化为二次函数，再根据二次函数的图像与性质求最小值.
【解答过程】令，因为，所以.
则，函数单调递增，
当，即时，有最大值12，
即函数，的最大值为12.
故答案为：12.
4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为1，最小值为.
【解题思路】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论；
（2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值.
【解答过程】（1）证明：任取，且，
则
因为，，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为1，最小值为.
5．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）已知
(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数
(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解题思路】（1）且，利用作差法证明即可；
（2）由（1）求出函数的最值，再根据题意即可得解.
【解答过程】（1）且，
则，
因为，所以，
又因为，所以，
因此，
所以在是减函数；
（2）由（1）可知，是减函数，
所以时，取得最大值为，
时，取得最小值为，
因为最大值与最小值之差为1，
所以，解得.
题型7
1．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解题思路】利用函数的奇偶性的定义依次判断即可.
【解答过程】对A，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故A不符合题意；
对B，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故B不符合题意；
对C，函数定义域为，关于原点对称，，满足，故C符合题意；
对D，函数定义域为，关于原点对称，，不满足，故D不符合题意.
故选：C.
2．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
【答案】D
【解题思路】根据奇偶性的定义判断即可.
【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以；
是定义在上的偶函数，所以，
则，所以为奇函数，故A错误；
，所以为偶函数，故B错误；
，则为非奇非偶函数，故C错误；
，故为偶函数，故D正确.
故选：D.
3．（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数．
【答案】奇
【解题思路】根据奇偶函数的定义即可判断
【解答过程】因为是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是，
则的定义域为，关于原点对称，
且，
所以，
所以为奇函数，
故答案为：奇.
4．（24-25高一上·全国·课前预习）判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)，．
【答案】(1)既是奇函数又是偶函数；
(2)偶函数.
【解题思路】（1）（2）根据奇偶性定义判断函数的奇偶性即可.
【解答过程】（1）由，得，即．
函数的定义域是，关于原点对称，且，
既是奇函数又是偶函数．
（2）函数的定义域为，关于原点对称．
，
是偶函数．
5．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数；
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】(1)
(2)偶函数，证明见解析
【解题思路】（1）根据具体函数的解析式得出函数的定义域；
（2）先根据定义域关于原点对称，再化简解析式应用偶函数的定义即可证明.
【解答过程】（1）因为函数，所以且不等于2，
所以且不等于0，所以函数的定义域为；
（2）函数是偶函数.
函数的定义域为关于原点对称，
又因为,
,
所以是偶函数.
题型8
1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D.
2．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】分析函数的奇偶性、及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
，则函数为偶函数，排除C选项，
当时，，则，排除BD选项，
故选：A.
3．（24-25高一上·湖南衡阳·期中）已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为 .
【答案】
【解题思路】先根据图象，写出当时，不等式的解集，再根据函数的奇偶性写出当时，不等式的解集，再合并起来即可.
【解答过程】由图可知，当时， ， .
又函数是定义在区间上的一个偶函数，
所以当时，，且；
当时，，且.
综上可知，的解集为：.
故答案为：.
4．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求出函数的解析式；
(2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间；
(3)根据图象写出使的x的取值集合.
【答案】(1)
(2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为，
(3)或.
【解题思路】（1）令，则求出，再根据即可求出；
（2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间；
（3）结合图象写出的解集即可.
【解答过程】（1）当时，，则.
因为为奇函数，所以.
所以；
（2）
由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，.
（3）由图可知，使的的取值集合为或.
5．（25-26高一上·全国·单元测试）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的二次函数图象的一部分．
(1)在图中的直角坐标系中补充完整函数的图象；
(2)求函数在上的解析式；
(3)求函数的单调区间和最大值．
【答案】(1)作图见解析；
(2)；
(3)答案见解析.
【解题思路】（1）根据偶函数的对称性画出函数图象；
（2）根据已知写出解析式，结合点在函数图象上求参数，再用分段函数形式写出解析式；
（3）由图象确定函数的单调区间和最大值.
【解答过程】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，补充完整其图象如下：
（2）当时，；
当时，依题设，
将点代入，得，解得，
故．
即函数在上的解析式为；
（3）由图知，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和，
函数在和处取得最大值，且，
所以函数的最大值为4．
题型9
1．（24-25高一上·重庆·期末）已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．2 B．8 C． D．16
【答案】A
【解题思路】由点求得函数解析式即可求解；
【解答过程】设，
则，解得：，
所以，
故选：A.
2．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知幂函数的图象经过点，则该函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】由幂函数定义可设，由条件列方程求，可得结论.
【解答过程】因为函数为幂函数，故可设，
因为函数的图象过点，
所以，
所以，
所以，即.
故选：A.
3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象经过点，则 ．
【答案】
【解题思路】将点代入幂函数解析式求解即可.
【解答过程】因为是幂函数，图象经过点，设，
则，解得，故,
故答案为：.
4．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知幂函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)若，求实数a的值.
【答案】(1)
(2)或
【解题思路】（1）由幂函数的定义求得或，再检验即可求得函数表达式，代入求值即可；
（2）由偶函数性质可得，由此解方程即可得解.
【解答过程】（1）由题意知，解得或，
当时，为奇函数，不满足题意；
当时， ，满足题意，
∴，∴.
（2）由和可得，即或，
∴或.
5．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【解题思路】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可.
（2）根据单调性求不等式.
【解答过程】（1）由幂函数在上单调递减，
可得，解得，所以．
（2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以的取值范围是．
题型10
1．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】利用幂函数的定义直接求出定义域.
【解答过程】函数的定义域为.
故选：B.
2．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解题思路】根据幂函数的性质逐项分析即得.
【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为，
的定义域和值域均为，故A错误；
对于B，的定义域为，其值域为，
的定义域为，其值域为，故B错误；
对于C，的定义域为，其值域为，
的定义域为，其值域为，故C正确；
对于D，的定义域为，其值域为，
的定义域和值域均为，故D错误，
故选：C.
3．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知幂函数的定义域是，则 ．
【答案】
【解题思路】根据幂函数的系数为，求出的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可.
【解答过程】因为函数为幂函数，则，即，
解得或，
当时，函数的定义域为，合乎题意；
当时，函数的定义域为，舍去.
综上所述，.
故答案为：.
4．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列幂函数的定义域．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解题思路】利用幂指数为分数的意义即为根式，来求定义域.
【解答过程】（1）由幂函数，可知定义域为；
（2）由幂函数，可知定义域为；
（3）由幂函数，可知定义域为.
5．（24-25高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
【答案】，
【解题思路】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域.
【解答过程】因为在上为增函数，所以，解得，
又，所以，或．
又因为，所以是偶函数，所以为偶数．
当时，满足题意；当时，不满足题意，
所以，
又因为在上递增，
所以，，
故时，的值域是．
题型11
1．（24-25高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
【答案】A
【解题思路】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.
【解答过程】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
2．（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解题思路】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解.
【解答过程】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为，
设所建造的禽舍总面积为，
则，
所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值.
故选：D.
3．（24-25高一上·全国·课后作业）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间满足，若小球飞到最高处时用了2s，则小球的飞行高度不低于15m的时长为 s．
【答案】2
【解题思路】根据二次函数性质求得，即得函数解析式，再由求解集，根据所得解集区间长度即可得答案.
【解答过程】小球的飞行高度与飞行时间之间满足二次函数，
二次函数的对称轴方程为，又小球飞到最高处时用了2s，
所以，解得，故，
令，即，解得，
故小球的飞行高度不低于15米的时长为．
故答案为：2.
4．（24-25高一上·河南开封·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差．
(1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)或时，公司获得最大利润为74120元．
【解题思路】（1）由利润是总收入与总成本之差即可求解；
（2）通过配方法即可求解；
【解答过程】（1）利润是总收入与总成本之差，所以．
（2），
所以当或时，公司获得最大利润为74120元．
5．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本.
(1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？
(2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？
【答案】(1)
(2)元
【解题思路】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果；
（2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值.
【解答过程】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元，
则，
即，
解得，
所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元.
（2）设杂志提价后的价格是每本（）元，
则 =（），
所以当时，取得最大值.
所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大.
题型12
1．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（ ）m时，能使总造价最低．
A．6 B．4 C． D．3
【答案】B
【解题思路】设正面边长为xm，地面宽为ym，易得，设总造价为，由求解.
【解答过程】解：设正面边长为xm，则地面宽为ym，则，
所以，
设总造价为，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（ ）万元.
A．45.5 B．37.5 C．36 D．35
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解.
【解答过程】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足，
即有，由，得，
因此月利润
，当且仅当时，即时取等号，
所以当万件时，该公司最大月利润为万元.
故选：B.
3．（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为 元.
【答案】
【解题思路】设房屋的长为，由题可得总造价，再利用基本不等式即得；
【解答过程】设房屋的长为，则宽为，则总造价
，当且仅当，即时取等号，
故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元.
故答案为：.
4．（24-25高一上·上海黄浦·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室（如图）．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．设矩形温室的左侧边长为，蔬菜的种植面积为．
(1)用表示；
(2)当为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)当为40m时，蔬菜的种植面积最大，最大值为
【解题思路】（1）由题得，化简即得解；
（2）利用基本不等式即可求解．
【解答过程】（1）；
（2），
，
当且仅当即时等号成立，
当为40m时，蔬菜的种植面积S最大，最大值为．
5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知运货卡车以的速度匀速行驶了，按交通法规限制 （单位：km/h），假设汽油的价格是7元/L，而运货卡车每小时耗油，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用关于的表达式；
(2)当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用．
【答案】(1)
(2)，
【解题思路】（1）求出行车所用时间，列出总费用表达式，从而求解；
（2）根据（1）中的表达式并结合基本不等式，从而求解.
【解答过程】（1）行车所用时间为，
根据汽油的价格是每升7元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元，
可得行车总费用：．
（2）由（1）
当且仅当即取得最小值.

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