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2025高中数学人教A版必修一第三章单元培优测试卷
考试时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
2．（5分）（24-25高一上·海南海口·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（ ）

A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③
4．（5分）（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（24-25高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）


A．①② B．③④ C．①④ D．②③
6．（5分）（24-25高一上·广东·期末）若幂函数在上是单调递增的，则（ ）
A． B．
C．在上是单调递增函数 D．是偶函数
7．（5分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（6分）（24-25高一上·吉林长春·期末）幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数的值域为
11．（6分）（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数满足：对任意实数都有，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
13．（5分）（2025·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
才可驾车.
14．（5分）（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则使成立的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式：
(1)已知函数，求函数的解析式；
(2)已知是二次函数，且满足，，求.
16．（15分）（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
17．（15分）（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
18．（17分）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，
(1)求的函数解析式，并求报价的最小值.
(2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
19．（17分）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知的定义域为，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性；
(3)若，求x的取值范围．
答案解析
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
【答案】B
【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可.
【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，故A错误；
对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确；
对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误；
对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误．
故选：B.
2．（5分）（24-25高一上·海南海口·阶段练习）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解题思路】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案.
【解答过程】函数要有意义，需满足，
解得且，即函数的定义域是，
故选：D.
3．（5分）（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（ ）

A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③
【答案】B
【解题思路】根据幂函数的单调性判断即可.
【解答过程】根据幂函数的单调性，
当时，在上单调递增，
且时，在上的图象增长速度越来越快，
时，在上的图象匀速增长，
时，在上的图象的图象增长速度越来越慢，
当时，在上单调递减，
因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象．
故选：B.
4．（5分）（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围.
【解答过程】令，则，.
已知在上单调递增，则在上单调递增，且.
若，则，此时在单调递增，
且，符合题意.
若，则须满足：
即.
综上，.
故选：C.
5．（5分）（24-25高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）


A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】A
【解题思路】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象.
【解答过程】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m，
则，且，
由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.
故选：A.
6．（5分）（24-25高一上·广东·期末）若幂函数在上是单调递增的，则（ ）
A． B．
C．在上是单调递增函数 D．是偶函数
【答案】C
【解题思路】先根据幂函数性质得到，，代入计算得到AB错误；根据的单调性和奇偶性得到C正确，D错误.
【解答过程】由题意得且，解得或（舍去），
故，
A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，在R上单调递增，故在上是单调递增函数，C正确；
D选项，，故不是偶函数，D错误.
故选：C.
7．（5分）（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且的最大值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】根据二次函数的开口方向和对称轴的位置讨论函数的单调性，写出最大值为成立的条件即可.
【解答过程】因为的定义域为，所以，
图象的开口方向向上，对称轴方程为，
当时，，即，
所以在单调递减，
的最大值为，最小值为，不合题意；
当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
又的最大值为，所以，
即，整理得，解得或，
又，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
8．（5分）（25-26高一上·全国·单元测试）已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解题思路】根据单调性和奇偶性的定义列不等式组求解即可.
【解答过程】由当时得在单调递增，
因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增，故在上单调递增，
由得，
所以，解得，
故原不等式的解集为，
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）下列四个曲线中，可以作为函数图象的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解题思路】由函数的定义，对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，即可判断.
【解答过程】根据函数的定义，在选项A、C、D中的图象中，
对于任何一个 ，都有唯一的 与之对应，所以可以作为函数图象，
选项B中，当 时，有2个 与之对应，不能作为函数图象.
故选：ACD.
10．（6分）（24-25高一上·吉林长春·期末）幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数的值域为
【答案】ACD
【解题思路】根据幂函数的定义求出判断A，根据单调性比较大小判断B，根据偶函数定义判断C，根据幂函数的性质求出值域判断D.
【解答过程】对于A，因为是幂函数，
所以，可得或（舍去），则，正确；
对于B，，，所以，错误；
对于C，定义域为，且，所以函数是偶函数，正确；
对于D，由，得函数的值域为，正确.
故选：ACD.
11．（6分）（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数满足：对任意实数都有，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
【答案】BCD
【解题思路】对A，令，得解；对B，令，结合求解判断；对C，令，可得，再令，可判断；对D，由B、C的解析可得函数的周期为2，从而可判断D.
【解答过程】对于A，令，可得，又，则，故A错误；
对于B，令，得，即，
所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，得，故，
令，得，即，故C正确；
对于D，因为为偶函数，所以，又由C选项得，得，即，
所以，可得，故函数的周期为2，
因为，所以，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（24-25高一上·云南红河·阶段练习）函数的定义域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解题思路】由题意可得不等式对于恒成立，进而结合一元二次不等式恒成立问题求解即可.
【解答过程】因为函数的定义域为，
所以不等式对于恒成立，
当时，不等式为，恒成立，符合题意；
当时，有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
13．（5分）（2025·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
才可驾车.
【答案】
【解题思路】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.
【解答过程】当时，，
当时，函数有最大值，当时，函数值为，
所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量大于，
当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于，
故答案为：.
14．（5分）（24-25高一上·重庆渝北·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则使成立的取值范围为 .
【答案】
【解题思路】由条件利用函数的奇偶性和单调性的关系求得满足的x的取值范围即可．
【解答过程】∵定义在上的偶函数在上单调递增，
，则，
∴则由，可得,
即，
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）（24-25高一上·全国·周测）求下列函数的解析式：
(1)已知函数，求函数的解析式；
(2)已知是二次函数，且满足，，求.
【答案】(1)
(2)
【解题思路】（1）利用换元法进行求解；
（2）利用待定系数法求解.
【解答过程】（1）已知，，
令，，则，代入上式得，
即.
（2）设，
由，得，
由，
得，
整理得，
所以，所以，
所以.
16．（15分）（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为1，最小值为.
【解题思路】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论；
（2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值.
【解答过程】（1）证明：任取，且，
则
因为，，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为1，最小值为.
17．（15分）（24-25高一上·吉林长春·期中）已知幂函数在上单调递增，且的图象关于轴对称.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解题思路】（1）根据条件，由幂函数的性质，可得，即可求解；
（2）由（1）知，结合条件，利用函数的奇偶性和单调性得，即可求解.
【解答过程】（1）由幂函数在上单调递增知，，解得，
又，则或或，
当或时，，此时，不符合的图象关于轴对称，故舍去.
当时，，定义域为，且，所以图像关于轴对称，符合题意.
综上所述，.
（2）由（1）得，易知为偶函数，且在上单调递增，
因为，所以，
两边平方，得，
化简得，解得或，
故实数的取值范围为.
18．（17分）（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，
(1)求的函数解析式，并求报价的最小值.
(2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围.
【答案】(1)，报价的最小值为元
(2)
【解题思路】（1）根据题意抽象出的函数，再利用基本不等式即可得解；
（2）根据题意得到恒成立，利用参变分离法，结合对勾函数的性质即可得解.
【解答过程】（1）依题意，储物室的长为米，
则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，报价的最小值为元.
（2）依题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即，所以，即，
令，则，
则，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，又，即，
所以的取值范围是.
19．（17分）（24-25高一上·河北保定·阶段练习）已知的定义域为，且满足，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性；
(3)若，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)单调递增，理由见解析
(3)
【解题思路】（1）利用函数奇偶性的性质求解参数即可；
（2）先判断单调性，再利用定义法证明即可；
（3）移项变形得，从而得到不等式组，解出即可.
【解答过程】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
且，故是奇函数，
因为在处有定义，所以，
得到，解得，此时，
因为，所以，解得，
故的解析式.
经检验符合题意.
（2）在上单调递增，理由如下，
任取，且使，
而，
，
因为，所以，，
由已知得，所以，故，
故，即，
最后得到在上单调递增.
（3），则，
又因为在上的单调递增，
则，解得.
则的取值范围为.

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