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第11讲　指数与指数函数
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.n次方根　奇数　偶数　根式　根指数
被开方数　a
2.(1)③0　没有意义
(2)①ar+s　②ars　③arbr
3.(0,+∞)　(0,1)　y>1　001　增函数　减函数
【对点演练】
1.-6a　[解析] 4÷
=
4×=-6a.
2.7　47　[解析] 由+=3,得=9,即a++2=9,因此a+=7,所以(a+)2=49,即a2++2=49,于是a2+=47.
3.(1,3)　[解析] 令x-1=0,得x=1,此时y=a0+2=3,所以函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(1,3).
4.2　[解析] +=1++|1-|=2.
5.2　[解析] 由指数函数的定义可得解得a=2.
6.2或　[解析] 若a>1,则f(x)在[-1,1]上单调递增,所以f(1)=a=2;若0● 课堂考点探究
探究点一
1.1　[解析] +-2×(-2)-1++=
+-2×+1+(62=+-(+2)+1+=1.
2.　[解析] 由+=3,两边平方,得x+x-1=7,两边再平方得x2+x-2=47,∴x2+x-2-2=45.又+=()3+()3=(+)(x-1+x-1)=3×(7-1)=18,
∴=.
3.ABD　[解析] 对于A选项,由π-3>0,得=π-3,A选项正确;对于B选项,==a0b0=1,B选项正确;对于C选项,=,C选项错误;对于D选项,()(-3)÷=-9=-9a.D选项正确.故选ABD.
例1　[思路点拨] (1)分x>0和x<0去掉绝对值,再根据指数函数的图象和性质对各选项逐项判断.(2)根据所给函数图象得到a,b的取值范围,进而结合指数函数的单调性判断.
(1)C　(2)ABD　[解析] (1)f(x)==又a>1,所以根据指数函数的性质知,当x>0时,函数f(x)=ax单调递增,排除B,D;当x<0时,函数f(x)=-ax单调递减,排除A.故选C.
(2)由图象可知,函数y=ax-b(a>0且a≠1)在R上单调递增,所以a>1,且当x=0时,y=1-b∈(0,1),可得0a0=1,故A正确;对于B选项,a+b>a>1,故B正确;对于C选项,ba变式题　(1)CD　(2)1
[解析] (1)在同一坐标系中作出函数y=和y=的大致图象,如图所示.设==m,m>0.当m>1时,由图可知ab>0.故选CD.
(2)依题意得解得
于是m-n=1.
例2　[思路点拨] (1)根据指数函数、幂函数的单调性即可判定b(1)D　(2)D　[解析] (1)由a==,b==,c=,可得b=<<=a,c,所以c(2)∵ea+πb≥e-b+π-a,∴ea-π-a≥e-b-πb(*).令f(x)=ex-π-x,易知f(x)是R上的增函数,则(*)式可化为f(a)≥f(-b),∴a≥-b,即a+b≥0.故选D.
例3　[思路点拨] (1)根据给定条件,转化为同底的指数不等式,再利用指数函数的单调性得到一元二次不等式,进而求解.(2)令=t(t>0),把问题转化为关于t的一元二次方程2t2-(a+1)t+a=0有两个不等的正实数根问题,从而求得a的取值范围.
(1)(-3,2)　(2)(0,3-2)∪(3+2,+∞)　[解析] (1)由<,得<2-3(x-1),因为函数y=2x在R上单调递增,所以x2-2x-3<-3(x-1),即x2+x-6<0,解得-3(2)令=t(t>0),则方程化为2t2-(a+1)t+a=0,依题意知方程2t2-(a+1)t+a=0有两个不相等的正实数根,因此解得a>3+2或0例4　[思路点拨] (1)先根据函数是偶函数求出参数,再结合基本不等式求出值域;
(2)先根据不等式恒成立化简不等式,再用换元法结合(1)求出新自变量的范围,再应用导数求出最值即可求参数的取值范围.
解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),即==,∴9x+a=1+a·9x,即(a-1)·9x=a-1,∴a=1,∴f(x)=3x+≥2=2,当且仅当x=0时取等号,故函数f(x)的值域为[2,+∞).
(2)若命题“ x∈R,g(x)≥0”为假命题,则命题“ x∈R,g(x)<0”为真命题.g(x)=mf(2x)+2f(x)+m=m(32x+3-2x)+2(3x+3-x)+m,令t=3x+3-x=3x+≥2=2,当且仅当x=0时等号成立,则32x+3-2x=(3x+3-x)2-2=t2-2,∴g(t)=m(t2-2)+2t+m<0对任意t≥2恒成立,即m(t2-1)+2t<0对任意t≥2恒成立,∵t2-1>0,∴m<-对任意t≥2恒成立.令h(t)=-(t≥2),则h'(t)=>0,∴h(t)在[2,+∞)上单调递增,故h(t)min=h(2)=-,∴m<-,故m的取值范围为.
【应用演练】
1.D　[解析] 因为函数y=1.01x在R上单调递增,且0.5<0.6,所以1.010.5<1.010.6,即aa>c.
2.　[解析] 不等式<恒成立,即<恒成立,∴x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2-(2a-3)x+a2>0恒成立,∴Δ=(2a-3)2-4a2<0,即(2a-3+2a)(2a-3-2a)<0,解得a>,∴实数a的取值范围是.
3.[-5,31]　[解析] 令t=2x,∵x∈[0,3],∴1≤t≤8.令g(t)=t2-4t-1=(t-2)2-5,t∈[1,8],易知g(t)在[1,2)上单调递减,在(2,8]上单调递增,又|8-2|>|2-1|,∴当t=2时,函数g(t)取得最小值,即g(t)min=-5,当t=8时,函数g(t)取得最大值,即g(t)max=31,∴f(x)的值域为[-5,31].第11讲　指数与指数函数
1.B　[解析] ==(==3-2=.故选B.
2.A　[解析] ∵函数f(x)=·ax是指数函数,∴a-3=1且a>0,a≠1,解得a=8,∴f(x)=8x,∴f==2.故选A.
3.D　[解析] 因为a=log42=,b=<=,c=>π0=1,所以c>a>b.故选D.
4.A　[解析] 解不等式>得a”是“a5.C　[解析] 由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增,因为x1>0,所以=>==f,故B中说法正确;令x1=1,x2=2,则f(x1x2)==4,f(x1)+f(x2)=+=6,此时f(x1x2)≠f(x1)+f(x2),故C中说法错误;f(x1+x2)=,f(x1)f(x2)=·==f(x1+x2),故D中说法正确.故选C.
6.2　[解析] 因为函数y=ax(a>1)在区间[1,2]上单调递增,所以根据题意得a2-a=2,解得a=2或a=-1(舍去)..
7. e　[解析] 由f(ln 2)f(ln 4)=8,可得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,即(aln 2)3=23,∵a>0,且a≠1,∴aln 2=2,两边取自然对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e.
8.B　[解析] 因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0a>c,故选B.
9.B　[解析] 由题意得当x=9时,P=50%,则=,得e-0.9+9k=1,所以9k-0.9=0,解得k=0.1,因此P(x)=.当P=40%时,由=,得3e-0.9+0.1x=2,所以e-0.9+0.1x=,所以-0.9+0.1x=ln=ln 2-ln 3≈0.7-1.1=-0.4,解得x≈5,所以当银行希望实际还款比例为40%时,贷款人的年收入约为5万元,故选B.
10.ABC　[解析] 当a>1时,函数y=|ax-1|的大致图象如图①所示,若直线y=与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<<1,即011.BD　[解析] 由f(x)+g(x)=2x得f(-x)+g(-x)=2-x,因为函数f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数,所以-f(x)+g(x)=2-x,因此f(x)=,g(x)=.对于A, f(x)-g(x)=-2-x,故A错误;对于B,因为函数y=2x在(-∞,+∞)上单调递增,y=2-x在(-∞,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,因为f(x)-g(x)=-2-x<0,所以f(x)=g(x)无解,故C错误;对于D,g(x)=≥=1,当且仅当x=0时取等号,故D正确.故选BD.
12.1　[解析] 原不等式可化为≤,因为y=在定义域R上为减函数,所以x2+x≥2ax+30,即x2+(1-2a)x-30≥0,又原不等式的解集为(-∞,-5]∪[6,+∞),所以关于x的方程x2+(1-2a)x-30=0的两根为-5,6,所以解得a=1.
13.[1,+∞)　[解析] 若a≤0,则对任意的x∈R,2x-a>0恒成立,则函数f(x)的定义域为R,不符合题意,所以a>0.由2x-a≠0可得x≠log2a,因为函数y=f(x)的定义域为{x|x≠1},所以log2a=1,解得a=2,所以f(x)=x,则f(a)=f(2)=2×=2.由ax≥f(a)可得2x≥2,解得x≥1,因此不等式ax≥f(a)的解集为[1,+∞).
14.解:(1)由函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,10),B(2,50),
得解得
(2)由(1)得a=5,b=2,因为函数y=bx=2x在[-2,2]上单调递增,函数y==在[-2,2]上单调递减,所以g(x)=bx-=2x-在[-2,2]上单调递增,
所以g(x)在[-2,2]上的最大值为g(2)=22-=.
因为关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解,
所以m+3≤,解得m≤,
即m的取值范围为.
15.解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}.
当x>0时,f(x)=+1,因为4x>1,所以>0,所以f(x)>1;
当x<0时,f(x)=-1,因为0<4x<1,所以<-2,所以f(x)<-3.综上可得,函数f(x)的值域为(-∞,-3)∪(1,+∞).
(2)因为x>0,所以2x-2-x>0,f(x)=+1,则f(x)<2x-2-x+即为+1<2x-2-x+,两边同时乘2x-2-x得2×2-x+2x-2-x<(2x-2-x)2+a+4,
即4x+4-x-(2x+2-x)+2+a>0,
即(2x+2-x)2-(2x+2-x)+a=-+a>0,即a>-+恒成立.
令t=2x+2-x>2,g(t)=-+,由二次函数的性质可知g(t)=-+在(2,+∞)上单调递减,所以当t>2时,g(t)所以实数a的取值范围是[-2,+∞).
16.BC　[解析] 对于A,当a=b时,函数f(x)=ae-x+aex,其定义域为R,满足f(-x)=aex+ae-x=f(x),则f(x)为偶函数,故A错误.对于B,令a>0,b<0,则函数y=aex在其定义域上为增函数,函数y=在其定义域上也为增函数,故函数f(x)=aex+在其定义域上为增函数;令a<0,b>0,则函数y=aex在其定义域上为减函数,函数y=在其定义域上也为减函数,故函数f(x)=aex+在其定义域上为减函数.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数,故B正确.对于C,当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+be-x≥2=2>0,当且仅当e2x=时等号成立;当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-aex-be-x)≤-2=-2<0,当且仅当e2x=时等号成立.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点,故C正确.对于D,当ab=1时,b=,所以当a<0,b<0时,函数f(x)=-≤
-2=-2,当且仅当=时等号成立;当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+e-x≥2=2,当且仅当=时等号成立.综上,如果ab=1,那么函数f(x)没有最小值.故D错误.故选BC.
17.　[解析] 由f(1)=a-=,且a>0,解得a=3,则f(x)=3x-3-x,则g(x)=+-2m(3x-3-x)=(3x-3-x)2-2m(3x-3-x)+2,令t=3x-3-x(x≥1),因为t=3x-3-x在区间[1,+∞)上单调递增,所以t≥.依题意知函数h(t)=t2-2mt+2在区间上的最小值为-2,函数h(t)=t2-2mt+2的图象的对称轴为直线t=m.当m>时,h(t)在区间上的最小值为h(m)=-m2+2,由-m2+2=-2,解得m=±2,不符合题意;当m≤时,函数h(t)在区间上的最小值为h=-m,由-m=-2,解得m=,符合题意.故实数m的值为.第11讲　指数与指数函数
【课标要求】　1.通过对有理数指数幂(a>0且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0且a≠1,x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
n次 方根 概念 一般地,如果xn=a,那么x叫作a的　　　　,其中n>1,且n∈N*
性质 当n是　　　　时,a的n次方根为x=
当n是　　　　时,正数a的n次方根为x=±,负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作=0
根式 概念 式子叫作　　　　,其中n叫作　　　　,a叫作　　　　
性质 当n为奇数时,=　　　
当n为偶数时,=|a|
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:=(a>0,m,n∈N*,n>1).
②正数的负分数指数幂:==(a>0,m,n∈N*,n>1).
③0的正分数指数幂等于　　　　,0的负分数指数幂　　　　.
(2)有理数指数幂的性质
①aras=　　　　(a>0,r,s∈Q);
②(ar)s=　　　　(a>0,r,s∈Q);
③(ab)r=　　　　(a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图象与性质
y=ax(a>0且a≠1) a>1 0图象
定义域 R
值域 　　　
性质 过定点　　　
当x>0时,　　　　　; 当x<0时,　　　　 当x>0时,　　　　　; 当x<0时,　　　　
在R上是　　　　 在R上是　　　　
题组一　常识题
1.[教材改编] 化简:4÷=　　　　　　 (a>0,b>0).
2.[教材改编] 已知+=3,则a+a-1=　　　　,a2+a-2=　　　　.
3.[教材改编] 函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点　　　　.
题组二　常错题
◆索引:忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错;不能正确理解指数函数的概念致错;指数函数问题忽略底数的两种情况致错.
4.计算:+=　　　　.
5.若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=　　　　.
6.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　.
　指数幂的化简与求值
1.+-2×(-2)-1++=　　　　.
2.若+=3(x>0),则=　　　　.
3.(多选题)已知a>0,b>0,则下列运算正确的是 (　 )
A.=π-3
B.=1
C.=
D.()(-3)÷=-9a
总结反思
指数幂运算的一般原则:
(1)指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,以便利用法则计算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底数是带分数,则先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
　指数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)=(a>1)的大致图象是(　 )
(2)(多选题)[2024·山东青岛模拟] 已知函数y=ax-b(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　 )
A.ab>1 B.a+b>1 C.ba>1 D.2b-a<1
总结反思
(1)研究指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象要抓住三个特殊点:(1,a),(0,1),.
(2)对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
(3)一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,数形结合求解.
变式题 (1)(多选题)[2024·江西南昌模拟] 已知实数a,b满足等式=,则下列结论不可能成立的有 (　 )
A.a=b B.0>b>a
C.b>a>0 D.0>a>b
(2)[2024·福建龙岩模拟] 若当a>0且a≠1时,函数y=ax+m+n的图象恒过定点(-2,2),则m-n=　　　　.
　解决指数函数性质有关的问题
微点1　利用单调性比较大小
例2 (1)已知a=,b=,c=,则 (　 )
A.cC.b(2)若ea+πb≥e-b+π-a,则下列结论一定成立的是 (　 )
A.a+b≤0
B.a-b≥0
C.a-b≤0
D.a+b≥0
总结反思
比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性,原则上是将待比较的指数式化为同底的指数式,并要注意底数的范围是(0,1)还是(1,+∞).若不能化为同底,则可化为同指数或利用中间量比较.
微点2　解简单的指数方程或不等式
例3 (1)不等式<的解集为　　　　.
(2)[2024·山东济南模拟] 若关于x的方程2-(a+1)·+a=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是　　　　.
总结反思
(1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1) f(x)=g(x).
(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0(3)有些含参数的指数不等式(方程)需要用换元法求解.
微点3　探究指数型函数的性质(含复合函数单调性的结论)
例4 已知函数f(x)=(a∈R)为偶函数,g(x)=mf(2x)+2f(x)+m(m∈R).
(1)求a的值及函数f(x)的值域;
(2)若命题“ x∈R,g(x)≥0”为假命题,求实数m的取值范围.


总结反思
指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等,应结合题目条件合理利用这些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.
1.[2023·天津卷] 若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
2.若不等式<恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.
3.已知函数f(x)=4x-2x+2-1,x∈[0,3],则其值域为　　　　. 第11讲　指数与指数函数
(时间:45分钟)
1.= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 B.
C.3 D.
2.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 (　 )
A.2 B.3
C. D.4
3.[2024·北京顺义区二模] 已知a=log42,b=,c=,则 (　 )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
4.“>”是“aA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.[2024·北师大附中模拟] 已知函数f(x)=2x,则对任意x1,x2∈R,且x1A.f(x1)B.f<
C.f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
D.f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
6.若函数y=ax(a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则a=　　　　.
7. [2025·八省联考] 已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.
8.[2024·天津卷] 若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
9.某银行拟在乡村开展小额贷款业务,根据调查的数据,建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位:万元)的函数模型:P(x)=(k为常数).已知当贷款人的年收入为9万元时,其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入约为(参考数据:ln 3≈1.1,ln 2≈0.7) (　 )
A.4万元 B.5万元
C.6万元 D.8万元
10.(多选题)若直线y=与函数y=|ax-1|(a为常数,a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的值可以是 (　 )
A. B.
C. D.3
11.(多选题)已知函数f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=2x,则 (　 )
A.f(x)-g(x)=2-x
B.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增
C.f(x)=g(x)有唯一解
D.g(x)≥1
12. 若不等式≤的解集为(-∞,-5]∪[6,+∞),则实数a=　　　　.
13.设f(x)=x,若函数y=f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax≥f(a)的解集为　　　　.
14.[2024·肇庆一模] 已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1,b≠0)的图象经过点A(1,10),B(2,50).
(1)求a,b的值;
(2)若关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解,求m的取值范围.
15.[2024·安徽滁州模拟] 已知函数f(x)=+.
(1)求函数f(x)的值域;
(2)若x>0时,恒有f(x)<2x-2-x+成立,求实数a的取值范围.
16.(多选题)[2024·长沙长郡中学月考] 已知f(x)=aex+be-x(其中a,b是非零常数),则以下结论正确的是 (　 )
A.如果a=b,那么f(x)为奇函数
B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数
C.如果ab>0,那么f(x)没有零点
D.如果ab=1,那么f(x)的最小值为2
17.[2024·山东聊城模拟] 设函数f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1),若f(1)=,且函数g(x)=+-2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为-2,则实数m的值为　　　　. (共86张PPT)
第11讲 指数与指数函数
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.通过对有理数指数幂且;, 为整数,
且、实数指数幂且， 含义的认识,了解指
数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解
指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
次 方 根 概 念 一般地，如果，那么叫作 的_________，其中
，且
性 质 当是______时，的次方根为
当是______时，正数的次方根为 ，负数没有偶
次方根
0的任何次方根都是0，记作
次方根
奇数
偶数
◆ 知识聚焦 ◆
根 式 概 念 式子叫作______，其中叫作________， 叫作________
__
性 质 当为奇数时， ___
当为偶数时，
根式
根指数
被开方数
续表
2.有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂： .
②正数的负分数指数幂： .
的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂__________.
0
没有意义
（2）有理数指数幂的性质
①_____ ；
②____ ；
③______ .
3.指数函数的图象与性质
且
图象 _______________________________________ _________________________________________
定义域
值域 ________
且
性质 过定点______
当 时， ______； 当 时，_______ _____ 当 时，
__________；
当 时，
______
在 上是________ 在 上是________
增函数
减函数
续表
题组一 常识题
1.［教材改编］ 化简：_____ .
[解析] .
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 已知,则___, ____.
7
47
[解析] 由,得,即 ,
因此,
所以,即 ,于是 .
3.［教材改编］ 函数且 的图象恒过定点
______.
[解析] 令，得，此时 ，
所以函数且的图象恒过定点 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽略的范围导致式子 化简出错;不能正确理解
指数函数的概念致错;指数函数问题忽略底数的两种情况致错.
4.计算: _____.
[解析] .
5.若函数为指数函数，则 ___.
2
[解析] 由指数函数的定义可得解得 .
6.若函数在上的最大值为2，则 _ ____.
2或
[解析] 若，则在上单调递增，所以 ；
若，则在上单调递减，所以 ，
解得.
故的值为2或 .
探究点一 指数幂的化简与求值
1. ___.
1
[解析]
.
2.若，则 __.
[解析] 由，两边平方，得 ，
两边再平方得，.
又 ， .
3.（多选题）已知， ，则下列运算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 对于A选项，由，得 ，A选项正确；
对于B选项， ，B选项正确；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项， .
D选项正确.故选 .
[总结反思]
指数幂运算的一般原则:
（1）指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂,
以便利用法则计算.
（2）先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
（3）若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底
数是带分数,则先化成假分数.
（4）若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数
幂的运算性质来解答.
探究点二 指数函数的图象及应用
例1（1）函数 的大致图象是( )
A. B. C. D.
√
［思路点拨］分和 去掉绝对值，再根据指数函数的图象
和性质对各选项逐项判断.
[解析] 又 ，所以根据指数函数的性
质知，当时，函数单调递增，排除B，D；
当 时，函数 单调递减，排除A．故选C．
（2）（多选题）[2024·山东青岛模拟] 已知函数
,且 的图象如图所示,则下
列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 由图象可知,函数 且在上单调递增,
所以,且当 时, ,可得 .
对于A选项, ,故A正确;
［思路点拨］根据所给函数图象得到， 的取值范围，进而结合指
数函数的单调性判断.
对于B选项, ,故B正确;
对于C选项, ,故C错误;
对于D选项,因为,所以,
所以,故D正确.故选 .
[总结反思]
（1）研究指数函数的图象要抓住三个特殊点:
,,.
（2）对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数
的图象,通过平移、对称变换得到其图象.
（3）一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象,
数形结合求解.
变式题（1）（多选题）[2024·江西南昌模拟] 已知实数， 满足等
式 ，则下列结论不可能成立的有( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 在同一坐标系中作出函数
和 的大致图象，如图所示.
设，.
当 时，由图可知；
当 时，由图可知；
当时，由图可知.故选 .
（2）[2024·福建龙岩模拟] 若当且时,函数
的图象恒过定点,则 ___.
1
[解析] 依题意得解得
于是 .
探究点三 解决指数函数性质有关的问题
微点1 利用单调性比较大小
例2（1）已知，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 由，， ，可得
，.又，，而 ，
所以，所以 ．故选D．
√
［思路点拨］根据指数函数、幂函数的单调性即可判定 ，
，再利用指数函数的单调性判定 ，即得结果.
（2）若 ，则下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
[解析] ， .
令，易知是上的增函数，
则 式可化为，，即 .故选D.
√
［思路点拨］首先把化为 ，
然后构造函数，再利用函数 的单调
性得出结论.
[总结反思]
比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性,原则上是将待比较的
指数式化为同底的指数式,并要注意底数的范围是还是.
若不能化为同底,则可化为同指数或利用中间量比较.
微点2 解简单的指数方程或不等式
例3（1）不等式 的解集为_______．
[解析] 由，得 ，
因为函数在上单调递增，所以 ，
即，解得，所以原不等式的解集为 .
［思路点拨］根据给定条件，转化为同底的指数不等式，再利用指
数函数的单调性得到一元二次不等式，进而求解.
（2）[2024·山东济南模拟] 若关于 的方程
有两个不相等的实数根,则实数 的取值范
围是___________________________.
［思路点拨］令,把问题转化为关于 的一元二次方程
有两个不等的正实数根问题，从而求得 的取
值范围.
[解析] 令,则方程化为 ,
依题意知方程 有两个不相等的正实数根,因此
解得或 ，故实
数的取值范围是 .
[总结反思]
（1）且.
（2）,当时,等价于;当时,等
价于.
（3）有些含参数的指数不等式（方程）需要用换元法求解.
微点3 探究指数型函数的性质（含复合函数单调性的结论）
例4 已知函数 为偶函数，
.
（1）求的值及函数 的值域；
解：为偶函数，，即 ，
，即， ，
，当且仅当 时取等号，
故函数的值域为 .
［思路点拨］先根据函数是偶函数求出参数，再结合基本不等式求
出值域；
（2）若命题“，”为假命题，求实数 的取值范围.
解：若命题“，”为假命题，
则命题“ ， ”为真命题.
，
令，当且仅当 时等号成
立，则 ，
［思路点拨］先根据不等式恒成立化简不等式，再用换元法结合（1）
求出新自变量的范围，再应用导数求出最值即可求参数的取值范围.
对任意 恒成立，
即对任意恒成立，
， 对任意恒成立.
令，则 ，
在上单调递增，故，
，故的取值范围为 .
[总结反思]
指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等,应结合
题目条件合理利用这些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性,
注意利用单调性实现问题的转化.
应用演练
1.[2023·天津卷]若,,,则,, 的大小关
系为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为函数在上单调递增，且 ,
所以，即.
因为在 上单调递增，且,
所以，即.所以 .
√
2.若不等式恒成立，则实数 的取值范围是______
____.
[解析] 不等式恒成立，即
恒成立， 恒成立，
即恒成立， ，
即，解得，
实数 的取值范围是 .
3.已知函数， ，则其值域为________．
[解析] 令，， .
令，,
易知在 上单调递减，在上单调递增，
又， 当 时，函数取得最小值，
即，当时，函数 取得最大值，即，
的值域为 .
【备选理由】例1考查指数幂的化简与求值,考查学生的计算能力;
例1 ［配探究点一使用］ 已知, ,化简：
___.
[解析] .
例2 ［配例2使用］ [2024·深圳人大附中月考] 已知 ，
，， ，则( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .
因为在 上单调递减，
所以.
因为幂函数在 上单调递增，
所以 .故 ．故选A.
√
【备选理由】例2考查利用单调性比较大小；
例3 ［配例4使用］ 已知函数 ，
.
（1）若的值域为，求满足条件的整数 的值；
【备选理由】例3考查指数型函数的性质.
解：因为函数的值域为 ，
所以函数的值域包含 ，
.
当时，，其值域为 ，不满足条件；
当时，令，则，函数 的图
象所在抛物线的对称轴为直线 .
当时， ，则函数
的值域为,即的值域为 ，
所以解得 .
当时，，则函数的值域为 ，
即函数的值域为 ，不满足条件.
综上所述，，所以满足条件的整数 的值为1.
（2）若非常函数的函数是定义域为 的奇函数，且
，，，求 的取值范围.
解：因为函数是定义域为 的奇函数，
所以即
解得 或
又函数不是常函数，所以
经检验，符合题意，则 .
由，， ，
得，， ，
故只需 .
当时， ，
此时，则 .
，
令，因为，所以 ，
设函数， .
当时，， ，则
恒成立，符合题意.
当时，函数， 的图象所在抛
物线的对称轴方程为 .
当时， 恒成立，符合题意；
当，即时， ，所以
不等式组无解；
当，即时， 恒成立，
符合题意；
当，即时， ，
所以解得 .
综上所述，的取值范围为 .
作业手册
1. ( )
A.9 B. C.3 D.
[解析]
.故选B.
√
◆ 基础热身 ◆
2.若函数是指数函数，则 的值为( )
A.2 B.3 C. D.4
[解析] 函数是指数函数，
且,，解得，
， .故选A.
√
3.[2024·北京顺义区二模]已知，， ，则
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，， ，
所以 .故选D.
√
4.“”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 解不等式得，由可推出 ；
由不能推出，例如当,时， ，
但.
所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A.
√
5.[2024·北师大附中模拟]已知函数，则对任意, ，
且 ，下面说法错误的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由指数函数的单调性可知在上单调递增，因为 ，
所以，故A中说法正确；
因为 ，所以
，故B中说法正确；
令,,则 , ,
此时 ，故C中说法错误；
， ，
故D中说法正确.故选C.
6.若函数在区间 上的最大值与最小值的差为2，则
___．
2
[解析] 因为函数在区间 上单调递增，
所以根据题意得，解得或 （舍去）.
7. [2025·八省联考] 已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,
则a=　　　　.
e
[解析]由f(ln 2)f(ln 4)=8,可得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,即(aln 2)3=23,
∵a>0,且a≠1,∴aln 2=2,两边取自然对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e.
8.[2024· 天津卷]若，，，则 ，
， 的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在上单调递增，且 ，所以
，即 ，即
.
因为在上单调递增，且 ，
所以，即.
综上可得， ，故选B.
√
◆ 综合提升 ◆
9.某银行拟在乡村开展小额贷款业务，根据调查的数据,建立了实际
还款比例关于还款人的年收入 （单位:万元）的函数模型:
为常数 .已知当贷款人的年收入为9万元时,其实
际还款比例为.若银行希望实际还款比例为 ,则贷款人的年收
入约为（参考数据:, ）( )
A.4万元 B.5万元 C.6万元 D.8万元
√
[解析] 由题意得当时,,则,得 ,
所以,解得,因此.
当 时,由,得,所以 ,
所以,解得 ,
所以当银行希望实际还款比例为 时,贷款人的年收入约为5万元,
故选B.
10.（多选题）若直线与函数为常数， ,且
的图象有两个公共点,则 的值可以是( )
A. B. C. D.3
√
√
√
[解析] 当时,函数 的大致图象如图①所示,
若直线与函数的图象有两个公共点,
则 ,即,所以;
当时,函数 的大致图象如图②所示,
若直线与函数 的图象有两个公共点,
则,即,所以.
综上可知, 的取值范围为,
因此结合选项,的值可以是,,,不可以是3.故选 .
11.（多选题）已知函数和 分别为奇函数和偶函数，且
，则( )
A. B.在 上单调递增
C.有唯一解 D.
√
√
[解析] 由得，
因为函数 和分别为奇函数和偶函数，
所以 ，因此,.
对于A, ,故A错误；
对于B，因为函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以在 上单调递增，故B正确；
对于C，因为，所以 无解，
故C错误；
对于D， ，当且仅当时取等号，
故D正确.故选 .
12.若不等式的解集为 ,则实数
___.
1
[解析] 原不等式可化为,因为在定义域
上为减函数,所以,即 ,
又原不等式的解集为,所以关于 的方程
的两根为,6,所以
解得 .
13.设，若函数 的定义域为
，则关于的不等式 的解集为________.
[解析] 若，则对任意的，恒成立，
则函数 的定义域为，不符合题意，所以.
由可得 ，因为函数的定义域为，
所以，解得 ，
所以，则 .
由可得，解得，
因此不等式 的解集为 .
14.[2024·肇庆一模] 已知函数（其中， 为常数，且
，，）的图象经过点， .
（1）求， 的值;
解：由函数的图象经过点， ，
得解得
（2）若关于的不等式在上有解，求 的取
值范围.
解：由（1）得，，因为函数在 上单调
递增，函数在 上单调递减，所以
在 上单调递增，
所以在上的最大值为 .
因为关于的不等式在 上有解，
所以，解得 ，即的取值范围为 .
15.[2024·安徽滁州模拟] 已知函数 .
（1）求函数 的值域；
解：的定义域为 .
当时，，因为，所以 ，
所以 ；
当时，，因为，所以 ，
所以.
综上可得，函数的值域为 .
（2）若时，恒有成立，求实数 的取
值范围.
解：因为，所以， ，
则即为 ，
两边同时乘得 ，
即 ，
即 ，
即 恒成立.
令， ，由二次函数的性质可知
在上单调递减，所以当 时，
，所以 ，
所以实数的取值范围是 .
16.（多选题）[2024·长沙长郡中学月考] 已知
（其中, 是非零常数）,则以下结论正确的是( )
A.如果,那么 为奇函数
B.如果,那么 为单调函数
C.如果,那么 没有零点
D.如果,那么 的最小值为2
√
√
◆ 能力拓展 ◆
[解析] 对于A,当时,函数,其定义域为 ，
满足,则 为偶函数,故A错误.
对于B,令,,则函数在其定义域上为增函数,
函数 在其定义域上也为增函数,
故函数 在其定义域上为增函数;
令,,则函数在其定义域上为减函数,
函数 在其定义域上也为减函数,
故函数 在其定义域上为减函数.
综上,如果,那么为单调函数，故B正确.
对于C,当 , 时,
函数 ，
当且仅当时等号成立;
当, 时,
函数 ，
当且仅当时等号成立.
综上,如果,那么函数 没有零点，故C正确.
对于D,当时,,所以当, 时,
函数 ,
当且仅当时等号成立;
当, 时,函数,
当且仅当 时等号成立.
综上,如果,那么函数没有最小值.故D错误.故选 .
17.[2024·山东聊城模拟] 设函数,且 ,若
,且函数在区间 上的最
小值为,则实数 的值为_ __.
[解析] 由,且,解得,则 ,则
,
令,因为在区间 上单调递增,
所以.
依题意知函数在区间 上的最小值为,
函数的图象的对称轴为直线 .
当时,在区间上的最小值为 ,
由,解得,不符合题意;
当时,函数 在区间上的最小值为,
由,解得 , 符合题意.故实数的值为 .
【知识聚焦】1.n次方根　奇数　偶数　根式　根指数 被开方数　a
2.(1)③0　没有意义 (2)①ar+s　②ars　③arbr
3.(0,+∞)　(0,1)　y>1　01　增函数　减函数
【对点演练】1.-6a　2.7　47　3.(1,3)　4.2　5.2　6.2或
课堂考点探究
探究点一 1.1　2.　3.ABD 例1　(1)C　(2)ABD 变式题　(1)CD　(2)1
例2　(1)D　(2)D 例3　(1)(-3,2) (2)(0,3-2)∪(3+2,+∞)
例4　(1)a=1,函数f(x)的值域为[2,+∞) (2)
【应用演练】
1.D　2.　3.[-5,31]
教师备用习题
例1 a 例2 A 例3 (1)1(2) (-∞,2)　
基础热身
1.B　2.A　3.D　4.A　5.C　6.2　7.e
综合提升
8.B　9.B　10.ABC 11.BD 12. 1　13. [1,+∞)
14. (1) a=5,b=2 (2) 15.(1) (-∞,-3)∪(1,+∞) (2) [-2,+∞)
能力拓展
16.BC 17.

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