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河南省信阳高级中学北湖校区
2025-2026学年高三上期09月测试（二）
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C C B A A B ABC BC BC
12．3
13．
14．
15．(1)2
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，可得，即可由余弦定理求解，
（2）根据向量的线性表示，结合模长公式，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
则由余弦定理得，
又，所以，
设外接圆的半径为，
则
（2）由，得，
所以，
则
，
所以．
16．(1)不能认为关注“苏超”赛事 与性别有关；
(2)
【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解；
（2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可.
【详解】（1）列联表如下：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 29 96 125
女性 27 48 75
合计 56 144 200
零假设为关注“苏超”赛事与性别无关，
则，
故依据小概率值的独立性检验，我们不能否定零假设，
即不能认为关注“苏超”赛事与性别有关.
（2）由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人，
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件，“2人性别不同”为事件，
则，
，
，
所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，2人性别不同的概率为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由余弦定理及勾股定理求出，，再由线面垂直及面面垂直的判定定理进行求解；
（2）以点为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量进行求解．
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
，
所以，得，
如图1，在中，由余弦定理得，
，
所以在图2中，，得，
由平面平面，
得平面，又平面，
所以平面平面．
（2）由图1，可知,
所以，以点为原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则．
得，
设平面的法向量为，
则，取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，而，
则，取平面的一个法向量为，
所以，
因为平面与平面夹角不超过，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．(1)；
(2)（ⅰ）证明见解析，；（ⅱ）.
【分析】（1）根据题意，设，可得点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，又，得代入点的轨迹方程可得解；
（2）（ⅰ）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点，设定点为，设直线的方程与椭圆的方程联立，求出直线，的方程，根据它们的交点在直线上，求得，对于直线的斜率不存在时，也满足；（ⅱ）由（ⅰ）结合韦达定理可得，得，换元令，求得，从而四边形面积的最大值为，得解.
【详解】（1）由题意设，设，
因为点到点与到点的距离之和为，
所以．
则点的轨迹是长轴长为，焦距为的椭圆，其方程为．
因为点是的重心，为的中点，
所以，则，
代入点的轨迹方程得.
所以椭圆的方程为.
（2）（ⅰ）由对称性可知直线经过的定点必在轴上且异于原点，
设定点为，
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为
联立，得，
，
则．
由（1）可得，
则直线的方程为，
直线的方程为，
由题意知直线与交于点，且点在直线上．
所以，即，
所以．
所以，
所以．①
当，即直线的斜率存在且不为0时，
由，
得，
代入①，得．
当时，上式恒成立，所以；
当，即直线的斜率不存在时，
若，则直线的方程为，
取，满足①式．
当直线的斜率为0时，直线，过点．
综上，直线过定点，且该定点的坐标为．
（ⅱ）由题可知直线的斜率不为0，
由（ⅰ）可知直线过定点，
则，
所以，
令，
则，
因为函数在上单调递增，
所以．
则，所以，
所以四边形面积的最大值为.
19．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数并讨论参数 的范围研究导数的符号，即可判断单调性；
（2）（i）函数有零点可转化为 ，从而求出 ，利用作差法得，分析法将问题转化为证明 ，利用换元法以及构造新函数，根据导数研究新函数的单调性即可得证；（ii）由（i）可讨论当时，的符号情况 ，分析可知要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，等价代换得，通过对比系数可得证.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在上 单调递增．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由题意知方程 有两个不同的正实根 ，
由（1）知 且 ，解得 ，
所以 ，，
两边同时取自然对数，得 ，
两式相减得 ，即 ，
（i）要证 ，只需证明 ，
令 ，只需证明
构造函数 ，求导得 ，
所以函数 在 上单调递增，于是 ，所以不等式 成立，
于是原不等式 成立.
（ii）结合以上分析可知当 时， ；
当 时， ；当 时， ．
所以要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，
于是 ，
对比系数得 ，
所以 ．河南省信阳高级中学北湖校区
2025-2026学年高三上期09月测试（二）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则集合的子集个数是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．无数个
2．设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．记为等差数列的前项和.若，则（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
4．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．8 B．12 C．15 D．
5．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
6．“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9．已知P是圆C：上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法正确的是（ ）
A．|OP|的最大值为 B．|OP|的最小值为
C．|MN|最大值为6 D．|MN|最小值为2
10．已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ）

A． B．，
C． D．方程有唯一实数解
11．已知函数，为的导数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，在区间单调递减
C．当时，在区间上存在唯一极小值点
D．当时，有2个零点
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，则 ．
13．若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
14．已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）记的内角所对的边分别为，已知．
(1)若，求外接圆的半径；
(2)若，求线段的长．
16．（15分）近日，年江苏省城市足球联赛（被球迷称为＂苏超＂）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 29 96
女性 27 48
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为关注＂苏超＂赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加＂苏超＂赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人性别不同的概率．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：；
17．（15分）如图1，在边长为4的等边中，点分别在边上，且，连，沿将折起得到四棱锥（图2），使.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上运动，是的重心，且点到点与到点的距离之和为．
(1)求的方程；
(2)设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为．
（ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点坐标；
（ⅱ）求四边形面积的最大值．
19．（17分）已知函数
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个正零点且，
（i）求证：；
（ii）当时，不等式恒成立，求证：.

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