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4.2 整式的加法与减法
第四章 整式的加减
4.2 课时1 合并同类项
第四章 整式的加减
1.理解同类项的概念，会判断同类项；
2.掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项；
3.能在合并同类项的基础上进行化简求值运算和简单的应用.
4.通过类比数的运算探究合并同类项的方法，从中体会“数式通性”和类比思想.
活动1：根据下列情境，回答问题.
情境1：汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛，另一段为海底隧道.如果汽车通过海底隧道需要ah，那么从香港口岸到东人工岛所需时间是1.25a h，香港口岸到西人工岛的全长(单位：km)是 ，即 .
任务一:能识别同类项，并正确合并同类项
72a+96X1.25a
72a+120a
思考：算式中的两项有什么异同？
所含字母相同、字母指数也相同，但是系数不同.
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.
注：几个常数项也是同类项.
1.下列各项中，与a3b4是同类项的有（　　）
A．a4b3 B．23a3b C．-2b4a3 D．3ab4
C
2.下列各组整式中，不是同类项的是(　　)
A. 5m2n与－nm2 B. a4y与ay4
C. abc2与2×103abc2 D. －2x3y与3yx3
B
活动2：完成下列运算过程，探究同类项的运算.
运用运算律计算：①；②.
思考1：类比(1)中的方法完成下面的运算：
.
解：①.
②.
思考2：同类项运算有什么特点？
合并时系数相加，相同字母及其指数不变.
1.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
1.下列计算正确的是(　　)
A．3a＋4b＝7ab B．13xy－13yx＝0
C．5x 2＋3x 3＝8x 5 D．4x 2y－5y 2x＝－xy
B
活动2：根据同类项、合并同类项的知识完成下列两个游戏.
游戏1：找朋友——将下列单项式进行分类.
100a 240b 5ab2 -12 -9x2y3 5x2y3
60b -13ab2 200a 27 4 -0.5y3x2
游戏2：计算小达人——合并下列各式的同类项.
（1）3a2-1-2a-5+3a-a2；（2）-5m2n+4mn2-2mn+6m2n+3mn.
是不是同类项有“两个无关”：与系数无关，与字母排列顺序无关.
游戏2：（1）3a2-1-2a-5+3a-a2=(3a2-a2)+(-2a+3a)+(-1-5)
=(3-1)a2+(-2+3)a-6
=2a2+a-6;
（2）-5m2n+4mn2-2mn+6m2n+3mn=(-5m2n+6m2n)+(-2mn+3mn)+4mn2
=(-5+6)m2n+(-2+3)mn+4mn2
=m2n+mn+4mn2.
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或从小到大(升幂)的顺序排列.
合并同类项步骤
一找二移三并.
找、移
并
1.已知2amb+4a2bn=6a2b，则-2m+n的值为( )
A．-1 B．2 C．-3 D．4
2.计算.
（1）-qp2+4p2q-5p2q；（2）xy2-5y3-2xy2+5y3；（3）-3ab+7-2a2-9ab-3.
C
解：（1）原式=(-1+4-5)p2q=-2p2q；
（2）原式=(xy2-2xy2)+(-5y3+5y3)=(1-2)xy2+(-5+5)y3=-xy2；
（3）原式=-2a2+(-3ab-9ab)+(7-3)=-2a2-12ab+4.
活动1：根据下列对话，判断谁的观点正确.
有这样一道题：当a=999，b=9999时，求多项式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3的值．
小明说：“本题中a，b的值这么大，怎么好算呢？”
小强说：“本题中a=999，b=9999是多余的条件．”
小红马上反对说：“这不可能，多项式中每一项都含有a和b，不给出a，b的值怎么能求出多项式的值呢？”
任务二：探究多项式求值技巧
你是如何看待小强和小红观点的？
解：小强的观点正确．
理由：原式=(7a3+3a3-10a3)+(-6a3b+6a3b)+(3a2b-3a2b)
=(7+3-10)a3+(-6+6)a3b+(3-3)a2b
=0，
即化简后多项式的值与a，b无关，
所以a＝999，b＝9999是多余的条件，
故小强的观点正确．
多项式的求值:先合并同类项，再代入求值.
1.先化简，再求值：
（1）8m2+5m2+3n-4m2-10n，其中m=2，n=-1;
（2）2x2-5x+x2+4x-3x2-2，其中x=2.
解：（1）原式=(8m2+5m2-4m2)+(3n-10n)=9m2-7n，
当m=2，n=-1时，原式=9×22-7×(-1)=43；
（2）原式=(2x2+x2-3x2)+(-5x+4x)-2=-x-2，
当x=2时，原式=-2-2=-4.
回顾本节课，说一说你都学到了哪些知识？
同类项
两相同
合并同类项
字母连同它的指数不变
系数相加
字母相同
相同字母指数相同
两无关
法则
1.下列各组单项式：①y与y2 ；②-a2b3与2a2b3 ；③2x2y与5yx2；④-2019与0.其中是同类项的有( )
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
2.（1）x的4倍与x的5倍的和是 ；
（2）如图大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的 ，则阴影部分的面积是 .
B
9x
3.合并同类项：
（1）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______；
（2）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7=___________．
4.求多项式2m2+mn＋3n2－m2+mn-2n2的值，其中m=1，n=-2.
解：2m2+mn＋2n2－m2+mn-2n2
=(2m2 -m2)+(mn+mn)＋(3n2 -2n2)
=m2+2mn+n2，
当m=1，n=-2时，原式=12+2×1×(-2)+(-2)2=1.
ab2-a2b
8a2b-2ab2+3
5．若3x m＋5y2与x 3y n的和是单项式，则mn＝_______．
4
3xm＋5y 2与x 3y n是同类项
m+5=3
n=2
m =－2
mn＝4
4.2 课时2 去括号
第四章 整式的加减
1.掌握去括号法则，会正确将整式化简；
2.熟练利用去括号法则解决实际问题.
活动1：回顾有理数的乘法法则和乘法分配律，计算下列式子.
任务一：会正确去括号进行整式化简
解：(1)原式= =2+8=10；
(2)原式= =-3+4=1.
问题：类比上面的方法将下列各式的括号去掉：
（1）2(x+8)；（2）-3(3x+4)；（3）-7(y-5)；
（4）12(x-0.5)；（5）+(x+3)；（6）-(x-3).
解：（1）2(x+8)=2x+16； （2）-3(3x+4)=-9x-12；
（3）-7(y-5)=-7y+35；（4）12(x-0.5)=12x-6；
（5）+(x+3)=x+3； （6）-(x-3)=-x+3.
交流讨论：1.去括号前括号内的项数与去括号后的项数有什么变化？
2.去括号前括号内各项的符号与去括号后相应项的符号有什么变化？
去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
去括号时括号内的每一项的符号都要考虑，做到要变都变,要不变,则都不变;另外,括号内原有几项去掉括号后仍有几项.
活动2：化简下列各式.
（1）8m+2n+(5m-n)； （2）3(x2-5xy)-4(x2-y2)-5(y2-3xy)；
（3）abc-[2ab-(3abc-ab)+4abc].
解：（1）原式=8m+2n+5m-n=13m+n；
（2）原式=(3x2-15xy)-(4x2-4y2)-(5y2-15xy)
=3x2-15xy-4x2+4y2-5y2+15xy
=-x2-y2；
（3）原式=abc-(2ab-3abc+ab+4abc)=abc-(3ab+abc)
=abc-3ab-abc=-3ab.
去括号时应注意：
1.当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项，切勿漏乘．
2.当含有多重括号时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．每去掉一层括号，若有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简化，减少差错．
1.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )
A．a－(b－c)　　　　 B．a－(b＋c)
C．(a－b)＋(－c)　　 D．(－c)－(b－a)
A
2.化简下列各式.
（1）(3x2＋x)+(3x2－x);（2）2(a2－4a)－3(4a2+a)；
（3）3x2－[7x+(4x－3)－2x2].
解：（1）原式=3x2＋x+3x2-x=6x2；
（2）原式=2a2－8a－12a2-3a=－10a2－11a；
（3）原式=3x2－(7x＋4x-3－2x2)=3x2－(11x-3－2x2)
=3x2－11x＋3＋2x2=5x2－11x＋3.
活动1：根据下列情境回答问题.
情境：两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的航速为a km/h，水流速度为b km/h.
问题：（1）2小时后两船相距多远
（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米
任务二：用去括号法则解决实际问题
解：顺水航速=船速+水速=(a+b)km/h，逆水航速=船速-水速=(a-b)km/h.
（1）2h后两船相距：2(a+b)+2(a-b)=2a+2b+2a-2b=4a(km);
（2）2h后甲船比乙船多航行的距离为：2(a+b)-2(a-b)=2a+2b-2a+2b=4b(km).
活动2：请用学过的整式的知识来说明下列老师的真实想法．
情境：学校将组织学生参加元旦长跑活动．七年级二班班主任王老师对全班46名同学说：想参加的同学举手，如果举手的人数为a，和没有举手的人数之差是奇数，我只派9个班干部参加；如果是偶数，让全班同学都参加．
解：因为举手的人数为a，则没有举手的人数为(46-a)，
举手的人数和没有举手的人数之差为：a-(46-a)=a-46+a=2a-46，
因为偶数-偶数=偶数，所以老师的想法是让全班同学都参加长跑.
1.什么是去括号法则？
2.去括号时应注意哪些？
1.判断下列各式去括号是否正确.若错误，请纠正.
（1）3(x+8)=3x+8；
（2）-3(x-8)=-3x-24；
（3）4(-3-2x)=-12+8x；
（4）-2(6-x)=-12+2x.
×，=3x+24
×，=-3x+24
×，=-12-8x
√
2.化简2(x-3)-3(2-3x)的结果为( )
A．11x-12 B．11x
C．-7x-12 D．-7x
3.长方形的周长为4a，一边长为(a-b)，则另一边长为 .
A
a+b
4. 如图是小明家的楼梯示意图，其水平距离(即：AB的长度)为(2a＋b)米，一只蚂蚁从A点沿着楼梯爬到C点，共爬了(3a－b)米．问小明家楼梯的竖直高度(即：BC的长度)为__________米．
(a－2b)
A
B
C
2a＋b
D
AD＋DC＝3a－b
DC＝AB＝2a＋b
AD＝3a－b－(2a＋b)
＝3a－b－2a－ b
＝a－2b
BC＝AD＝a－2b
4.2 课时3 整式加减的综合应用
第四章 整式的加减
1.能熟练进行整式的加减运算；
2.能利用整式的加减解决实际问题.
解：（1）原式=9x-6y-3x+4y=6x-2y；
（2）原式=x2-7x-2-2x2+6x+3=-x2-x+1.
活动1：根据前面所学知识进行整式的化简.
（1）(9x-6y)+(-3x+4y)；（2）(x2-7x-2)-(2x2-6x-3).
任务一：能熟练进行整式的加减运算
多项式9x-6y与-3x+4y的差
多项式x2-7x-2与-2x2+6x-3的和
解：由题意得(x3+3x2-2x)-(2x2-x3+x)
=x3+3x2-2x-2x2+x3-x
=2x3+x2-3x,
所以另一个多项式为2x3+x2-3x.
问题：已知多项式2x2-x3+x与另一个多项式的和是x3+3x2-2x，求另一个多项式.
整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
含括号的整式加减运算顺序是怎样的？
【注意事项】
1.整式加减的结果要最简：①不能有同类项；②含字母项的系数不能出现带分数，带分数要化成假分数；③一般不含括号.
2.整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列.
活动2：先化简，再求值.
求2(a2b-3ab)-3(ab+2ba2-1)的值，其中a=-2，b= .
解：原式=2a2b-6ab-3ab-6ba2+3=-4a2b-9ab+3,
当a=-2，b= 时，原式= .
将数值带入化简后的式子时，若数值是负数，要加上括号.
思考：若代数式(2x2+ax-5y+b)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关，求代数式3(a2-ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值.
解：(2x2+ax-5y+b)-(2bx2-3x+5y-1)
=2x2+ax-5y+b-2bx2+3x-5y+1
=(2-2b)x2+(a+3)x+(-5-5)y+b+1，
因为式子的值与字母x的取值无关，
所以2-2b=0，a+3=0，所以b=1,a=-3.
3(a2-ab-b2)-(4a2+ab+b2)
=3a2-3ab-3b2-4a2-ab-b2
=-a2-4ab-4b2
=-(-3)2-4×(-3)×1-4×12
=-1.
整式的化简求值以整式的加减运算为基础，具体步骤如下:
一化：利用整式加减的运算法则将整式化简；
二代：把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子；
三计算：依据有理数的运算法则进行计算.
1.已知A=3x2-2xy+y2，B=2x2+3xy-4y2.
求：（1）A-2B；（2）2A+B.
解：（1）A-2B=(3x2-2xy+y2)-2(2x2+3xy-4y2)
=3x2-2xy+y2-4x2-6xy+8y2
=-x2-8xy+9y2；
（2）2A+B=2(3x2-2xy+y2)+(2x2+3xy-4y2)
=6x2-4xy+2y2+2x2+3xy-4y2
=8x2-xy-2y2.
2.先化简再求值：5(3a2b-ab2)-(ab2+3a2b)，其中a= ，b= .
解：原式=15a2b-5ab2-ab2-3a2b
=12a2b-6a2b，
当a= ，b= 时，原式= .
活动1：独立完成下列问题，提炼利用整式求解实际问题的思路.
任务二：能利用整式的加减解决实际问题
情境：做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm).
问题：（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
解：小纸盒的表面积为(2ab+2bc+2ac)cm2,
大纸盒的表面积为(6ab+8bc+6ac)cm2,
（1）依题意有：(2ab+2bc+2ac)+(6ab+8bc+6ac)=2ab+2bc+2ac+6ab+8bc+6ac
=8ab+10bc+8ac(cm2)，
答：做这两个纸盒共用料(8ab+10bc+8ac)平方厘米.
（2）依题意有：(6ab+8bc+6ac)-(2ab+2bc+2ac)=6ab+8bc+6ac-2ab-2bc-2ac
=4ab+6bc+4ac(cm2)，
答：做大纸盒比小纸盒多用料(4ab+6bc+4ac)平方厘米.
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
有关整式加减的实际问题，应先根据题目中的数量关系，正确列出关系式，再按照整式加减的运算法则计算出最后结果.
回顾本节课，说一说你都学到了哪些知识？
整式的加减
①如果有括号，那么先算括号．
②如果有同类项，则合并同类项．
一般先将多项式化简再代入求值，这样使计算简便．
1.整式的加减实际上就是去括号、合并同类项这两个知识的综合．
2.整式的加减的一般步骤
3.求多项式的值
4.数学是解决实际问题的重要工具．
1.多项式3a2-6a+4与4a2+5a-3的差是( )
A.-a2-11a+7 B.-a2-a+1
C.a2+11a-7 D.a2-a+1
2.当a=-2时，3a2-2(2a2+a)+2(a2-3a)= .
A
20
3.已知小明的年龄是m岁，小红的年龄比小明的2倍小4岁，小华的年龄比小红年龄的还大1岁，求这三名同学的年龄之和是多少？
＝m＋2m－4＋m－2＋1
解：m＋(2m－4)＋[
即这三名同学的年龄为4m－5.
＝4m－5.

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