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第44讲　直线、平面平行的判定与性质
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.此平面内　相交　2.相交直线　相交　交线
【对点演练】
1.1　[解析] 过点P与直线a作平面β,设β∩α=b,则a∥b,由作图的过程可知满足条件的直线b只有1条.
2.④　[解析] 因为a∥平面α,所以直线a与平面α无交点,因此直线a和平面α内的任意一条直线都不相交,反之也成立.
3.　[解析] 因为α∥β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,所以CD∥AB,所以=,又因为PC=2,CA=3,CD=1,所以AB=.
4.④　[解析] 由两个平面平行的判定定理可知,如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行,故①②不能判断两个平面平行;当平面α∩平面β=直线l时,α内有无数条与交线l平行的直线与β平行,故③不能判断两个平面平行;根据面面平行的定义可知④能判断两个平面平行.故填④.
5.平行四边形　[解析] ∵平面ABFE∥平面DCGH,平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面DCGH=HG,∴EF∥HG.同理EH∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.
● 课堂考点探究
例1　[思路点拨] (1)根据平行的相关定理和结论逐项分析.(2)把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD-EFMN,根据线面、面面平行的判定和性质得到结果.
(1)D　(2)A　[解析] (1)对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,故A错误;对于选项B,若存在一条直线a,a α,a∥β,则α∥β或α与β相交,故B错误;对于选项C,若存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α,则α∥β或α与β相交,故C错误.故选D.
(2)把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD-EFMN,如图a所示.对于①,平面BCMF∥平面ADNE,BM 平面BCMF,所以BM∥平面ADNE,①正确.对于②,平面DCMN∥平面ABFE,CN 平面DCMN,所以CN∥平面ABFE,②正确.对于③,如图b所示,易知DN=BF,DN∥BF,则四边形BDNF为平行四边形,则BD∥FN,又BD 平面AFN,FN 平面AFN,所以BD∥平面AFN;同理可得四边形ABMN为平行四边形,则BM∥AN,因为BM 平面AFN,AN 平面AFN,所以BM∥平面AFN,又BD∩BM=B,BD,BM 平面BDM,所以平面BDM∥平面AFN,③正确.对于④,如图c所示,由③知BD∥FN,因为BD 平面NCF,FN 平面NCF,所以BD∥平面NCF;因为BC∥EN,BC=EN,所以四边形BCNE为平行四边形,所以BE∥CN,因为BE 平面NCF,CN 平面NCF,所以BE∥平面NCF.又因为BD∩BE=B,且BD,BE 平面BDE,所以平面BDE∥平面NCF,④正确.故选A.
变式题　AB　[解析] 对于A,过m作平面γ与平面α交于直线c,如图,因为l,m是异面直线,所以l,c相交,又m∥α,所以m∥c,由c β,m β得c∥β,又l∥β,l,c是α内的两条相交直线,所以α∥β,A正确;对于B,由线面平行的性质定理,可得l∥m,所以B正确;对于C,如果α⊥β,l⊥α,那么l∥β或l β,所以C不正确;对于D,如果l⊥m,l⊥α,那么m∥α或m α,所以D不正确.故选AB.
例2　[思路点拨] 思路一:取PD的中点F,连接EF,AF,通过四边形的性质证明BE∥AF,从而得证;思路二:延长DA,CB交于H,连接PH,利用比例相等以及三角形中位线定理得到BE∥PH, 从而得证;思路三:取CD的中点H,连接BH,EH,利用平面BHE∥平面PAD,得到线面平行.
证明:方法一:如图,取PD的中点F,连接EF,FA.由题意知EF为△PDC的中位线,∴EF∥CD,且EF=CD=2.又∵AB∥CD,AB=2,∴AB EF,∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF.
又AF 平面PAD,BE 平面PAD,
∴BE∥平面PAD.
方法二:如图,延长DA,CB相交于H,连接PH.
∵AB∥CD,AB=2,CD=4,∴==,即B为HC的中点,又E为PC的中点,∴BE∥PH,又BE 平面PAD,PH 平面PAD,∴BE∥平面PAD.
方法三:如图,取CD的中点H,连接BH,HE.∵E为PC的中点,∴EH∥PD,
又EH 平面PAD,PD 平面PAD,
∴EH∥平面PAD.
由题意知AB DH,∴四边形ABHD为平行四边形,∴BH∥AD,又AD 平面PAD,BH 平面PAD,∴BH∥平面PAD.又BH∩EH=H,BH,EH 平面BHE,∴平面BHE∥平面PAD,又BE 平面BHE,∴BE∥平面PAD.
变式题　证明:在AD上取一点H,使得===λ(0<λ<1),连接HM,HN,如图.
因为=,所以HM∥DF.因为DF 平面CDF,HM 平面CDF,所以HM∥平面CDF.因为=,所以HN∥AB,又CD∥AB,所以HN∥CD.
因为CD 平面CDF,HN 平面CDF,所以HN∥平面CDF.因为HM∩HN=H,且HM 平面HMN,HN 平面HMN,所以平面HMN∥平面CDF.因为MN 平面HMN,所以MN∥平面CDF.
例3　[思路点拨] 取BC的中点G,连接GC1,利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理推出GC1∥FH,即可得到点F的位置.
证明:设平面BCC1B1与平面AEB1的交线为l,
因为FH∥平面AEB1,平面BCC1B1∩平面AEB1=l,FH 平面BCC1B1,所以FH∥l.
因为平面ADD1E∥平面BCC1B1,平面ADD1E∩平面AEB1=AE,平面BCC1B1∩平面AEB1=l,所以AE∥l,所以AE∥FH.取BC的中点G,连接C1G,易知AE∥GC1,所以GC1∥FH,又H为CG的中点,所以F为CC1的中点.
变式题　
[解析] 如图,连接AC交BE于点O,连接OF.因为AD∥BC,E为AD的中点,所以==,又因为PA∥平面EBF,平面EBF∩平面PAC =OF,PA 平面PAC,所以PA∥OF,所以==.
例4　[思路点拨] (1)先由线面平行得到面面平行,再由面面平行推出线面平行即可;(2)由面面平行的判定定理证明.
证明:(1)如图,取DC的中点P,连接PE,PB,PM.
因为四边形ABCD为平行四边形,M是AB的中点,
所以DP∥MB且DP=MB,所以四边形MBPD为平行四边形,所以PB∥DM.
又PB 平面BPE,DM 平面BPE,所以DM∥平面BPE.因为PM∥AD且PM=AD,AD∥FE且AD=FE,所以PM∥FE且PM=FE,所以四边形FEPM为平行四边形,所以FM∥PE,又FM 平面BPE,PE 平面BPE,所以FM∥平面BPE.因为FM∩DM=M,FM,DM 平面DMF,所以平面DMF∥平面BPE.因为BE 平面BPE,所以BE∥平面DMF.
(2)因为M,N分别是AB,AD的中点,所以MN∥BD,又MN 平面BDE,BD 平面BDE,所以MN∥平面BDE.
同理可证GN∥平面BDE.又MN∩GN=N,MN,GN 平面MNG,所以平面BDE∥平面MNG.
变式题　解:(1)证明:因为AB∥DC,DC 平面DCC1D1,AB 平面DCC1D1,所以AB∥平面DCC1D1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥DD1,
又因为DD1 平面DCC1D1,AA1 平面DCC1D1,所以AA1∥平面DCC1D1.
因为AB∩AA1=A,AB,AA1 平面ABB1A1,所以平面ABB1A1∥平面DCC1D1.因为A1B 平面ABB1A1,所以A1B∥平面DCC1D1.
(2)设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高为h,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以AA1⊥AB,同理可得,CC1⊥BC.
连接AC,因为AB∥DC,AB⊥AD,AB=2,AD=3,DC=4,所以AC=5,BC=.因为AA1=CC1=h,所以BA1=,BC1=.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形ACC1A1是平行四边形,所以A1C1=AC=5.因为BA1=因为直四棱柱的底面积S==9,所以直四棱柱的体积为9×2=18.
例5　[思路点拨] (1)由面面平行的判定定理证明;(2)由面面平行的性质定理证明.
证明:(1)由题知BB1∥DD1且BB1=DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD 平面CD1B1,B1D1 平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=B1C1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B 平面CD1B1,D1C 平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.因为BD∩A1B=B,所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知,平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以直线l∥直线BD,又B1D1∥BD,所以B1D1∥l.
变式题　解:点F为AP上靠近点P的三等分点,证明如下:在AB上取点G,使得BG=CE=,连接FG,GE,如图.因为BG∥CE,BG=CE,所以四边形BGEC为平行四边形,所以BC∥GE,又GE 平面PBC,BC 平面PBC,所以GE∥平面PBC.因为EF∥平面PBC,EF∩GE=E,EF,GE 平面EFG,所以平面PBC∥平面EFG,又平面EFG∩平面PAB=FG,平面PBC∩平面PAB=PB,所以FG∥PB,所以在△PAB中,===2,所以FP=AP,所以点F为AP上靠近点P的三等分点.第44讲　直线、平面平行的判定与性质
1.B　[解析] ∵平面α∥平面β,∴平面α与平面β没有公共点,又a α,b β,∴直线a,b没有公共点,∴直线a,b的位置关系是平行或异面.故选B.
2.A　[解析] 由于α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,由面面平行的性质定理可得l∥m,所以α∥β是l∥m的充分条件;但由l∥m,α∩γ=l,β∩γ=m不能推出α∥β,也有可能α,β相交,所以α∥β不是l∥m的必要条件.故选A.
3.D　[解析] 由于直线a不平行于平面α,所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内,当直线a在平面α内时.平面α内存在与a平行的直线,故A错误;当直线a与平面α相交时,平面α内存在直线与a异面,故B错误;当直线a在平面α内时,平面α内存在与a平行的直线,故C错误;由直线a与平面α相交或直线a在平面α内,得直线a与平面α至少存在一个公共点,故D正确.故选D.
4.C　[解析] 如图所示,在三棱锥A-BCD中,平面α即平面EFGH,则四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.∵EF 平面BCD,GH 平面BCD,∴EF∥平面BCD,又EF 平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,∴EF∥CD,又EF 平面EFGH,CD 平面EFGH,∴CD∥平面EFGH.同理,AB∥平面EFGH,故与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条.
5.BCD　[解析] 对于A选项,若a∥α,b∥α,则a,b平行、相交或异面,A错误;对于B选项,若a⊥α,b⊥α,由线面垂直的性质可知a∥b,B正确;对于C选项,因为a∥b,b∥α,a α,过直线b作平面β,使得α∩β=c,如图①所示,因为b∥α,b β,α∩β=c,所以b∥c,则a∥c,因为a α,c α,所以a∥α,C正确;对于D选项,过直线a作平面γ,使得α∩γ=m,β∩γ=n,如图②所示,因为α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,所以m∥n,因为a∥α,a γ,α∩γ=m,所以m∥a,则a∥n,因为a β,n β,所以a∥β,D正确.故选BCD.
6.平行　[解析] 因为过A1,C1,B三点的平面与平面A1B1C1D1的交线为A1C1,与平面ABCD的交线为l,且平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以l∥A1C1.
7.　[解析] 连接BD,与AC交于点O,连接DF,交CE于G,连接OG,由于BF∥平面AEC,BF 平面BDF,平面BDF∩平面AEC=OG,所以BF∥OG,由于O是BD的中点,所以==1,过F作FH∥CE,交PD于H,则==1,因为=,所以=,所以==.
8.D　[解析] 对于A,如图①,由正方体的性质可得MN∥EF∥AC,因为MN 平面ABC,AC 平面ABC,所以直线MN∥平面ABC,故A满足;对于B,作出完整的截面ADBCEF,如图②,由正方体的性质可得MN∥AD,因为MN 平面ABC,AD 平面ABC,所以直线MN∥平面ABC,故B满足;对于C,作出完整的截面ABCD,连接BD,如图③,由正方体的性质可得MN∥BD,因为MN 平面ABC,BD 平面ABC,所以直线MN∥平面ABC,故C满足;对于D,作出完整的截面,如图④中六边形ABNMHC,可得MN在平面ABC内,不能得出MN∥平面ABC,故D不满足.故选D.
9.B　[解析] 由题意知,该几何体是底面为正方形的四棱锥,如图所示,因为F∈平面AEFD,B 平面AEFD,F不在直线AE上,所以直线AE与直线BF异面,故A中结论正确;易得EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,所以EF与AD共面,AE与DF共面,故B中结论错误;因为EF∥AD,EF 平面PAD,AD 平面PAD,所以直线EF∥平面PAD,故C中结论正确;因为EF 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以直线EF∥平面ABCD,故D中结论正确.故选B.
10.C　[解析] 如图,连接AC与BD,AC交BQ,BD分别于点N,O,因为底面ABCD为平行四边形,所以点O是AC的中点,也是BD的中点,又点Q是AD的中点,所以点N是△ABD的重心,所以AN=AO=AC.连接MN,因为PA∥平面MQB,PA 平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,所以PA∥MN,所以t===.故选C.
11.ABC　[解析] 由MB1平行且等于DG知,四边形B1GDM为平行四边形,∴B1G∥DM,选项A正确;由A1M平行且等于EB知,四边形MBEA1为平行四边形,∴BM∥A1E,又A1E 平面MBD,BM 平面MBD,∴A1E∥平面MBD,又EF∥BD,EF 平面MBD,BD 平面MBD,∴EF∥平面MBD,∵EF∩A1E=E,∴平面A1EF∥平面MBD,选项C正确;又B1G∥平面MBD,B1G 平面A1EF,∴B1G∥平面A1EF,选项B正确;B1G与A1F异面,选项D错误.故选ABC.
12.ACD　[解析] 对于A选项,在旋转过程中有水的部分有两个平面相互平行且是全等的多边形,其余每相邻两个面的交线也相互平行,而这些面都是平行四边形,所以有水的部分始终是棱柱,故A正确;对于B选项,易知四边形EFGH始终为矩形,从题图中可以发现,矩形EFGH的边EH的长不变,EF是变化的,故矩形EFGH的面积不是定值,故B错误;对于C选项,因为A1D1始终与BC平行,而BC始终与水面平行,所以棱A1D1始终与水面平行,故C正确;对于D选项,当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时,水体(三棱柱)的底面为三角形,因为水的体积是不变的,高始终是BC,也是不变的,所以底面面积即BE·BF也是不变的,即BE·BF为定值,故D正确.故选ACD.
13.　[解析] 如图,作MM1⊥AD于点M1,作NN1⊥CD于点N1, 则MM1∥平面ACC1A1,连接M1N1,∵MN∥平面ACC1A1,MM1∩MN=M,∴平面MM1N1N∥平面ACC1A1,又平面MM1N1N∩平面ABCD=M1N1,平面ACC1A1∩平面ABCD=AC,∴M1N1∥AC.∵AD=DC,∴DM1=DN1,设DM1=DN1=x,则MM1=x,NN1=-x,在直角梯形MNN1M1中,N1M1=x,MN2=(x)2+(-2x)2=14+,∴当x=时,MN取得最小值.
14.证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD.
(2)如图,连接AC,交BD于O,连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以O是AC的中点,又因为M是PC的中点,所以MO∥PA.又因为MO 平面BDM,PA 平面BDM,所以PA∥平面BDM.又因为PA 平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以AP∥GH.
15.解:(1)证明:因为E,F分别为AC1,A1C1的中点,所以EF∥A1A.因为B1B∥A1A,所以EF∥B1B.
又因为EF 平面BCC1B1,B1B 平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.
(2)存在.当G为BC1的中点时,平面EFG∥平面ABB1A1.理由如下:取BC1的中点G,连接GE,GF.
因为E为AC1的中点,所以GE∥AB.因为GE 平面ABB1A1,AB 平面ABB1A1,所以GE∥平面ABB1A1.
同理可得,EF∥平面ABB1A1.又因为EF∩EG=E,EG,EF 平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1.
故在线段BC1上存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1.
16.解:(1)证明:如图,连接GN,GD,易知G,O,D三点共线.因为O,E,F分别为△BCD,△ABC,△ACD的重心,所以在△AGN中,==,所以EF∥GN.在△CBD中,因为G,N分别是棱BC,CD的中点,所以GN∥BD,所以EF∥BD.又EF 平面ABD,BD 平面ABD,所以EF∥平面ABD.在△GAD中,==,所以EO∥AD,又EO 平面ABD,AD 平面ABD,所以EO∥平面ABD.
又因为EF∩OE=E,EF,OE 平面OEF,所以平面OEF∥平面ABD.
(2)如图,取线段CN上靠近点N的三等分点P,连接CM,易知C,E,M三点共线,
连接EP,因为点E为等边三角形ABC的重心,==,所以EP∥MN,所以当点O在点P位置时,满足题意.
取线段CG上靠近点G的三等分点Q,连接PQ,易知PQ∥GN,又GN∥EF,
所以EF∥PQ,所以EF,PQ共面,即当O在线段PQ上运动时,均满足题意,
所以PQ即为点O的轨迹长度,
又PQ=GN=×BD=,所以点O的轨迹长度为.第44讲　直线、平面平行的判定与性质
【课标要求】　1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与　　　　的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 a∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面　　　　,那么该直线与交线平行 a∥b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条　　　　与另一个平面平行,那么这两个平面平行 β∥α
性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面　　　　,那么两条　　　　平行 a∥b
常用结论
1.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
2.三种平行关系的转化:
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.
题组一　常识题
1.[教材改编] 已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线有　　　　条.
2.[教材改编] 下列说法中,与“直线a∥平面α”等价的是　　　　.(填序号)
①直线a上有无数个点不在平面α内;
②直线a与平面α内的所有直线平行;
③直线a与平面α内无数条直线不相交;
④直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.
3.[教材改编] 如图,平面α∥平面β,△PAB所在的平面与α,β分别交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,则AB=　　　　.
题组二　常错题
◆索引:对面面平行判定定理的条件“平面内两条相交直线”认识不清致误;对空间平行关系的相互转化条件理解不够致误.
4.下列条件中,能判断两个平面平行的是　　　　.(填序号)
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面;
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面;
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面;
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.
5.如图是长方体被一平面截后得到的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　　　　　.
　平行关系的基本问题
例1 (1)α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
(2)如图是一个正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列结论正确的是 (　 )
①BM∥平面ADE;②CN∥平面ABF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
总结反思
解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:
(1)判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;
(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形进行判断;
(3)举反例否定结论.
变式题 (多选题)已知l,m是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法中正确的是 (　 )
A.若l,m是异面直线,l α,l∥β,m β,m∥α,则α∥β
B.若l∥α,m α,且l,m共面,则l∥m
C.若α⊥β,l⊥α,则l∥β
D.若l⊥m,l⊥α,则m∥α
　线面平行的判定与性质
角度1　直线与平面平行的判定
例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2,CD=4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.


总结反思
判断或证明线面平行的常用方法:
①利用线面平行的定义(无公共点).
②利用线面平行的判定定理(a α,b α,a∥b a∥α).
③利用面面平行的性质(α∥β,a α a∥β).
④利用面面平行的性质(α∥β,a β,a∥α a∥β).
变式题 将菱形ABCD绕直线AD旋转到菱形AEFD的位置,连接BE,CF,得到如图所示的几何体ABE-DCF.已知M,N分别为AF,BD上的动点,且==λ(0<λ<1).证明:MN∥平面CDF.


角度2　直线与平面平行的性质
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,过A,B1,E的平面截此正方体,得到如图所示的多面体,F为棱CC1上的一点.若点H在棱BC上,当CH=CB时,FH∥平面AEB1,试确定动点F在棱CC1上的位置,并说明理由.


总结反思
应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.
变式题 已知P为 ABCD所在平面外一点,E是AD的中点,F是PC上一点.若PA∥平面EBF,则的值为　　　　.
　面面平行的判定与性质
例4 如图所示,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,EF 平面ABCD,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.


总结反思
(1)证明面面平行的常用方法:
①利用面面平行的判定定理.
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β α∥β).
③利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ α∥γ).
(2)当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线.
变式题 [2025·江苏南通模拟] 如图所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥DC,AB⊥AD,AB=2,AD=3,DC=4.
(1)求证:A1B∥平面DCC1D1;
(2)若△A1BC1为直角三角形,求直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积.


　平行关系的综合应用
例5 如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=l,证明:B1D1∥l.

总结反思
对于平行关系的综合问题,经常反复利用线面平行、面面平行的判定定理与性质定理,不断地在“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间转化.
变式题 如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,且满足AD=DE=,CE=,将△ADE沿AE向上翻折,使点D到点P的位置,构成四棱锥P-ABCE,点F在AP上,且EF∥平面PBC,试确定点F的位置.

第44讲　直线、平面平行的判定与性质
(时间:45分钟)
1.已知平面α∥平面β,a α,b β,则直线a和b的位置关系是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.平行
B.平行或异面
C.平行或相交
D.平行或相交或异面
2.[2024·合肥三模] 设α,β,γ是三个不同平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则α∥β是l∥m的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 (　 )
A.平面α内不存在与a平行的直线
B.平面α内所有直线与a相交
C.平面α内所有直线与a异面
D.直线a与平面α至少存在一个公共点
4.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有 (　 )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
5.(多选题)[2024·山西运城一模] 设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的有 (　 )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a⊥α,b⊥α,则a∥b
C.若a∥b,b∥α,a α,则a∥α
D.若a∥α,α∥β,a β,则a∥β
6.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与平面ABCD的交线为l,则l与A1C1的位置关系是　　　　.
7.[2024·宜荆荆恩联考] 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E,F分别为棱PD,PC上的点,=,若BF∥平面AEC,则=　　　　.
8.如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列各图中,不满足直线MN∥平面ABC的是 (　 )
9.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,下列结论错误的是 (　 )
A.直线AE与直线BF异面
B.直线AE与直线DF异面
C.直线EF∥平面PAD
D.直线EF∥平面ABCD
10.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,Q为AD的中点,点M在棱PC上,且PM=tPC,PA∥平面MQB,则t的值为 (　 )
A. B.
C. D.
11.(多选题)[2024·广东深圳中学模拟] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,M均是所在棱的中点,则下列说法正确的是 (　 )
A.B1G∥DM
B.B1G∥平面A1EF
C.平面BDM∥平面A1EF
D.B1G∥A1F
12.(多选题)如图,在透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器以BC所在直线为轴顺时针旋转,则 (　 )
A.有水的部分始终是棱柱
B.四边形EFGH为矩形且面积不变
C.棱A1D1始终与水面平行
D.当点H在棱CD上且点G在棱CC1上(均不含端点)时,BE·BF是定值
13.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,在线段A1D上取点M,在CD1上取点N,使得直线MN∥平面ACC1A1,则线段MN长度的最小值为　　　　.
14.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点.
(1)求证:BC∥平面PAD;
(2)若M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:AP∥HG.
15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为线段AC1,A1C1的中点.
(1)求证:EF∥平面BCC1B1.
(2)在线段BC1上是否存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1 请说明理由.
16.[2024·云南曲靖模拟] 如图,四面体A-BCD的每条棱长都等于2,M,G,N分别是棱AB,BC,CD的中点,O,E,F分别为△BCD,△ABC,△ACD的重心.
(1)求证:平面OEF∥平面ABD;
(2)保持点E,F位置不变,在△BCD内(包括边界)拖动点O,使直线MN与平面OEF平行,求点O的轨迹长度.(共100张PPT)
第44讲 直线、平面平行的判定与性质
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中
直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,
并能够证明相关性质定理.
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与 ___________的一条直线平 行，那么该直线与此平面平 行 ______________________________________ ___________________________
性质 定理 一条直线与一个平面平行， 如果过该直线的平面与此平 面______，那么该直线与交 线平行 ______________________________________________________ _____________________________
此平面内
相交
◆ 知识聚焦 ◆
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条 ___________与另一个平面 平行，那么这两个平面平行 _______________________________________ _________________________________
性质 定理 两个平面平行，如果另一个 平面与这两个平面______， 那么两条______平行 _______________________________________________ _________________________________
相交直线
相交
交线
常用结论
1.平行关系中的三个重要结论
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 ， ，则
.
（2）垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 ， ，则
.
（3）平行于同一个平面的两个平面平行，即若 ， ，则
.
2.三种平行关系的转化:
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证
明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具
体条件,选择正确的转化方向.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知直线平面 , ,那么过点 且平行于直
线 的直线有___条.
1
[解析] 过点与直线作平面 ,设,则 ,由作图的过程可
知满足条件的直线 只有1条.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 下列说法中，与“直线平面 ”等价的是____.
（填序号）
①直线上有无数个点不在平面 内；
②直线与平面 内的所有直线平行；
③直线与平面 内无数条直线不相交；
④直线与平面 内的任意一条直线都不相交.
④
[解析] 因为平面 ，所以直线与平面 无交点，因此直线 和
平面 内的任意一条直线都不相交，反之也成立.
3.［教材改编］ 如图，平面平面 ，
所在的平面与 ， 分别交于 ，
，若，，，则
__.
[解析] 因为 ， 所在的平面与
， 分别交于，，所以 ，
所以，又因为，，，所以 .
题组二 常错题
◆ 索引：对面面平行判定定理的条件“平面内两条相交直线”认识不
清致误；对空间平行关系的相互转化条件理解不够致误.
4.下列条件中，能判断两个平面平行的是____.（填序号）
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面；
②一个平面内的两条直线平行于另一个平面；
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面.
④
[解析] 由两个平面平行的判定定理可知,如果一个平面内的两条相交
直线分别与另一个平面平行,那么这两个平面平行,故①②不能判断两
个平面平行;
当平面 平面直线时, 内有无数条与交线 平行
的直线与 平行,故③不能判断两个平面平行;
根据面面平行的定义可知④能判断两个平面平行.故填④.
5.如图是长方体被一平面截后得到的几何体，四边
形为截面，则四边形 的形状为_______
______.
平行四边形
[解析] 平面平面，平面 平面 ，平
面 平面
，.同理， 四边形 是平行四边形.
探究点一 平行关系的基本问题
例1（1） ， 是两个不同的平面，则 的一个充分条件是
( )
A.存在一条直线， ，
B.存在一条直线， ，
C.存在两条平行直线，， ， ， ，
D.存在两条异面直线，， ， ， ，
√
[解析] 对于选项A，若存在一条直线， ， ，则 或
与 相交，故A错误；
对于选项B，若存在一条直线， , ，则 或 与
相交，故B错误；
对于选项C，若存在两条平行直线,， ， ， ，
,则 或 与 相交，故C错误.故选D.
［思路点拨］根据平行的相关定理和结论逐项分析.
（2）如图是一个正方体的平面展开图，在这个
正方体中，下列结论正确的是( )
平面；平面 ；③平面
平面；④平面平面 .
A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
√
[解析] 把正方体的平面展开图还原成正方体
，如图a所示.
对于①，平面平面， 平
面 ，所以平面 ，①正确.
对于②，平面平面，
平面 ，所以平面 ，②正确.
［思路点拨］把正方体的平面展开图还原成正方体
，根据线面、面面平行的判定和性质得到结果.
对于③，如图b所示，易知,，则四边形 为平
行四边形，则，又 平面 ，
平面，所以平面 ；
同理可得四边形 为平行四边形，则
，因为 平面， 平面
，所以平面 ，又
，, 平面 ，所以平
面平面 ，③正确.
对于④，如图c所示，由③知，因为
平面 ， 平面，所以
平面 ；因为,，
所以四边形 为平行四边形，所以，
因为 平面 ， 平面，
所以平面 .又因为，
且, 平面 ，所以平面平面 ，④正确. 故选A.
[总结反思]
解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:
（1）判定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;
（2）结合题意构造或绘制图形,结合图形进行判断;
（3）举反例否定结论.
变式题 （多选题）已知，是不同的直线， ， 是不同的平面，
则下列说法中正确的是( )
A.若，是异面直线， ， ， ， ，则
B.若 ， ，且，共面，则
C.若 ， ，则
D.若， ，则
√
√
[解析] 对于A，过作平面 与平面 交于直线
，如图，因为，是异面直线，所以， 相交，
又 ，所以，由 ， 得
，又 ，，是 内的两条相交直线，
所以 ，A正确；
对于B，由线面平行的性质定理，可得 ，所以B正确；
对于C，如果， ，那么 或 ，所以C不正确；
对于D，如果， ，那么 或 ，所以D不正
确.故选 .
探究点二 线面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定
例2 如图，在四棱锥中，底面为梯形， ,
，，为的中点.求证：平面 .
证明：方法一:如图，取的中点 ，连接
，.由题意知为 的中位线，
，且.又 ，
，， 四边形 为平行
四边形， .
又 平面， 平面 ，
平面 .
［思路点拨］ 思路一：取的中点 ，连接，，通过四边形
的性质证明 ，从而得证；
方法二：如图，延长，相交于，连接 .
，，，，
即为 的中点，又为的中点，
，又 平面， 平面
，平面 .
［思路点拨］ 思路二：延长,交于，连接 ，
利用比例相等以及三角形中位线定理得到 ,从而得证；
方法三：如图，取的中点，连接 ，
为的中点， ，
又 平面， 平面 ，平面 .
由题意知， 四边形 为平行四
边形，，又 平面， 平面， 平面
.又，， 平面， 平面平面 ，
又 平面，平面 .
［思路点拨］ 思路三：取的中点，连接， ，利用平面
平面 ，得到线面平行.
[总结反思]
判断或证明线面平行的常用方法：
①利用线面平行的定义（无公共点）.
②利用线面平行的判定定理.
③利用面面平行的性质.
④利用面面平行的性质.
变式题 将菱形绕直线旋转到菱形 的
位置，连接, ，得到如图所示的几何体
.已知,分别为, 上的动点，且
.证明：平面 .
证明：在上取一点 ，使得
，连接
, ，如图.
因为，所以.因为
平面, 平面，所以 平
面.因为，所以，又，所以 .
因为 平面, 平面，所以平面 .因为
，且 平面， 平面 ，所以平面
平面.因为 平面，所以平面 .
角度2 直线与平面平行的性质
例3 在正方体中，为 的
中点，过，， 的平面截此正方体，得到如图
所示的多面体，为棱上的一点.若点 在棱
上，当时，平面 ，试确
定动点在棱 上的位置，并说明理由.
证明：设平面与平面的交线为 ，
因为平面，平面 平面
， 平面，所以 .
因为平面平面，平面
平面，平面 平面 ，
所以，所以.取的中点，连接，易知 ，
所以，又为的中点，所以为 的中点.
［思路点拨］ 取的中点，连接 ,利用线面平行的性质定理
和面面平行的性质定理推出，即可得到点 的位置.
[总结反思]
应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知
直线作辅助平面来确定交线.
变式题 已知为所在平面外一点，是的中点，是 上
一点.若平面，则 的值为__.
[解析] 如图，连接交于点 ，连接
.因为，为 的中点，所以
，又因为平面 ，平面
平面， 平面 ，
所以，所以 .
探究点三 面面平行的判定与性质
例4 如图所示，四边形与 均
为平行四边形， 平面， ，
，分别是，， 的中点.求证：
（1）平面 ；
证明：如图，取的中点，连接，， .
因为四边形为平行四边形，是 的中点，
所以且，所以四边形 为
平行四边形，所以 .
［思路点拨］（1）先由线面平行得到面面平行，再由面面平行推出线面
平行即可；
又 平面， 平面，所以
平面 .因为且,且
，所以且 ，
所以四边形为平行四边形，所以，
又 平面， 平面，
所以平面.因为 ，
， 平面，所以平面平面.因为 平面
，所以平面 .
（2）平面平面 .
解：因为，分别是， 的中点，
所以，又 平面 ，
平面，所以平面 .
同理可证平面 .又
，， 平面
，所以平面平面 .
［思路点拨］由面面平行的判定定理证明.
[总结反思]
（1）证明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的判定定理.
②利用垂直于同一条直线的两个平面平行.
③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则
这两个平面平行.
（2）当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平
行，必须是与第三个平面的交线.
变式题 [2025·江苏南通模拟] 如图所示，在直
四棱柱中， ，
，，， .
（1）求证：平面 ；
证明：因为， 平面 ，
平面，所以平面 .在直
四棱柱中， ，
又因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为，, 平面，所以平面 平面
.因为 平面，所以平面 .
（2）若为直角三角形，求直四棱柱 的体积.
解：设直四棱柱的高为 ，
在直四棱柱中， 平面
， 平面，所以 ，同
理可得， .
连接，因为，， ，
，，所以，.因为 ，所以
，.在直四棱柱 中，
，，所以四边形 是平行四边形，所以
.因为
，
为直角三角形，所以
或
，可得 .
因为直四棱柱的底面积 ，所以
直四棱柱的体积为 .
探究点四 平行关系的综合应用
例5 如图，已知四棱柱的底面 是正方形.
（1）证明：平面平面 ；
证明：由题知且，所以四边形 是平行四边
形，所以 .又
［思路点拨］由面面平行的判定定理证明；
平面， 平面，所以
平面 .因为，且
，所以四边形 是平行四
边形，所以.又 平面，
平面 ，所以平面.因为，
所以平面平面 .
（2）若平面 平面 ，
证明： .
证明：由（1）知，平面 平面
，又平面 平面 ，
平面 平面 ，所以直
［思路点拨］由面面平行的性质定理证明.
线直线，又，所以 .
[总结反思]
对于平行关系的综合问题，经常反复利用线面平行、面面平行的判定
定理与性质定理，不断地在“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间转化.
变式题 如图，在矩形中，点在边 上，且满足
,，将沿向上翻折，使点到点 的
位置，构成四棱锥，点在上，且平面 ，试确
定点 的位置.
解：点为上靠近点的三等分点，
证明如下：在上取点 ，使
得，连接，，如图.
因为， ，
所以四边形为平行四边形，所以，
又 平面 ,
平面，所以平面.
因为平面 ，
，, 平面，所以
平面平面 ，又平面 平面
，平面 平面 ，所以
，所以在中，，
所以 ，所以点为上靠近点 的三等分点.
【备选理由】例1考查采用三种不同途径利用线面平行的判定定理证
明线面平行；
例1 ［配例2使用］ [2024·福州模拟节选]
如图，以正方形的边 所在直线为旋
转轴，其余三边旋转 形成的面围成一个
几何体.设是弧 上的一点，
，分别为线段， 的中点.
证明：平面 .
证明：方法一：在正方形 中，
连接并延长，交 的延长线于
点，连接 ，如图.
因为为 的中点，
所以 ，
，，所以 ，
所以，所以 .
又因为 平面， 平面，所以平面 .
方法二：取的中点，连接， ，如
图.
因为，分别为线段， 的中点，所以
，， ，
又因为，，所以 ，
，
所以四边形是平行四边形，所以 ，
又因为 平面， 平面，所以平面 .
方法三：取的中点，连接， ，如图.
因为，分别为线段， 的中点，所以
， ，
又因为 平面， 平面 ，所
以平面 .
因为 平面， 平面，所以平面 .
又因为， 平面， 平面 ，
所以平面平面，又因为 平面，所以平面 .
例2 ［配例2、例4使用］ [2025·广东汕头模拟] 多面体 的
底面为梯形，，， ，
且四边形为矩形，若点为线段的中点，求证： 平面
.
【备选理由】例2考查利用面面平行的性质来证明线面平行；
证明：由条件可知 ,所以 ,
，
则 ，
即为等腰直角三角形，所以 .
如图，取的中点，连接, ，所以
，故 .
因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
因为四边形为矩形，点为线段的中点，所以 ，
同理可得平面，而,， 平面 ，
所以平面平面.因为 平面，所以平面 .
例3 ［配例5使用］ [2024·烟台二模节选] 如
图，在三棱锥中， ,
，为的中点，为 内部一
点且 平面 .
证明：平面 .
【备选理由】例3考查通过垂直和平行的相互转化来解决平行问题.
证明：如图，连接，取的中点，连接, .
因为为的中点，所以 ，
因为 平面， 平面，
所以平面 .又因为 平面，
平面，所以 ，
所以在中，，
同理 .
因为，所以 .
因为为的中点，所以 ，
又因为，且,在同一平面内，所以 ，
又因为 平面， 平面 ，
所以平面 .
又因为，, 平面 ，
所以平面平面 .
因为 平面，所以平面 .
作业手册
1.已知平面平面 ， , ，则直线和 的位置关系是
( )
A.平行 B.平行或异面
C.平行或相交 D.平行或相交或异面
[解析] 平面平面 ， 平面 与平面 没有公共点，又
， ， 直线，没有公共点， 直线， 的位置关系
是平行或异面.故选B.
√
◆ 基础热身 ◆
2.[2024·合肥三模]设 , , 是三个不同平面，且 ,
，则 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 由于 ，, ，由面面平行的性质定理可
得，所以 是的充分条件；但由， ,
不能推出 ，也有可能 , 相交，所以 不是
的必要条件.故选A.
√
3.若直线不平行于平面 ，则下列结论成立的是( )
A.平面 内不存在与 平行的直线
B.平面 内所有直线与 相交
C.平面 内所有直线与 异面
D.直线与平面 至少存在一个公共点
√
[解析] 由于直线不平行于平面 ，所以直线与平面 相交或直线
在平面 内，当直线在平面 内时.平面 内存在与 平行的直线，
故A错误；
当直线与平面 相交时，平面 内存在直线与 异面，故B错误；
当直线在平面 内时，平面 内存在与 平行的直线，故C错误；
由直线与平面 相交或直线在平面 内，得直线 与平面 至少
存在一个公共点，故D正确.故选D．
4.若平面 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面
平行的棱有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条
√
[解析] 如图所示，在三棱锥 中，平
面 即平面，则四边形 为平行四
边形， 平面，
平面，平面，又 平面
，平面 平面 ，
，又 平面， 平面， 平面
.同理，平面，故与平面 （平面 ）平行的棱有2
条.
5.（多选题）[2024·山西运城一模] 设，是两条不同的直线， ，
是两个不同的平面，则下列说法正确的有( )
A.若 ， ，则
B.若 ， ，则
C.若， ， ，则
D.若 ， ， ，则
[解析] 对于A选项，若 ， ，则， 平行、相交或异面，
A错误；
对于B选项，若 ， ，由线面垂直的性质可知，B正确；
√
√
√
对于C选项，因为， ， ，过直线
作平面 ，使得，如图①所示，因为 ，
，，所以，则，因为 ，
，所以 ，C正确；
对于D选项，过直线作平面 ，使得 ，
，如图②所示，因为 ，，
，所以，因为 ， ，
，所以，则 ，因为 ，
，所以 ，D正确.故选 .
6.过正方体的三个顶点,,的平面与平面
的交线为,则与 的位置关系是______.
平行
[解析] 因为过，，三点的平面与平面的交线为 ，
与平面的交线为，且平面平面 ，所以
.
7.[2024·宜荆荆恩联考] 在四棱锥中，底面 是平行四
边形，，分别为棱，上的点，，若平面 ，
则 __.
[解析] 连接，与交于点，连接 ，
交于，连接，由于平面 ，
平面，平面 平面
，所以，由于是 的中
点，所以，过作 ，交
于，则，因为，所以，所以 .
8.如图，点，，，， 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下
列各图中，不满足直线平面 的是( )
A. B. C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 对于A，如图①，由正方体的性质可得
，因为 平面，
平面，所以直线平面 ，故A满足；
对于B，作出完整的截面 ，如图②，
由正方体的性质可得，因为
平面， 平面 ，所以直线
平面，故B满足；
对于C，作出完整的截面 ，连接，如图③，
由正方体的性质可得，因为 平面
， 平面，所以直线平面 ，
故C满足；
对于D，作出完整的截面，如图④中六边形，
可得在平面 内，不能得出平面 ，
故D不满足.故选D.
9.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边
形为正方形，，分别为， 的中
点，在此几何体中，下列结论错误的是( )
A.直线与直线 异面
B.直线与直线 异面
C.直线平面
D.直线平面
√
[解析] 由题意知，该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，因
为 平面， 平面，不在直线 上，所以直线
与直线 异面，故A中结论正确；
易得,，所以 ， 所以
与共面，与共面，故B中结论错误；
因为 ， 平面， 平面，
所以直线平面 ，故C中结论正确；
因为 平面， 平面，所以直线 平面 ，
故D中结论正确.故选B.
10.在四棱锥中，底面为平行四边形，为 的中点，
点在棱上，且，平面，则 的值为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 如图，连接与， 交，分
别于点， ，因为底面为平行四边形，
所以点是 的中点，也是的中点，
又点是 的中点，所以点是 的重心，
所以.连接 ，因为平
面， 平面，平面 平面 ，所以
，所以 .故选C.
11.（多选题）[2024·广东深圳中学模拟] 如图，
在正方体中，，，， 均
是所在棱的中点，则下列说法正确的是( )
A. B.平面
C.平面平面 D.
√
√
√
[解析] 由平行且等于知，四边形
为平行四边形， ，选项A正确；
由平行且等于知，四边形 为平行四
边形，，又 平面，
平面，平面，又 ，
平面， 平面，平面 ，
, 平面平面，选项C正确；
又 平面， 平面，平面，选项B正确；
与异面，选项D错误.故选 .
12.（多选题）如图，在透明塑料制成的长方体容器
内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，
再将容器以 所在直线为轴顺时针旋转，则( )
A.有水的部分始终是棱柱
B.四边形 为矩形且面积不变
C.棱 始终与水面平行
D.当点在棱上且点在棱 上（均不含端
点）时， 是定值
√
√
√
[解析] 对于A选项，在旋转过程中有水的部分有两
个平面相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两
个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，
所以有水的部分始终是棱柱，故A正确；
对于B选项，易知四边形 始终为矩形，从题图中可以发现，矩形
的边的长不变， 是变化的，故矩形的面积不是定值，
故B错误；
对于C选项，因为 始终与平行，而始终与水面平
行，所以棱 始终与水面平行，故C正确；
对于D选项，当点在棱上且点在棱 上（均不含端点）
时，水体（三棱柱）的底面为三角形，因为水
的体积是不变的，高始终是 ，也是不变的，
所以底面面积即 也是不变的，即
为定值，故D正确.故选 .
13.已知在长方体中，， ，
在线段上取点，在上取点，使得直线平面 ，
则线段 长度的最小值为_ ___.
[解析] 如图，作于点 ，作于
点，则平面 ,连接,平面
,, 平面平面,
又平面 平面,平面
平面, ，
，设 ,则,
,在直角梯形中，
，
， 当 时，
取得最小值 .
14.如图，四边形是平行四边形，
点是平面 外一点.
（1）求证：平面 ；
证明:因为四边形是平行四边形，所以，又 平面
， 平面，所以平面 .
（2）若是的中点，在上取一点，过和 作平面交平面
于，求证： .
解：如图，连接，交于，连接 .
因为四边形 是平行四边形，
所以是的中点，又因为是的中点，
所以 .又因为 平面，
平面，所以平面 .
又因为 平面，平面
平面，所以 .
15.如图，在三棱柱中，，
分别为线段， 的中点．
（1）求证：平面 ．
证明：因为，分别为， 的中点，
所以.因为，所以 .
又因为 平面， 平面
，所以平面 ．
（2）在线段上是否存在一点，使平面平面 请说
明理由．
解：存在.当为的中点时，平面 平
面.理由如下：取的中点 ，连接
， .
因为为的中点，所以 ．
因为 平面， 平面 ，所
以平面 .
同理可得，平面.又因为，， 平面
，所以平面平面 .
故在线段上存在一点，使平面平面 ．
16.[2024·云南曲靖模拟] 如图，四面体
的每条棱长都等于2，，， 分
别是棱，，的中点，，， 分别
为，， 的重心.
◆ 能力拓展 ◆
（1）求证：平面平面 ；
证明：如图，连接,,易知,, 三点共
线.因为，，分别为， ，
的重心，所以在 中，
，所以.在 中，因
为，分别是棱， 的中点，所以
，所以.又 平面
， 平面，所以平面.在中， ，
所以，又 平面， 平面，所以 平面
.
又因为，, 平面，所以平面平面 .
（2）保持点，位置不变，在内（包括边界）拖动点 ，使
直线与平面平行，求点 的轨迹长度.
解：如图，取线段上靠近点 的三等分
点，连接，易知，， 三点共线，
连接，因为点为等边三角形 的重
心，，所以 ，所以当
点在点 位置时，满足题意.取线段上靠近点
的三等分点 ，连接，易知，又 ，，易知
，又 ，所以，所以，共面，即当
在线段 上运动时，均满足题意，所以即为点 的轨迹长度,
又，所以点 的轨迹长度为 .
所以，所以，共面，即当
在线段 上运动时，均满足题意，
所以即为点 的轨迹长度,
又，所以点 的
轨迹长度为 .
【知识聚焦】1.此平面内　相交 2.相交直线　相交　交线
【对点演练】1.1　2.④　3.　4.④ 5.平行四边形
课堂考点探究
例1　(1)D　(2)A　变式题　AB 例2　略　变式题　略
例3　F为CC1的中点 变式题　　例4　略
变式题　(1)略　(2)18　例5　略
变式题　点F为AP上靠近点P的三等分点
教师备用习题
例1 略 例2 略 例3(1)略　(2)18　　
基础热身
1.B 2.A 3.D 4.C 5.BCD 6.平行 7.
综合提升
8.D 9.B 10.C 11.ABC 12. ACD 13.
14.略 15. (1)略　(2)存在　
能力拓展
16. (1)略　(2)

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