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第46讲　空间向量及其运算和空间位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.互相平行或重合　非零向量a　平行
同一个平面　a=λb　xa+yb+zc　1
2.(1)|a||b|cos θ　(2)a·b=0　(3)a2
3.(1)|a|cos　投影向量　(3)
4.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
【对点演练】
1.1　[解析] ∵λa+μb(λ,μ∈R)与a,b共面,∴①②④不正确.
2.-a+b+c　[解析] =+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c.
3.10　[解析] ∵l1⊥l2,∴a⊥b,∴a·b=-6-4+m=0,解得m=10.
4.④　[解析] 若a与b共线,则a,b所在的直线可能平行也可能重合,故①为假命题;三个向量a,b,c中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故②为假命题;只有当a,b,c不共面时,空间任意一个向量p才一定能表示为p=xa+yb+zc,故③为假命题;根据向量的运算法则可知④为真命题.故填④.
5.17或-1　[解析] ∵a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,∴cos 120°===-,解得λ=-1或λ=17.
● 课堂考点探究
例1　[思路点拨] 由题意得四边形EFGH为平行四边形,进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可得解.
++　[解析] 因为====,所以EH∥BD,且EH=BD,FG∥BD,且FG=BD,所以四边形EFGH为平行四边形,所以=+=+=+(++)=-++(+)=++.
变式题　D　[解析] =+=+++=-+++=-a+c+a+=-a+b+c.故选D.
例2　[思路点拨] (1)根据空间向量线性运算进行求解;(2)设=λ+μ(λ,μ不为0),推导出=λ+μ,进而证明四点共面.
解:(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=+,因为k=,所以=+=+-=+-=+=++.
(2)证明:连接AC,EG,设=λ+μ(λ,μ不为0),则=-=k-k=k=k(λ+μ)=kλ+kμ=kλ(-)+kμ(-)=λ(-)+μ(-)=λ+μ,
则,,共面且有公共点E,则E,F,G,H四点共面.
变式题　(1)D　(2)　[解析] (1)由题可知O,A,B,C四点不共面,所以由,,共面,得++λ=1,解得λ=.故选D.
(2)∵=2e1-e2,=3e1+3e2,∴=+=5e1+2e2,又∵A,C,D三点共线,∴∥,∵e1,e2不共线,=e1+ke2,∴=5,∴2-5k=0,∴k=.
例3　[思路点拨] (1)取线段B1C的中点P,以D为原点建立空间直角坐标系,用向量法求解线面关系即可.(2)设=a,=b,=c,以它们为基底表示出,,,结合已知并应用向量数量积的运算求证垂直,即可证得结论.
解:(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(3,0,2),A(3,0,0),B1(3,4,2),C(0,4,0),D1(0,0,2).设P为线段B1C的中点,则P,设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),由=(-3,4,0),=(-3,0,2),得
令y=1,得x=,z=2,则n=.=,因为n·=×+1×4+2×(-1)=0,所以n⊥,又A1P 平面ACD1,所以线段B1C上存在中点P,使得A1P∥平面ACD1.
(2)证明:设=a,=b,=c,则{a,b,c}为空间的一个基底,则=a+b-c,=b-a,=c.
因为AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,所以a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a=.
因为·=(a+b-c)·(b-a)=-1+1--+=0,
·=(a+b-c)·c=+-1=0,BD∩BB1=B,所以是平面BDD1B1的一个法向量,
所以直线A1C⊥平面BDD1B1.
变式题　解:(1)证明:连接BD,交AC于N,连接MN,
因为四边形ABCD是菱形,所以点N为BD的中点.
又因为M为PD的中点,
所以MN∥BP.
因为BP 平面ACM,MN 平面ACM,
所以BP∥平面ACM.
(2)方法一:设底面边长为2,E为AB的中点,连接EC,
由于四边形ABCD为菱形,
且∠ABC=60°,
所以BE=1,BC=2,EC==,
所以BC2=BE2+EC2,即EC⊥AB.
连接PE,因为三角形PAB为正三角形,E为AB的中点,所以PE⊥AB,
又侧面PAB⊥底面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE 平面PAB,所以PE⊥平面ABCD.如图,以E为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),C(,0,0),D(,2,0),M.假设存在点G满足题意,设=λ(0≤λ≤1),则=λ=(0,2λ,0),则G(,2λ,0),=,=(,2λ-1,0).设平面GAM的法向量为n=(x,y,z),则得取y=1,得x=,z=,所以n=.易知平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).
由题可知cos==0,即=0,解得λ=,满足题意.故在棱CD上存在点G,使得平面GAM⊥平面ABCD,此时=.
方法二:设E为AB的中点,连接PE,因为△PAB为正三角形,E是AB的中点,所以PE⊥AB,
又侧面PAB⊥底面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PE 平面PAB,所以PE⊥平面ABCD.
连接DE,取DE的中点H,连接MH,如图,则MH是△PDE的中位线,所以MH∥PE,又PE⊥平面ABCD,所以MH⊥平面ABCD.连接AH并延长,交CD于G,连接MG,则平面 AMG⊥平面ABCD.因为AE∥GD,所以∠HAE=∠HGD,∠HEA=∠HDG,又因为EH=HD,所以△AEH≌△GDH,则AE=GD=CD,故在棱CD上存在点G,使得平面 GAM⊥平面ABCD,此时=.第46讲　空间向量及其运算和空间位置关系
1.B　[解析] 由题知a·b=-1+2x-5=2,解得x=4.故选B.
2.A　[解析] 因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.故选A.
3.B　[解析] 连接ON,因为N为BC的中点,所以=(+),因为M在OA上,且OM=2MA,所以=,所以=-=+-=-a+b+c,故选B.
4.C　[解析] ∵=(a-b)=(++)-(+-),∴与a,b不能构成空间的一个基底.故选C.
5.CD　[解析] 取AC的中点O,连接ON,OB,由题意可知ON∥AA1,OB⊥AC,因为AA1⊥平面ABC,且AC,OB 平面ABC,所以AA1⊥AC,AA1⊥OB,则ON⊥AC,ON⊥OB,即ON,AC,OB两两垂直,以O为坐标原点,OA,OB,ON所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),C1(-1,0,2),M,N(0,0,2),可得=,=(2,0,0),=(-1,-,2),=(1,,0).设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则
令x=,则y=-1,z=0,可得n=(,-1,0).对于选项A,因为·=-1≠0,所以MN与AC不垂直,故A错误;对于选项B,因为=≠,所以MN与BC1不平行,故B错误;对于选项C,||=
=,故C正确;对于选项D,n·=×+(-1)×+0×2=0,又MN 平面BCC1B1,所以MN∥平面BCC1B1,故D正确.故选CD.
6.　[解析] 因为A(2,1,3),B(2,-2,6),C(3,3,6),所以=(1,2,3),=(0,-3,3),所以·=-6+9=3,所以向量在上的投影向量的坐标为·=·=.
7.　[解析] 如图,因为PB=PC=1,∠APB=∠APC=90°,∠BPC=60°,所以·=(+)·=·=1×1×cos 60°=.
8.D　[解析] 由题意知△ABC是边长为的等边三角形,且DA=DB=DC=2,等边三角形ABC的高为=.以O为原点,过点O且平行于BC的直线为x轴,过点O且垂直于BC的直线为y轴,OD所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,-1,0),B,C,D(0,0,),且P(0,0,λ),所以=(0,1,λ),=,=(,0,0).设m=(x,y,z)为平面PBC的法向量,则令z=1,则m=(0,2λ,1),因为PA⊥平面PBC,所以= km,k为实数,则得λ=.故选D.
9.C　[解析] ∵++2=+-2=(-)+(-)=+,-==-,∴(++2)·(-)=(+)·(-)=-=0,∴||=||,即BC=BA,∴△ABC是等腰三角形.故选C.
10.D　[解析] 如图,取BC的中点E,AD的中点F,连接ED,EF,则|+|=|2|=2,所以||=,故点P的轨迹是以E为球心,以为半径的球面.·=-(+)·(+)=-(+)·(-)=||2-||2=4-||2.因为ED===2,EF===2,所以||min=EF-=,||max=EF+=3,所以·的取值范围为[-14,2].故选D.
11.BC　[解析] 对于A,连接A1C1,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以AC∥A1C1,则A,C,C1,A1四点共面,则平面ACC1即为平面A1ACC1,而直线A1B显然与该平面相交于点A1,故A错误.对于B,·=(++)·(-)=·-+-·+·-·=-62+62+6×6×-6×6×=0,所以⊥,即AC1⊥DB,·=(+)·(-)=-=||2-||2=0,所以⊥,即AC⊥BD,因为AC∩AC1=A,AC,AC1 平面ACC1,所以BD⊥平面ACC1,故B正确.对于C,=++=++,所以=+++2·+2·+2·=36+36+36+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°+2×6×6×cos 60°=216,所以AC1==6,故C正确.对于D,=+-,=+,所以||2=(+-)2=+++2·-2·-2·=72,所以||=6,||2=(+)2=++2·=108,所以||=6,·=(+-)·(+)=+·+·-=62+6×6×+6×6×-62=36,所以cos<,>===,故D错误.故选BC.
12.　[解析] 连接AC,BD交于点O,则O为AC,BD的中点,连接PO,则+=+=2.设=λ,则4+2=+λ,即=-++,因为E,F,G,H四点共面,所以-++=1,所以λ=,所以PH=PD.
13.　[解析] 以A为坐标原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),O,N.设M(0,1,a)(0≤a≤1),则·=(0,1,a)·=-+a=0,解得a=.故当=时,ON⊥AM.
14.证明:(1)连接BG,=+=+(+)=++=+,由共面向量定理的推论知,E,F,G,H四点共面.
(2)∵E,H分别为AB,AD的中点,
∴=,=,
∴-=-,∴=,∴EH∥BD.
又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,∴BD∥平面EFGH.
(3)∵=,=,∴=,∴四边形EFGH为平行四边形.又∵M是EG和FH的交点,∴M为EG,FH的中点,∴=(+)=+=+=(+++).
15.解:(1)证明:因为DE垂直平分AB,所以DE⊥AD,DE⊥BD,
即DE⊥PD,DE⊥BD,
又PD∩BD=D,PD,BD 平面PBD,所以DE⊥平面PBD,
又因为DE 平面BCED,所以平面PBD⊥平面BCED.
(2)由(1)可知DE⊥PD,DE⊥BD,则∠PDB为二面角P-DE-B的平面角,即∠PDB=,
又因为PD=BD,所以△PDB为等边三角形.
在△ABC中,AB=4,BC=2,B=,
所以AC=
=2,
则AB2=AC2+BC2,所以C=.
连接CD,因为D为AB的中点,所以△BCD为等边三角形.
取BD的中点O,连接PO,OC,则PO⊥BD,OC⊥BD,又因为平面PBD⊥平面BCED,平面PBD∩平面BCED=BD,PO 平面PBD,所以PO⊥平面BCED,又OC 平面BCED,所以PO⊥OC,故以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),E,可得=(-2,0,0),=,=(1,0,),=.设Q(x1,y1,z1),由=λ(0<λ<1),得(x1,y1,z1-)=λ,则
故Q,
所以=.
设平面BDQ的法向量为m=(x,y,z),
则
即
令y=3,则x=0,z=,则m=.设平面EDQ(即平面PDE)的法向量为n=(a,b,c),
则即令a=-,则b=0,c=1,可得n=(-,0,1).由题意可得|cos|===,整理得3λ2-8λ+4=0,解得λ=或λ=2(舍),所以=,故VQ-BCED=VP-BCED=×S四边形BCED·PO=×=,
所以四棱锥Q-BCED的体积为.第46讲　空间向量及其运算和空间位置关系
【课标要求】　1.了解空间向量的概念,了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
5.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题以及平行垂直问题.
1.空间向量及其有关概念
名称 语言描述
共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线　　　　　　　
直线l的 方向向量 在直线l上任取　　　　　,与向量a　　　　的非零向量
共面向量 平行于　　　　　　　　的向量
共线向量 定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b 存在实数λ,使　　　
共面向量 定理 若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面 存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
空间向量 基本定理 (1)定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=　　　　　　. (2)推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z,若x+y+z=　　　　,则P,A,B,C四点共面
2.两个向量的数量积
(1)a·b=　　　　　　　(θ为a,b的夹角).
(2)a⊥b 　　　　　(a,b为非零向量).
(3)|a|2=　　　　;设a=(x,y,z),则|a|=.
3.空间向量投影
(1)向量在向量上的投影向量
如图①所示,在空间,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=　　　　　　　　,向量c称为向量a在向量b上的　　　　　　.
(2)向量在直线上的投影向量
如图②所示,类似于向量向向量投影,可以将向量a向直线l投影.
(3)向量在平面上的投影向量
如图③所示,向量a向平面β投影,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量　　　称为向量a在平面β上的投影向量.
4.向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 a+b=　　　　　　　　　
向量差 a-b=　　　　　　　　　
数量积 a·b=　　　　　　　　　
共线 a∥b 　　　　　　　　　 (λ∈R,b≠0)
垂直 a⊥b 　　　　　　　　　
距离公式 已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2), 则P1P2=　　　　　　　　　
夹角公式 cos=
5.空间位置关系的向量表示
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l α l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
常用结论
1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为.
2.在空间中,O为平面ABC外一点,P,A,B,C四点共面的充要条件是=x+y+z(其中x+y+z=1).
题组一　常识题
1.[教材改编] 若{a,b,c}为空间向量的一个基底,则下列各组向量中,能构成空间向量的一个基底的共有　　　　个.
①a,a+b,a-b;②b,a+b,a-b;
③c,a+b,a-b;④a+b,a-b,a+2b.
2.[教材改编] 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则=　　　　　　　　(用向量a,b,c表示).
3.[教材改编] 已知直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m=　　　　.
题组二　常错题
◆索引:忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错.
4.给出下列命题:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
③已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc;
④若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.
其中为真命题的是　　　　.(填序号)
5.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为　　　　.
　空间向量的线性运算
例1 如图,在四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,且====,M是EG和FH的交点,以{,,}为基底表示,则=　　　　　　.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
总结反思
在向量的线性运算中,有以下几个关键点:
(1)结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各棱(线段)的几何关系;
(2)正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;
(3)平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立.
变式题 如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,2AB=3A1B1,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的是 (　 )
A.-a+b+c
B.-a+b+c
C.-a-b+c
D.-a+b+c
　共线、共面向量定理的应用
例2 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=k,=k,=k,=k.
(1)当k=时,试用,,表示;
(2)证明:E,F,G,H四点共面.


总结反思
(1)证明空间三点P,A,B共线的方法:
①=λ(λ∈R);
②对空间任意一点O,=+t(t∈R);
③对空间任意一点O,=x+y(x+y=1).
(2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法:
①=x+y;
②对空间任意一点O,=+x+y;
③对空间任意一点O(O,M,A,B不共面),=x+y+z(x+y+z=1);
④∥(或∥或∥).
变式题 (1)在四面体OABC中,空间中的一点M满足=++λ,若,,共面,则λ= (　 )
A. B. C. D.
(2)设e1,e2是两个不共线的空间向量,若=2e1-e2,=3e1+3e2,=e1+ke2,且A,C,D三点共线,则实数k的值为　　　　.
　利用空间向量证明平行或垂直
例3 利用空间向量知识完成本题.
(1)如图①,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.线段B1C上是否存在点P,使得A1P∥平面ACD1
(2)如图②,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,求证:直线A1C⊥平面BDD1B1.


总结反思
(1)利用向量证明平行问题
①线线平行:方向向量平行.
②线面平行:平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直.
③面面平行:两平面的法向量平行.
(2)利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问题 证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零
线面垂直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直问题 两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直
变式题 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,三角形PAB为正三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD,M为PD的中点.
(1)求证:PB∥平面ACM.
(2)在棱CD上是否存在点G,使得平面GAM⊥平面ABCD 若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.

第46讲　空间向量及其运算和空间位置关系
(时间:45分钟)
1.已知a=(-1,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=2,则x的值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 (　 )
A.平行或直线在平面内
B.不能确定
C.相交但不垂直
D.垂直
3.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,则等于 (　 )
A.a-b+c
B.-a+b+c
C.a+b-c
D.a+b-c
4.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间的一个基底的向量是 (　 )
A. B.
C. D.或
5.(多选题)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,M,N分别是AB,
A1C1的中点,则 (　 )
A.MN⊥AC
B.MN∥BC1
C.MN=
D.MN∥平面BCC1B1
6.[2024·北京东城区模拟] 已知A(2,1,3),B(2,-2,6),C(3,3,6),则向量在上的投影向量的坐标为　　　　.
7.在三棱锥P-ABC中,PB=PC=1,∠APB=∠APC=90°,∠BPC=60°,则·=　　　　.
8.如图,在正三棱锥D-ABC中,AB=,DA=2,O为底面ABC的中心,点P在线段DO上,且=λ,若PA⊥平面PBC,则实数λ= (　 )
A. B.-
C. D.
9.在三棱锥S-ABC中,(++2)·(-)=0,则△ABC是 (　 )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
10.已知正四面体ABCD的棱长为4,空间中的动点P满足|+|=2,则·的取值范围为 (　 )
A.[4-2,4+2]
B.[,3]
C.[4-3,4-]
D.[-14,2]
11.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,则下列说法中正确的是 (　 )
A.A1B∥平面ACC1
B.BD⊥平面ACC1
C.AC1=6
D.直线BD1与AC所成角的余弦值为
12.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形,点E,F,G分别在侧棱PA,PB,PC上,且满足PE=PA,PF=PB,PG=PC.若平面EFG与侧棱PD交于点H,则PH=　　　　PD.
13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是棱D1D上一点,N是A1B1的中点,则当=　　　　时,ON⊥AM.
14.如图,在四面体ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)求证:BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任意一点O,有=(+++).
15.如图①所示,在△ABC中,AB=4,BC=2,B=,DE垂直平分AB.现将△ADE沿DE折起,使得二面角A-DE-B的大小为,得到如图②所示的四棱锥P-BCED.
(1)求证:平面PBD⊥平面BCED;
(2)若Q为PE上一动点,且=λ(0<λ<1),当锐二面角B-DQ-E的余弦值为时,求四棱锥Q-BCED的体积.(共107张PPT)
第46讲 空间向量及其运算和空间位
置关系
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课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.了解空间向量的概念,了解空间向量基本定理及其意
义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
5.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题以及平行垂直问题.
1.空间向量及其有关概念
名称 语言描述
共线向量 （平行向量） 表示若干空间向量的有向线段所在的直线_________
_______
直线 的方向 向量 在直线上任取___________,与向量 ______的非零
向量
共面向量 平行于____________的向量
互相平行或重合
非零向量
平行
同一个平面
◆ 知识聚焦 ◆
名称 语言描述
共线向量定理 对任意两个空间向量,, 存在实数
,使________
共面向量定理 若两个向量,不共线,则向量与向量,共面 存
在唯一的有序实数对,使
续表
名称 语言描述
空间向量基本 定理 （1）定理:如果三个向量,, 不共面,那么对任意一
个空间向量,存在唯一的有序实数组 ,使得
_____________.
（2）推论:设,,, 是不共面的四点,则对空间任一
点都存在唯一的有序实数组 ,使
，若___,则, ,
, 四点共面
1
续表
2.两个向量的数量积
（1）___________（ 为, 的夹角）.
（2） _________（, 为非零向量）.
（3）____;设,则 .
3.空间向量投影
（1）向量在向量上的投影向量
如图①所示,在空间,向量向向量 投影,先将它们平移到
同一个平面 内,进而利用平面上向量的投影,得到与向
,
投影向量
（2）向量在直线上的投影向量
如图②所示,类似于向量向向量投影,可以将向量 向直线
投影.
量共线的向量,_ ____________,向量称为向量在向量 上的_____
_____.
（3）向量在平面上的投影向量
如图③所示,向量向平面 投影,分别由向量
的起点和终点作平面 的垂线,垂足分别为
,,得到向量，向量_____称为向量 在平
面 上的投影向量.
4.向量的坐标运算
设,
向量和 ________________________
向量差 ________________________
数量积 __________________
共线 _________________________,
垂直 ______________________
,,
距离公 式 已知,,则
__________________________________
夹角公 式 ,
续表
5.空间位置关系的向量表示
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量 的有向线段所在直线与
直线平行或重合，则称向量为直线 的方向向量.
（2）平面的法向量：直线 ，取直线的方向向量，则向量
为平面 的法向量.
（3）空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线， 的方向向量 分别为，
直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
平面 ， 的法向量 分别为，
常用结论
1.已知为线段的中点，若,，则点的坐标为
.
2.在空间中,为平面外一点，,,,四点共面的充要条件是
（其中）.
题组一 常识题
1.［教材改编］ 若，， }为空间向量的一个基底，则下列各组
向量中，能构成空间向量的一个基底的共有___个.
，，；，， ；
，，；，， .
1
[解析] 与，共面， 不正确.
◆ 对点演练 ◆
2.［教材改编］ 如图所示，在平行六面体
中，为与 的
交点.若，， ，则
______________（用向量，， 表
示）.
[解析] .
3.［教材改编］ 已知直线，的方向向量分别为 ，
，若，则 ____.
10
[解析] ，，，解得 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽略向量共线与共面的区别;使用向量的数量积公式出错.
4.给出下列命题:
①若向量,共线,则向量, 所在的直线平行;
②若三个向量,,两两共面,则向量,, 共面;
③已知空间的三个向量,,,则对于空间的任意一个向量 ,总存在实
数,,使得 ;
④若,,,是空间任意四点,则有 .
其中为真命题的是____.（填序号）
④
[解析] 若与共线,则, 所在的直线可能平行也可能重合,故①为假
命题;
三个向量,, 中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面,
故②为假命题;
只有当,,不共面时,空间任意一个向量 才一定能表示为
,故③为假命题;
根据向量的运算法则可知④为真命题.故填④.
5.若,,与的夹角为 ，则 的值为
________.
17或
[解析] ，，与的夹角为 ，
，解得或 .
探究点一 空间向量的线性运算
例1 如图，在四面体中，,,, 分别是
,,, 上的点，且
,是和 的交点，以
,,}为基底表示，则 ________
__________.
［思路点拨］ 由题意得四边形 为平行四边形，进一步结合线
段比例分解向量成基底向量的线性组合即可得解.
[解析] 因为 ，所以
,且，,且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以
.
[总结反思]
在向量的线性运算中,有以下几个关键点:
（1）结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各棱（线段）
的几何关系;
（2）正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义;
（3）平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立.
变式题 如图，在正四棱台
中，,与的交点为 .设
,， ，则下列向量中
与 相等的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析]
.故选D.
探究点二 共线、共面向量定理的应用
例2 在四棱柱 中，
, ， ,
.
（1）当时，试用,,表示 ；
［思路点拨］根据空间向量线性运算进行求解；
解：在四棱柱 中，
，因为，所以 .
（2）证明：,,, 四点共面.
［思路点拨］设 , 不为0），
推导出 ，进而证明四点共面.
证明：连接，，设
（ , 不为0），则
，
则,,共面且有公共点，则,,, 四点共
面.
[总结反思]
（1）证明空间三点,,共线的方法:
;
②对空间任意一点,;
③对空间任意一点,.
（2）证明空间四点,,, 共面的方法:
① ;
②对空间任意一点, ;
③对空间任意一点（,,, 不共面）,
;
④（或或 ）.
变式题（1）在四面体中，空间中的一点 满足
，若,,共面，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题可知,,,四点不共面，所以由,, 共面，得
，解得 .故选D.
√
（2）设，是两个不共线的空间向量，若 ，
，，且，，三点共线，则实数
的值为__.
[解析] ， ，
，又，， 三点共线，
，，不共线，， ，
， .
探究点三 利用空间向量证明平行或垂直
例3 利用空间向量知识完成本题.
（1）如图①，在长方体 中，
,,.线段上是否存在点 ，
使得平面
［思路点拨］取线段的中点，以 为原点建立
空间直角坐标系，用向量法求解线面关系即可.
解：以为坐标原点，,, 所在直线分别为
，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，， ，
.设为线段的中点，则，设平面 的法向量为
，由， ，得
令，得，，则 .
，因为
，所以
,又 平面,所以线段 上存在
中点，使得平面 .
（2）如图②，在平行六面体
中， ,
，求证：直线
平面 .
［思路点拨］设，， ，以
它们为基底表示出，， ，结合已知并应用向量数量积的运算
求证垂直，即可证得结论.
证明：设，，，则{,, }
为空间的一个基底，则 ，
， .
因为, ，所以
， .
因为 ，
，，所以
是平面 的一个法向量，
所以直线 平面 .
[总结反思]
（1）利用向量证明平行问题
①线线平行:方向向量平行.
②线面平行:平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直.
③面面平行:两平面的法向量平行.
（2）利用向量法证垂直问题的类型及常用方法
线线垂直问 题 证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积
为零
线面垂直问 题 直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂
直的判定定理转化为证明线线垂直
面面垂直问 题 两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理
转化为证明线面垂直
变式题 如图所示，在四棱锥中，底面 是菱形，
，三角形为正三角形，且侧面 底面
，为 的中点.
（1）求证：平面 .
证明：连接，交于，连接 ，
因为四边形是菱形，所以点为 的中点.
又因为为 的中点，
所以 .
因为 平面, 平面 ，
所以平面 .
（2）在棱上是否存在点，使得平面 平面 ？若存在，
请求出 的值；若不存在，请说明理由.
解：方法一：设底面边长为2，为 的中点，
连接 ，
由于四边形 为菱形，
且 ，
所以, ,
，
所以，即 .
连接，因为三角形为正三角形，为的中点，所以 ，
又侧面 底面，平面 平面
， 平面，所以 平
面.如图，以为原点，,, 的方向
分别为,, 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则,,, .
假设存在点满足题意，设 ，
则，则 ,
, .
设平面 的法向量为，则
得取 ，得
，，所以 .
易知平面的一个法向量为 .
由题可知,，即 ，
解得，满足题意.故在棱上存在点 ，
使得平面 平面，此时 .
方法二：设为的中点，连接 ，因为
为正三角形，是 的中点，所以
,
又侧面 底面，平面 平面
, 平面，所以 平面
.
连接，取的中点，连接 ，如图，则
是的中位线，所以 ，又
平面，所以 平面 .连接
并延长，交于，连接,则平面
平面．因为，所以， ，又
因为，所以，则，故在棱
上存在点，使得平面 平面，此时 ．
【备选理由】例1考查利用向量法证明空间的线面关系，根据, ,
, 四点共面确定 是本题的关键；
例1 ［配例3使用］ [2024·浙江温州期末] 已知四棱
锥 的底面是边长为1的菱形且
， 平面，且，，
分别为和的中点， 平面，则 _ _，四边形
的面积为_ __.
[解析] 以为原点，垂直于的直线为
轴，，所在直线分别为, 轴，建立
如图所示的空间直角坐标系，
则,,, ，
，则 ,
， ，设
， ，
则 ，所以
.设平面
的法向量为 ，则
令 ，得
，,所以 .因为
平面，所以, ,, 四点
共面，所以 ，即
，解得 ，则
，
， ，则
.
又 ，所以
，则
，因为
，
，所以四边形
的面积为
.
例2 ［配例1使用］ 如图，在四面体中，，，，， ，
分别为棱，，，，， 的中点.
【备选理由】例2考查空间向量的线性运算和空间向量模的运算；
（1）设，， ，用向量
，，分别表示，， ；
解：连接，，，则 ，
，
.
（2）若，求证：，， .
证明：因为 ，所以
，
所以，即
，
所以 ，
所以 ，
得 ，
所以 ，
，
，
即，， ，
故，， .
例3 ［补充使用］ 如图，平行六面体 的所有棱长
均为2，底面为正方形，，点为 的中
点，点为的中点，动点在平面 内.
【备选理由】例3通过构造平面平面 ，从而确定点必
在 上，然后利用等面积法求解或利用向量的线性运算结合二次
函数求最值或利用空间向量结合二次函数求最值.
（1）若的中点为，求 的面积；
解：连接， ,
，，同理 ，
是 的中点，
，且， ，
即，则， .
解：方法一：取的中点，连接 ，
，，， ,
易得,，故四边形 是
平行四边形，
，又 平面, 平面，平面 ，
同理 ， 平面， 平面 ，
平面，又，， 平面，
平面平面 ，
（2）若平面，求线段 长度的最小值.
则点必在上，且当 时，线段
的长度最小， ，
由等面积法得 ，解
得，故线段长度的最小值为 .
方法二：取,,}为基底，则 ，
，
平面， 设 ，代入整理得
，
故 ，
动点在平面内，， ，
故 ，
当且仅当时，取得最小值 .
方法三：由（1）知, ,
，故以 为原点，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则， ，
，， ，
， ，
，
同理， ，
，
，
.
设平面的法向量为 ，
则即 令
，得 .
设点 ，则
，
,由 ，得
，
故 ，
当且仅当时， 取得最小值
.
作业手册
1.已知,，且，则 的值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 由题知，解得 .故选B.
√
◆ 基础热身 ◆
2.设是平面 的一个法向量，是直线 的一
个方向向量，则直线与平面 的位置关系是( )
A.平行或直线在平面内 B.不能确定
C.相交但不垂直 D.垂直
[解析] 因为，所以，所以直线与平面
的位置关系是平行或直线在平面内.故选A.
√
3.如图，在四面体中，，， ，
点在上，且，为的中点，则 等
于( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 连接，因为为 的中点，所以
,因为在上，且 ，所
以 ，所以
，故选B.
4.已知点,,,为空间不共面的四点，且向量 ，
向量，则与, 不能构成空间的一个基底的向量
是( )
A. B. C. D.或
[解析] ，
与， 不能构成空间的一个基底.故选C．
√
5.（多选题）如图，正三棱柱 的各
棱长都为2，，分别是 ，
的中点，则( )
A. B.
C. D.平面
√
√
[解析] 取的中点，连接, ，由题意可
知,，因为 平面 ，
且, 平面，所以 , ，
则,，即, , 两两垂直，
以为坐标原点，,, 所在直线分别为,,
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,, ,
,, ，可得 , ,
, .
设平面的法向量为 ，则
令，则, ，可得
.
对于选项A，因为，所以与 不垂直，故 A错误；
对于选项B，因为 ，所以
与 不平行，故B错误；
对于选项C，
，故C正确；
对于选项D，，又 平面,所以 平面，故D正确.故选 .
6.[2024·北京东城区模拟] 已知，， ，则
向量在 上的投影向量的坐标为__________.
[解析] 因为，，，所以 ，
，所以，所以向量在 上的
投影向量的坐标为 .
7.在三棱锥中，， ，
，则 __.
[解析] 如图，因为 ，
， ，所以 .
8.如图，在正三棱锥中， ，
，为底面的中心，点在线段
上，且，若 平面 ，则实数
( )
A. B. C. D.
√
◆ 综合提升 ◆
[解析] 由题意知是边长为 的等边三角形，
且 ，等边三角形的高为
.以为原点，过点 且平行于的直
线为轴，过点且垂直于 的直线为轴，
所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则, ,,，且 ，
所 以， ，.
设为平面 的法向量，
则 令
，则，因为 平面
，所以， 为实数，则 得 .故选D.
9.在三棱锥中，，则
是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
[解析] , ，
，
，即， 是等腰三角形.故选C.
√
10.已知正四面体的棱长为4，空间中的动点 满足
，则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 如图，取的中点，的中点 ，连接
，，则 ，所以
，故点的轨迹是以为球心，以 为
半径的球面. .
因为 ,
，所以 ，
，所以的取值范围为 .故选D.
11.（多选题）如图，在平行六面体中，以顶点
为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是 ，则下列说法
中正确的是( )
A.平面
B. 平面
C.
D.直线与所成角的余弦值为
√
√
[解析] 对于A，连接 ,在平行六面体
中， ,
，所以四边形 为平行四
边形，所以，则,,, 四点共
面，则平面即为平面，而直线 显然与该平面相交于点
，故A错误.
对于B，，所以，即 ， ，
所以，即，因为
，, 平面 ，所以
平面 ，故B正确.
对于C，，所以 ，所以
，故C正确.
对于D， ，,
所以
，所以
， ，所以， ，所以 ， ，故D错误.故选 .
12.四棱锥的底面为平行四边形，点，， 分别在
侧棱，，上，且满足，， .若
平面与侧棱交于点，则__ .
[解析] 连接，交于点，则为，
的中点，连接 ，则
.设 ，则
，即
，因为，， ，
四点共面，所以，所以 ，
所以 .
13.如图所示，在正方体中，是底面正方形
的中心，是棱上一点，是的中点，则当 __时，
.
[解析] 以为坐标原点，以，， 的方
向分别为，， 轴的正方向，建立空间直角
坐标系，设正方体的棱长为1，则 ，
，.设 ，
则 ，
解得.故当时， .
14.如图，在四面体中，,,, 分别是
,,, 的中点.
（1）求证：,,, 四点共面；
证明：连接，
，由共面向量定理的推论知，,,, 四点共面.
（2）求证：平面 ；
证明：,分别为, 的中点，
, ，
， ,
.
又 平面， 平面 ，
平面 .
（3）设是和 的交点，求证：对空间任
意一点，有 .
证明：,，，
四边形为平行四边形.又是和
的交点，为， 的中点，
.
15.如图①所示，在中，，，， 垂直平
分.现将沿折起，使得二面角的大小为 ，得
到如图②所示的四棱锥 .
（1）求证：平面 平面 ；
证明：因为垂直平分，所以， ，
即， ，
又，， 平面，所以 平面 ，
又因为 平面，所以平面 平面 .
（2）若为上一动点，且 ，当锐二面角
的余弦值为时，求四棱锥 的体积.
解：由（1）可知， ，则
为二面角 的平面角，即
，
又因为，所以 为等边三角形.
在中，，， ，
所以 ，
则，所以 .
连接，因为为的中点，所以 为
等边三角形.
取的中点，连接，，则， ，又因为平面
平面，平面 平面， 平面 ，
所以 平面，又 平面，所以，故以 为坐标原点，，，所在直线分别为,, 轴建立如图所示的 空间直角坐标系，
则，， ，
，可得,
, ,.
设，由 ，得
，则
故 ，所以 .
设平面的法向量为 ，
则 即
令，则,，则.
设平面 （即平面）的法向量为 ，
则即令，则
, ，可得.
由题意可得, ，整理得，解得或（舍），所以 ，
故 ，
所以四棱锥的体积为 .
【知识聚焦】1.互相平行或重合　非零向量a　平行 同一个平面　 1
2.(1) (2) (3) 3.(1), 投影向量　(3)
4.
,,
【对点演练】1.1　2. 3.10　4.④ 5.17或-1
课堂考点探究
例1　 　变式题　D 例2　(1) 　(2)略
变式题　(1)D　(2) 例3　(1)存在 (2)略 变式题　(1)略 (2) 存在,
教师备用习题
例1 例2 (1) , ， (2) 略
例3 (1) 　(2)
基础热身
1.B 2.A 3.B 4.C 5.CD 6. 7.
综合提升
8.D 9.C 10.D 11.BC 12. 13.
14.略 15.(1) 　(2)

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