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重点强化练(三) 函数零点问题
一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.
1.已知函数f(x)=ln x+x-,则f(x)的零点所在的区间为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.(1,2)
C.(2,e) D.(e,3)
2.[2024·河北唐山模拟] “a≤-2”是“函数f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在零点”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2024·广东揭阳模拟] 函数f(x)=ln+x-1的所有零点之和为 (　 )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.已知方程ex+x-2=0,ln x+x-2=0的根分别为a,b,则a+b的值为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.[2024·湖南邵阳模拟] 已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=0有5个不同的实数根,则实数m的取值范围为 (　 )
A.(0,1)∪(1,3) B.(0,1)
C.[0,1) D.(1,3)
6.[2024·广东深圳模拟] 当a≥e时,方程ex+x+ln x=ln a+,x∈[1,+∞)的根的个数为 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.3
7.若不等式(|x-a|-b)sin≤0,x∈[-1,1]恒成立,则2a+b= (　 )
A. B. C. D.2
8.[2024·山东德州模拟] 定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x+2),当x∈[0,2]时,f(x)=()x,若在区间[0,10]内,函数g(x)=f(x)-mx-1(m>0)有5个零点,则实数m的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.若函数f(x)=x3+x2-6x+a有3个零点,则实数a的值可以是 (　 )
A.-10 B.-9
C.2 D.3
10.[2024·江苏连云港模拟] 已知函数f(x)=若方程f(x)=k有四个不同的根x1,x2,x3,x4且x1A.0B.2x1+x2≥2
C.x1x2+x3+x4=6
D.311.[2024·福建福州模拟] 已知函数f(x)=ax(ex+e-x)-ex+e-x恰有三个零点x1,x2,x3,且x1A.x1+x2+x3=0
B.实数a的取值范围为(0,1]
C.ax1+1>0
D.ax3+a>1
三、填空题:本题共3小题.
12.[2024·黑龙江哈尔滨模拟] 定义[x]表示不超过x的最大整数,{x}=x-[x].例如:[-3.2]=-4,{-3.2}=0.8,则方程2x{x}-x-1=0的所有实根之和是　　　　.
13.[2024·福建泉州一模] 已知函数f(x)=(x-1)ex+|ex-a|有且只有两个零点,则a的取值范围为　　　　.
14.[2024·江苏扬州模拟] 已知a∈R,函数f(x)=当a=1时,函数y=f[f(x)]有　　　　个零点;若函数y=f[f(x)]恰有3个零点,则实数a的取值范围为　　　　. (共35张PPT)
重点强化练（三） 函数零点问题
一、选择题：本题共8小题.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.
1.已知函数，则 的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 函数的定义域为 ，且函数
，，在 上都单调递增，所以函数
在 上单调递增.
又， ，
所以，所以零点所在的区间为 .故选B.
2.[2024·河北唐山模拟]“”是“函数在区间
上存在零点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 因为在区间 上存在零点，所以
,解得或.
因为集合 是集合的真子集，
所以“”是“函数 在区间 上存在零点”
的充分不必要条件.故选A.
√
3.[2024·广东揭阳模拟]函数 的所有零点之和为
( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] 由得 ，令
，，因为 ，所以函数
的图象关于点对称，
又因为 的图象关于点 对称，如图所示，两个函数图象有
两个交点，
设两个交点的横坐标分别为,，这两个交点关于点对称，
所以 .故选D.
4.已知方程，的根分别为, ，则
的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 由题意得， ，即
，
令，则 ，
又恒成立，所以在 上单调递增，
故，又，所以 .故选B.
√
5.[2024·湖南邵阳模拟]已知函数 若方程
有5个不同的实数根，则实数 的取值
范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当 时， .
由 ，可得
或.
由题意可知，关于 的方程，共有5个不同的实数根，
作出函数 的图象如图所示，由图可知，方程有2个根，
故方程 有3个根，则 .故选B.
6.[2024·广东深圳模拟]当时，方程 ，
的根的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
√
[解析] 由得 ，
设函数，，问题转化为求方程
的根的个数，在 上单调递增，故问题转化为求
，的根的个数问题.
令 ，，易知在上单调递增，
故 ，
所以当时，方程 只有一根，
所以方程， 的根的个数为1.故选B.
7.若不等式 恒成立，则
( )
A. B. C. D.2
√
[解析] 令,得,当时, ；
当时,.
由正弦型函数可知,当时, ；
当时， .
因为不等式恒成立,所以当
时,；
当时， .
设,则在上单调递减,在 上单调递
增,所以的两个根应为和,即 解
得所以 ,故选A.
8.[2024·山东德州模拟]定义在上的偶函数 满足
，当时， ，若在区间
内，函数有5个零点，则实数
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ，又 是偶函数，所以
，则，所以 的周期为4.
由得的图象关于直线对称，当 时，
，可得的大致图象如图所示.
在区间 内，函数有5个零点，等价于
与的图象在 上有5个交点.
结合图象，当直线过点时，取到最大值，
此时 ，则，则实数的取值范围是 .故选D.
二、选择题：本题共3小题.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.
9.若函数有3个零点，则实数 的值可以是
( )
A. B. C.2 D.3
√
√
√
[解析] 函数 有3个零点，等价
于 有3个不同的根，
即函数与函数 的图象有3个交点.
令 ，则 ，
由得或，由 得 ，
所以 在
，上单调递增，在 上单
调递减.
又， ，所以
的大致图象如图所示，所
以，解得.故选 .
10.[2024·江苏连云港模拟]已知函数 若方
程有四个不同的根，，，且 ，则
下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 如图所示，在同一坐标系内
作出函数和 的图象.
对于A,由图象知，要使方程
有四个不同的根，则
，所以A正确；
对于B， C，因为 ,
, ，且函数
的图象关于直线 对称，
，
且 , ，
所以 ，
可得 ，所以，
，所以 ，其中 ，
当 时， ，当且仅当 时，取等号，所以 ，所以B正确，C不正确；
对于D，由 ，可得 ，
令 ，可得函数在 上单调递增，， ，
所以 ，所以D正确.故选 .
11.[2024·福建福州模拟]已知函数 恰
有三个零点，，，且 ，则( )
A. B.实数的取值范围为
C. D.
[解析] 因为函数
的定义域为， ，所以是奇函数，则，
又因为 有三个零点且，所以， ，所以
，故A正确；
√
√
√
由 ，得
，
令，则 ，所以
是上的增函数，
要使函数 有3个零点，则与 的图象有3个交点，如图，
又 ，当且仅
当 时取等号，所以，所以 ，故B错误；
，故C正确；
由 ，得 ，要使
成立，则 成立，
令 ，则，
所以 在上单调递增，则 ，
于是，则 ，故D正确. 故选 .
三、填空题：本题共3小题.
12.[2024·黑龙江哈尔滨模拟] 定义表示不超过 的最大整数，
.例如：, ，则方程
的所有实根之和是____.
[解析] 对于，显然 不
是方程的解，可化为 ，
作出函数和 的大致图象，如图.
考虑函数和的图象的交点，除了 外，
其余点成对关于点对称，故所有实根之和为 .
13.[2024·福建泉州一模] 已知函数 有且
只有两个零点，则 的取值范围为_ ______________.
[解析] 令 ，可得 ，即
，
因为，所以 ，
所以，可得 或，
即 或.
令 ，，可得 ，
.
当 时，可得，在 上单调递增，
且，当 时，且.
当 时，可得，在 上单调递减，
当 时，可得，在 上单调递增，
且，，
当 时，，当 时，.
作出函数, 的图象，如图所示.
函数 有且只有两个零点，
即直线与和 的图象共有两个交点，
则或，
故实数 的取值范围为 .
14.[2024·江苏扬州模拟] 已知，函数
当时，函数有___个零点；若函数 恰有3
个零点，则实数 的取值范围为_______.
2
[解析] 当时，
令，解得，令 ，则
，故或，此时 有2
个零点.
设，当时， ，此时，由，
得，即，解得 或，
所以在上有2个零点.
当 时，的图象的对称轴为直线，若，
函数 的大致图象如图所示，
此时，即 ，则
，所以无解，则 无
零点，此时 共有2个零点，不符合题意.
若， 的大致图象如图所示，令，
解得，显然 在上存在唯一负根，
要使 恰有3个零点，只需在上除和
外不能再有其他零点，即 不能再有除和外的
其他解，
故 ，即，解得 ，所以 .
1.B 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.BCD 10.ABD 11.ACD
12. 13. 14. 2重点强化练(三)
1.B　[解析] 函数f(x)=ln x+x-的定义域为(0,+∞),且函数y=ln x,y=x,y=-在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)=ln x+x-在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-1=
ln 2+1>0,所以f(1)·f(2)<0,所以零点所在的区间为(1,2).故选B.
2.A　[解析] 因为f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在零点,所以f(-1)·f(2)≤0,解得a≥3或a≤-.因为集合{a|a≤-2}是集合的真子集,所以“a≤-2”是“函数f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在零点”的充分不必要条件.故选A.
3.D　[解析] 由f(x)=0得ln=1-x,令g(x)=ln,y=1-x,因为g(x)+g(2-x)=ln+ln=ln 1=0,所以函数g(x)=ln的图象关于点(1,0)对称,又因为y=1-x的图象关于点(1,0)对称,如图所示,两个函数图象有两个交点,设两个交点的横坐标分别为x1,x2,这两个交点关于点(1,0)对称,所以x1+x2=2.故选D.
4.B　[解析] 由题意得ea+a-2=0,ln b+b-2=0,即ln b+eln b-2=0,令f(x)=ex+x-2,则f(a)=f(ln b)=0,又f'(x)=ex+1>0恒成立,所以f(x)=ex+x-2在R上单调递增,故a=ln b,又ln b+b-2=0,所以a+b=2.故选B.
5.B　[解析] 当x≤0时,f(x)=|2x-1|=1-2x<1.由[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=0,可得f(x)=1或f(x)=m.由题意可知,关于x的方程f(x)=1,f(x)=m共有5个不同的实数根,作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,方程f(x)=1有2个根,故方程f(x)=m有3个根,则06.B　[解析] 由ex+x+ln x=ln a+得ex+x=+ln,设函数F(x)=ex+x,x∈[1,+∞),问题转化为求方程F(x)=F的根的个数,F(x)在[1,+∞)上单调递增,故问题转化为求x+ln x=ln a,x∈[1,+∞)的根的个数问题.令h(x)=x+ln x,x∈[1,+∞),易知h(x)在[1,+∞)上单调递增,故h(x)∈[1,+∞),所以当a≥e时,方程x+ln x=ln a只有一根,所以方程ex+x+ln x=ln a+,x∈[1,+∞)的根的个数为1.故选B.
7.A　[解析] 令sin=0,得x=-+k(k∈Z),当k=0时,x=-;当k=1时,x=.由正弦型函数可知,当x∈时,sin≥0;当x∈∪时,sin≤0.因为不等式(|x-a|-b)sin≤0,x∈[-1,1]恒成立,所以当x∈时,|x-a|-b≤0;当x∈∪时,|x-a|-b≥0.设f(x)=|x-a|-b,则f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以|x-a|-b=0的两个根应为-和,即解得所以2a+b=,故选A.
8.D　[解析] f[2-(x+2)]=f(-x)=f[(x+2)+2]=f(x+4),又f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),则f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期为4.由f(2-x)=f(x+2)得f(x)的图象关于直线x=2对称,当x∈[0,2]时,f(x)=()x,可得f(x)的大致图象如图所示.在区间[0,10]内,函数g(x)=f(x)-mx-1(m>0)有5个零点,等价于y=f(x)与y=mx+1(m>0)的图象在[0,10]上有5个交点.结合图象,当直线y=mx+1(m>0)过点A(10,e)时,m取到最大值,此时e=10m+1,则m=,则实数m的取值范围是.故选D.
9.BCD　[解析] 函数f(x)=x3+x2-6x+a有3个零点,等价于x3+x2-6x+a=0有3个不同的根,即函数y=x3+x2-6x与函数y=-a的图象有3个交点.令g(x)=x3+x2-6x,则g'(x)=3x2+3x-6=3(x+2)(x-1),由g'(x)>0得x>1或x<-2,由g'(x)<0得-210.ABD　[解析] 如图所示,在同一坐标系内作出函数y=f(x)和y=k的图象.对于A,由图象知,要使方程f(x)=k有四个不同的根,则011.ACD　[解析] 因为函数f(x)=ax(ex+e-x)-ex+e-x的定义域为R,f(-x)=a(-x)(e-x+ex)-e-x+ex=-[ax(ex+e-x)-ex+e-x]=-f(x),所以f(x)是奇函数,则f(0)=0,又因为f(x)有三个零点且x10,所以g(x)是R上的增函数,要使函数f(x)有3个零点,则y=ax与y=g(x)的图象有3个交点,如图,又g'(x)===
≤=1,当且仅当x=0时取等号,所以00,故C正确;由ax3=1-,得a=,要使ax3+a=1-+>1成立,则-2x3-1>0成立,令h(x)=e2x-2x-1(x>0),则h'(x)=2(e2x-1)>0(x>0),所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,则h(x)>h(0)=0,于是-2x3-1>0,则ax3+a>1,故D正确.故选ACD.
12.-1　[解析] 对于2x{x}-x-1=0,显然x=0不是方程的解,可化为2{x}=1+,作出函数y=2{x}和y=1+的大致图象,如图.考虑函数y=2{x}和y=1+的图象的交点,除了(-1,0)外,其余点成对关于点(0,1)对称,故所有实根之和为-1.
13.∪(0,e)　[解析] 令f(x)=0,可得(x-1)ex+|ex-a|=0,即|ex-a|=-(x-1)ex,因为|ex-a|≥0,所以-(x-1)ex≥0,所以x≤1,可得a-ex=(1-x)ex或a-ex=(x-1)ex,即a=(2-x)ex或a=xex.令g(x)=(2-x)ex,h(x)=xex,可得g'(x)=(1-x)ex,h'(x)=(x+1)ex.当x≤1时,可得g'(x)≥0,g(x)在(-∞,1]上单调递增,且g(1)=e,当x→-∞时,g(x)>0且g(x)→0.当x<-1时,可得h'(x)<0,h(x)在(-∞,-1)上单调递减,当-10,h(x)在(-1,1]上单调递增,且h(-1)=-,h(1)=e,当x<0时,h(x)<0,当x→-∞时,h(x)→0.作出函数y=g(x),y=h(x)的图象,如图所示.函数f(x)=(x-1)ex+|ex-a|有且只有两个零点,即直线y=a与f(x)和g(x)的图象共有两个交点,则-14.2　(-2,0)
[解析] 当a=1时,f(x)=
令f(x)=0,解得x=1,令y=f[f(x)]=0,则f(x)=1,故x=0或x=2,此时y=f[f(x)]有2个零点.设t=f(x),当x≥0时,f(x)=|x-1|,此时t≥0,由f(t)=0,得t=1,即f(x)=|x-1|=1,解得x=0或x=2,所以y=f[f(x)]在[0,+∞)上有2个零点.当x<0时,f(x)=-x2+ax的图象的对称轴为直线x=,若a≥0,函数y=f(x)的大致图象如图所示,
此时f(x)=-x2+ax<0,即t<0,则f(t)<0,所以f(t)=0无解,则y=f[f(x)]无零点,此时y=f[f(x)]共有2个零点,不符合题意.若a<0,f(x)的大致图象如图所示,令-t2+at=0,解得t=a<0,显然f(x)=a在(-∞,0)上存在唯一负根,要使y=f[f(x)]恰有3个零点,只需y=f[f(x)]在(0,+∞)上除x=0和x=2外不能再有其他零点,即f(x)=1不能再有除x=0和x=2外的其他解,故f∈(0,1),即0<-+<1,解得-2

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