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2024-2025学年下学期期末测评试卷
高二数学
注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。
3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知生物体内存在酶、酶、酶、酶、酶，酶可以与酶、酶、酶、酶中的任意一种酶发生特异性结合反应.现有3个不同的酶分子，每个酶分子都随机选择一种酶进行结合，且相互独立，则不同结合方式的种数是（ ）
A.72 B.68 C.64 D.58
2.若，则（ ）
A.4 B.6 C.8 D.12
3.用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，，则的值为（ ）
A.30 B.36 C.38 D.40
4.若8名党员中有3名优秀党员，从这8名党员中选出4名党员做报告总结，记选出的党员中优秀党员的人数为，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.在暑假期间，甲、乙、丙、丁四名实验员到某生物研究所的分子生物学、生态学、遗传学三个实验室实习，每个实验室至少有一人，且每人只去一个实验室.已知甲在分子生物学实验室实习，则甲与乙不在同一实验室实习的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.某次知识竞赛中，题库共有9道题目，选手需随机抽取3道作答.答对题数未达到2道的视为不合格，记为分；恰好答对2道的为合格，记为0分；3道题全部答对为优秀，记为2分.已知某位选手仅能答对其中5道题，记该选手的得分为，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某航天知识竞赛的统计结果显示参赛者的得分成绩近似服从正态分布，且，现从参赛者中随机抽取6人，记得分在区间的人数为，则（ ）
A. B.
C. D.
10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（ ）
A.第8行的第8个数是8 B.第2026行中，第1014个数最大
C.第10行中，第5个数与第6个数之比为 D.第行所有数字的平方和为
11.已知函数，且图象的对称中心为点，则（ ）
A.函数在处取得极小值1
B.当时，
C.当时，的取值范围是
D.只有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为_____.
13.假设甲、乙、丙三个实验室分别制备了同一种化学试剂，它们制备的试剂依次占总数的，，，已知甲实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.05，乙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.15，丙实验室制备的试剂的纯度不合格率为0.1，制备出来的试剂混放在一起，现从中任取一个试剂，其纯度不合格，则该纯度不合格的试剂来自丙实验室的概率为_____.
14.若函数与的图象有且仅有一个交点，则关于的不等式的解集为_____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表：
月份 1 2 3 4 5
繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15
（1）据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱）
（2）利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差.
参考数据：，，.
参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，，.
16.（15分）假设某次模拟航天任务中，航天员需要完成两种任务：任务和任务，航天控制中心对45名模拟航天员进行了任务分配情况的调查，得到了如下的列联表：
性别 任务 合计
任务 任务
男 4
女 6
合计 45
若从这45名模拟航天员中的女航天员中随机抽取1人，抽到分配任务的女航天员的概率为.
（1）将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）根据小概率值的独立性检验，能否据此推断任务分配与性别有关？
（3）现从女性航天员中抽取2人做进一步调查，设其中分配任务的女性航天员人数为，求的分布列与期望.
附：，.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）已知.
（1）求的值.
（2）若，求被4除后的余数.
（3）求的值.
18.（17分）已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）证明：.
19.（17分）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次.研究所设计了两种奖励方案.
方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金.
方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金.
（1）若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率；
（2）分别计算选择两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望；
（3）为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，该研究所应选择哪一种抽奖方案进行奖励活动
2024-2025学年下学期期末测评试卷高二数学
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 【解析】酶可以与酶、酶、酶、酶中的任意一种酶发生特异性结合反应，即每一个酶分子都有4种结合选择方式，那么3个不同的酶分子的结合方式共有（种）.故选C.
2.C 【解析】由组合数的性质可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或，故.故选C.
3.A 【解析】根据题意有，线性回归方程为，故，所以.故选A.
4.C 【解析】从8名党员中选出4名党员做报告总结，记选出的党员中优秀党员的人数为，所以.故选C.
5.A 【解析】，，使得成立，则，函数，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在处取极小值，也是最小值，函数的最小值为，，则，所以.故选A.
6.D 【解析】记事件为“甲在分子生物学实验室实习”，事件为“甲与乙不在同一实验室实习”，
样本点的总数为，，
事件，同时发生的情况种数为，
，.
.故选D.
7.B 【解析】的所有可能取值为，0，2，
所以，，，
则的分布列为：
0 2
所以.故选B.
8.D 【解析】令，则，
令，则，令，则，故在区间上单调递减，在区间
上单调递增，故，即，即，当且仅当时等号成立，
当时，由，得，所以，，即.
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，因为，所以，
所以.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABC 【解析】对于A，因为参赛者的得分成绩近似服从正态分布，且，所以，所以，所以A正确；
对于B，由选项A可知在区间的概率为0.8，则，
所以，所以，所以B正确；
对于C，由选项B可知，所以，所以C正确；
对于D，由题意得，所以D错误.
故选ABC.
10.ABD 【解析】对于选项A，依题意，第8行的第8个数是，所以A正确；
对于选项B，由题图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行中，第1014个数最大，故B正确；
对于选项C，第10行是的展开式的二项式系数，所以第5个数与第6个数之比为，故C错误；
对于选项D，由题易知，第行所有数字的平方和为，构造等式，
在等式左边展开式中的系数为，
等式右边展开式中的系数为，故第行所有数字的平方和为，故D正确.
故选ABD.
11.AD 【解析】根据题意可知，因为函数，所以，即的图象恒关于点对称，故有，故.
对于A，由，可得，令，即，化简得，即，解得或，当时，,单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以是极大值点，是极小值点，且有，故选项A正确.
对于B，当时，，，即，在同一个区间内.又在上单调递减，所以当，即时，；当，即时，；当，即时，，故选项B错误.
对于C，令，当时，，由A知当时，单调递减，又，，所以当时，，即当时，，故选项C错误.
对于D，由A可知，当时，，，，，即只有一个零点，其在（-1，1）上，故选项D正确.
故选AD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.54 【解析】的展开式中第二项和第四项的二项式系数分别为和，所以，根据组合数的性质可得.对于，易得展开式的通项为，，令，得，所以常数项为.故答案为54.
13.0.5 【解析】记甲、乙、丙分别为第1，2，3个实验室，为事件“化学试剂为第个实验室制备”，则，，，
记为事件“任取一个试剂，其纯度不合格”，故由全概率公式得，
由贝叶斯公式得.故答案为0.5.
14. 【解析】函数与的图象有且仅有一个交点，
即只有一个零点，即关于的方程只有一个解，
令，则，.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减，并且，
所以，，
函数的大致图象如图.
因为，所以，故不等式即为
设，易知在上单调递增，且，故不等式的解集为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（1）由已知得，，，
，，
，
故，
所以与的线性相关性很强.
（2）因为，，，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
所以5月份该生物繁殖量的残差为.
16.（1）因为从这45名模拟航天员中的女航天员中随机抽取1人，抽到分配任务的女航天员的概率为，则女航天员共有（人），男航天员有27人，
所以补充列联表如下：
性别 任务 合计
任务 任务
男 23 4 27
女 6 12 18
合计 29 16 45
（2）零假设为：任务分配与性别无关，
计算得，根据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即认为任务分配与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（3）根据题意，的所有可能取值为0，1，2，
，，，
故的分布列为：
0 1 2
所以.
17.（1）令，有，
令，有，
即，
两式相加除以2，得.
（2）当时，
，
所以被4除后的余数为3.
（3）因为，等式两边同时对求导可得
，
令，可得.
18.（1）当时，函数的定义域为，求导得.
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）函数的定义域为，
则恒成立，即为恒成立，
由此可得，
设函数，其中，则，
由可得，由可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，故，所以实数的取值范围是.
（3）证明：由（1）可知当时，，
即，当且仅当时取等号，
取，，则，
因此，
所以.
19.（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为，
设“最终获得60元奖金”为事件，则.
（2）若按方案一抽奖，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设最终获得奖金为元，则的所有可能的取值为30，60，90，120，
则，，
，，
所以.
若按方案二抽奖，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得奖金为元，
则，故，
所以.
（3）因为，所以应选择第二种抽奖方案.

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