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第50讲　两直线的位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.k1=k2且b1≠b2　k1·k2=-1
k1≠k2
2.交点坐标　(1)相交　交点的坐标
(2)无公共点　平行
3.
　
【对点演练】
1.直角　[解析] 因为边AB所在直线的斜率k1=-,边BC所在直线的斜率k2=2,且k1k2=-1,所以AB⊥BC,所以△ABC是直角三角形.
2.15或5　[解析] 点P(-1,2)到直线l:4x-3y+C=0的距离为1,即=1,即25=(C-10)2,故C=15或C=5.
3.4x-3y-6=0　[解析] 由
解得所以两条直线的交点坐标为(3,2),又直线4x-3y-7=0的斜率为,故所求直线方程为y-2=(x-3),即4x-3y-6=0.
4.　[解析] 方法一:因为直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my+1=0平行,所以两直线的斜率相等或斜率均不存在,所以-=或m=0,即m=或m=0.当m=0时,l1与l2重合,不符合题意,所以m=.
方法二:因为l1∥l2,
所以解得m=.
5.0或1　[解析] 当1-4a=0或a+4=0时,两直线不垂直,不符合题意;当1-4a≠0且a+4≠0时,由×=-1,得a=0或a=1.
6.　[解析] 依题意得a=6,3x+4y-12=0可变形为6x+8y-24=0,所以两条平行直线之间的距离为=.
● 课堂考点探究
例1　[思路点拨] 判断两直线的位置关系,关键是判断两直线斜率之间的关系.
解:(1)当m=-6时,直线l1的方程为-3x+5y=23,l2的方程为x=4,显然两直线相交;当m≠-6时,由≠,解得m≠-1,m≠-8.综上,当m≠-1且m≠-8时,直线l1与l2相交.
(2)由(1)知,当m=-6时,直线l1与l2相交.当m≠-6时,由=≠,解得m=-1(舍去)或m=-8,所以当m=-8时,直线l1与l2平行.
(3)由==,得m=-1,所以当m=-1时,直线l1与l2重合.
(4)由 2(m+3)+5(m+6)=0,得m=-,所以当m=-时,直线l1与l2垂直.
变式题　(1)A　(2)C　(3)x-2y+4=0　[解析] (1)若直线x+my-1=0与直线nx+y+1=0平行,则m≠0,n≠0,所以=≠,所以mn=1,且m≠-1,n≠-1,充分性成立.当m=-1,n=-1时,mn=1,但直线x-y-1=0与-x+y+1=0重合,必要性不成立.故选A.
(2)当三条直线交于一点时,可将平面分为六个部分,由解得将代入l3:x+ky=0中,得2k+2=0,解得k=-1.当l3:x+ky=0与l1:x-2y+2=0平行时,三条直线可将平面分为六个部分,此时k=-2;当l3:x+ky=0与l2:x-2=0平行时,三条直线可将平面分为六个部分,此时k=0.综上,满足条件的k的值共有3个.故选C.
(3)直线x-2y+4=0与y轴的交点为C(0,2),点A(2,3),B(3,1),则直线AB的斜率k==-2,所以AB边上的高CE所在直线的斜率为,所以高CE所在直线的方程为x-2y+4=0.
例2　[思路点拨] (1)直线3x+my-3=0过定点(1,0),计算定点到直线6x+4y+1=0的距离即可.(2)求出过原点且与已知直线垂直的直线方程,与已知方程联立求解即可.
(1)D　(2)(1,2)　[解析] (1)直线3x+my-3=0过定点(1,0),则直线3x+my-3=0到直线6x+4y+1=0的距离即为点(1,0)到直线6x+4y+1=0的距离,故所求距离d===.故选D.
(2)当OP垂直于直线x+2y-5=0时,|OP|取得最小值,此时kOP=2,则OP所在直线的方程为y=2x.由解得即P(1,2).
变式题　(1)B　(2)y=2或4x-3y+2=0
[解析] (1)由y=k(x+1),可得直线过定点(-1,0),易知当点(-1,0)与(0,-1)的连线与直线y=k(x+1)垂直时,所求距离最大,所以点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为=.故选B.
(2)由得∴l1与l2的交点为(1,2).当所求直线的斜率不存在时,其方程为x=1,点P(0,4)到该直线的距离为1,不满足题意,∴所求直线的斜率存在.设所求直线的方程为y-2=k(x-1),即kx-y+2-k=0,∵点P(0,4)到所求直线的距离为2,∴2=,解得k=0或k=,∴所求直线方程为y=2或4x-3y+2=0.
例3　[思路点拨] (1)设出直线关于点对称的直线上的点,再根据点关于点对称的关系求解.(2)设出A点的坐标,根据中点坐标公式求出B点坐标,代入直线l2的方程中,解方程求得A点坐标,利用截距式求出直线l的方程.
(1)2x-3y-9=0　(2)x+4y-4=0　[解析] (1)设直线l关于点A(-1,-2)对称的直线m上的任意一点为N(x,y),则N(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为N'(-2-x,-4-y),∴N'(-2-x,-4-y)在直线l:2x-3y+1=0上,则2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,可得直线m的方程为2x-3y-9=0.
(2)设A(a,8-2a),由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在直线l2上,则-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,由截距式得直线l的方程为+y=1,即x+4y-4=0.
例4　[思路点拨] (1)易知点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0的同侧,求出点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(4,-2),则|PA|+|PB|的最小值为|BC|,即得结果.(2)首先建立平面直角坐标系,设点P的坐标为(t,0),分别求出点P关于直线BC与y轴的对称点P1,P2的坐标,进而求出直线P1P2的方程,再由A,B,C的坐标求出△ABC的重心的坐标,进而求出t的值,最后得到线段AP的长度.
(1)D　(2)　[解析] (1)易知点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0的同侧,设点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(a,b),则
解得∴C(4,-2).连接BC,则|PA|+|PB|的最小值为|BC|==2.故选D.
(2)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0.设P(t,0)(0变式题　(1)D　(2)9x-46y+102=0
[解析] (1)由题意得k=tan 135°=-1.设点(2,4)关于直线l:y=-x+1的对称点为(m,n),则
解得所以反射光线所在直线的方程为y=·(x-5)=(x-5).当x=13时,y=1;当x=14时,y=.所以反射光线还经过点(13,1)和.故选D.
(2)在直线m上取一点M(2,0),则点M(2,0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设M'(a,b),
则可得M'.设直线m与直线l的交点为N,由得N(4,3).因为直线m'经过点N(4,3),所以由两点式得直线m'的方程为9x-46y+102=0.
例5　[思路点拨] (1)思路一:由所求的直线与直线3x+2y-5=0垂直,设出直线的方程,再将点P(1,-2)的坐标代入直线方程,求出参数可得答案;思路二:先结合垂直关系求出直线斜率,然后根据点斜式即可得答案.(2)思路一:求出两直线的交点,根据平行关系设出直线方程,将交点坐标代入即可;思路二:设出过两直线的交点的直线系方程,根据所求直线与l3的位置关系结合斜率列方程求解即可.
(1)2x-3y-8=0　(2)x-y+4=0　[解析] (1)方法一:由题意,所求的直线与直线3x+2y-5=0垂直,可设所求直线的方程为2x-3y+m=0,又直线过点P(1,-2),则2×1+3×2+m=0,解得m=-8,所以过点P(1,-2)且与直线3x+2y-5=0垂直的直线方程是2x-3y-8=0.
方法二:因为直线3x+2y-5=0的斜率k=-,所以过点P(1,-2)且与直线3x+2y-5=0垂直的直线方程为y+2=(x-1),化简得2x-3y-8=0.
(2)方法一:由解得由平行关系可设直线l4的方程为x-y+c=0,其中c≠-1,将(-2,2)代入l4的方程可得c=4,∴直线l4的方程为x-y+4=0.
方法二:由题意可设直线l4的方程为(3x+4y-2)+λ(2x+y+2)=0,即(2λ+3)x+(4+λ)y-2+2λ=0①,因为直线l4与直线l3:x-y-1=0平行,所以-(2λ+3)=4+λ,解得λ=-,代入①式得直线l4的方程为-x+y-=0,化简得x-y+4=0.
变式题1　4x-3y+9=0　[解析] 方法一:由解得即直线2x+3y+1=0与x-3y+4=0的交点坐标为.因为直线l与直线3x+4y-7=0垂直,所以直线l的斜率k=,由点斜式得直线l的方程为y-=,即4x-3y+9=0.
方法二:由题可设直线l的方程为4x-3y+m=0,由解得代入4x-3y+m=0,可得m=9,故直线l的方程为4x-3y+9=0.
方法三:由题意可设直线l的方程为(2x+3y+1)+λ(x-3y+4)=0,即(2+λ)x+(3-3λ)y+1+4λ=0①,因为直线l与直线3x+4y-7=0垂直,所以3(2+λ)+4(3-3λ)=0,解得λ=2,代入①式得直线l的方程为4x-3y+9=0.
变式题2　C　[解析] 由图可知,原点到直线的距离为定值.对于A,原点到直线x+ysin θ-3=0的距离为,不是定值,故A错误;对于B,原点到直线xcos θ+y+3sin θ=0的距离为,不是定值,故B错误;对于C,原点到直线xcos θ+ysin θ-2=0的距离为=2,是定值,故C正确;对于D,原点到直线xcos θ+y-3=0的距离为,不是定值,故D错误.故选C.第50讲　两直线的位置关系
1.C　[解析] 由解得
即交点坐标为(1,0).故选C.
2.B　[解析] 因为直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,且l1⊥l2,所以1·a+1·b=0,所以a+b=0.故选B.
3.B　[解析] 方法一:设所求直线上任意一点为(x,y),则其关于点对称的点为,因为点在直线3x-2y=0上,所以3-2(-y)=0,化简得3x-2y-2=0,所以所求直线方程为3x-2y-2=0.
方法二:在直线3x-2y=0上任取两点O(0,0),M(2,3),设点O,M关于点的对称点分别为O',M',则O',M',所以所求直线方程为=,化简得3x-2y-2=0.
4.C　[解析] 方法一:由得所以交点坐标为(1,1),又因为直线平行于向量v=(3,2),所以所求直线的方程为y-1=(x-1),即2x-3y+1=0.故选C.
方法二:根据题意可设所求的直线方程为x+y-2+λ(x-y)=0,即(1+λ)x+(1-λ)y-2=0,因为此直线平行于向量v=(3,2),所以=,解得λ=-5,所以所求直线的方程为-4x+6y-2=0,即2x-3y+1=0.
5.AB　[解析] 若l1∥l2,则=≠,得m=-2,选项A正确;若l1⊥l2,则1×2-m=0,得m=2,选项B正确;若l1,l2在x轴上的截距相等,则-m=,解得m=-,选项C错误;当m=0时,l2的倾斜角为,恰好是l1的倾斜角的2倍,选项D错误.故选AB.
6.x=2或x+2y-4=0　[解析] 方法一:由解得即交点为P(2,1),由点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,得直线l过AB的中点或l∥AB.当直线l过AB的中点时,AB的中点为,则直线l:x=2;当直线l∥AB时,由AB的斜率k==-,得l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.故所求直线l的方程为x=2或x+2y-4=0.
方法二:设过点P的直线l的方程为2x-y-3+λ(x+y-3)=0,即(2+λ)x+(λ-1)y-3λ-3=0,因为点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,所以=,化简得|λ-4|=|2λ+1|,解得λ=-5或λ=1,故所求直线l的方程为x=2或x+2y-4=0.
7.　[解析] 由点到直线的距离公式得,点P到直线的距离d==,其中sin φ=,cos φ=,由三角函数的性质易知,5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],故d∈.
8.C　[解析] 设直线3x+4y+1=0的一个方向向量为b=,因为a=(3,4),所以a·b=3-3=0,即a=(3,4)与直线3x+4y+1=0的方向向量垂直,又点O到直线3x+4y+1=0的距离d==,故在a上的投影向量为-×=.故选C.
9.D　[解析] 由题意得,直线MN经过点P(2,0)关于y轴的对称点(-2,0),直线MN也经过点P(2,0)关于直线AB的对称点,设为(a,b),因为直线AB的斜率为=-,所以直线AB的方程为y=-x+11,所以
解得所以点P(2,0)关于直线AB的对称点为(10,16),所以直线MN过点(-2,0),(10,16),所以直线MN的斜率为=,所以直线MN的方程为y=(x+2),即4x-3y+8=0.故选D.
10.D　[解析] 如图,设l1与x轴交于点A,l2与y轴交于点D,l1与l2交于点C,则A(-3,0),D(0,1),直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形为四边形AODC.因为四边形AODC有外接圆,且∠AOD=90°,所以∠ACD=90°,即l1⊥l2,又l1的斜率为2,l2的斜率为k,所以2k=-1,即k=-.故选D.
11.D　[解析] 集合A={(x,y)|kx-y+k=0}是直线l1:kx-y+k=0上的点组成的集合,将kx-y+k=0变形,可得y=k(x+1),所以直线l1:kx-y+k=0过定点E(-1,0).集合B={(x,y)|y=kx-1}是直线l2:y=kx-1上的点组成的集合,直线l2:y=kx-1过定点F(0,-1).因为直线l1∥l2,所以线段MN长度的最小值d是平行线l1,l2间的距离,所以d的最大值为|EF|==.故选D.
12.ABD　[解析] 设点M到直线l的距离为d.根据题意,当d≤2时,该直线上存在点P,使|PM|=2,此时直线为点M(3,4)的“2域直线”.对于A,点M到直线4x-3y=0的距离为=0≤2,所以该直线是点M的“2域直线”;对于B,点M到直线y=2的距离为4-2=2,所以该直线是点M的“2域直线”;对于C,点M到直线x-4y=0的距离为=>2,所以该直线不是点M的“2域直线”;对于D,点M到直线x=5的距离为5-3=2,所以该直线是点M的“2域直线”.故选ABD.
13.　5　[解析] x-my+m-2=0可以化为m(1-y)+x-2=0,故直线l1恒过定点A(2,1),mx+y+2m-4=0可以化为y-4=-m(x+2),故直线l2恒过定点B(-2,4).因为1×m+(-m)×1=0,所以l1⊥l2,可得PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=(2+2)2+(1-4)2=25,又|PA|2+|PB|2=25≥2|PA|·|PB|,故|PA|·|PB|≤,当且仅当|PA|=|PB|时,等号成立.因为PA⊥PB,设∠PAB=θ,则θ为锐角,所以|PA|=5cos θ,|PB|=5sin θ,所以2|PA|+|PB|=5(2cos θ+sin θ)=5sin(θ+φ),其中tan φ=2,所以当sin(θ+φ)=1时,2|PA|+|PB|取得最大值5.
14.-1　[解析] 设点A关于直线x+y=3的对称点为A'(a,b),则线段AA'的中点坐标为,kAA'=,故解得
所求最短总路程即为点A'到军营的最短距离,故所求最短总路程为-1=-1.
15.B　[解析] 由两点间的距离公式得,F(x,y)=+
+
是点P(x,y)到点B(2,0),A(-1+,1-),C(0,2)的距离之和,F(x,y)的最小值即为点P(x,y)到点B(2,0),A(-1+,1-),C(0,2)的距离之和的最小值,取最小值时点P为△ABC的费马点,如图所示.|AB|=|AC|=2,|BC|=4,所以△ABC为等腰直角三角形,∠APB=∠APC=∠BPC=120°,延长AP交BC于M,则∠BPM=∠CPM=60°.在△APC与△APB中,=,=,又∠ACP,∠ABP均为锐角,|AC|=|AB|,所以∠ACP=∠ABP,则∠PAC=∠PAB=45°,所以∠ACP=∠ABP=180°-120°-45°=15°,则∠PCM=∠PBM=45°-15°=30°,所以∠CMP=∠BMP=90°,所以AM⊥BC,则|BP|=|CP|===,|PM|=|BP|sin 30°=,|AP|=|AM|-|PM|=2-,所以F(x,y)min=++2-=2+2.故选B.
16.ACD　[解析] 如图①,设过点O(0,0)的直线l与直线OB垂直,因为kOB=-1,所以直线l:y=x,易知64个点中有8个落在直线l:y=x上,剩余56个点中一半在直线l:y=x上方,一半在直线l:y=x下方,要使∠AOB为锐角,则点A应在直线l:y=x下方,其中满足要求的点有28个,故∠AOB是锐角的概率为=,A正确;如图②,过点B作直线m⊥OB,则点A落在直线m上时满足∠ABO为直角,因为kOB=-1,所以直线m的斜率为1,则直线m的方程为y+1=x-1,即y=x-2,落在直线y=x-2上的点有(3,1),(4,2),(5,3),(6,4),(7,5),(8,6),共6个,故∠ABO是直角的概率为=,B错误;如图③,要使△AOB为锐角三角形,则点A落在直线l:y=x与直线m:y=x-2之间,根据点的坐标特征知,点A应落在直线y=x-1上,满足要求的点A有(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),共7个,故△AOB是锐角三角形的概率为,C正确;如图④,直线OB的方程为x+y=0,|OB|==,设直线n:x+y+c=0,直线n与直线OB之间的距离为d,则d==,令|OB|·d=×·≤5,解得-10≤c≤10,故要使△AOB的面积不大于5,则点A在直线x+y-10=0上或在直线x+y-10=0的下方,故满足要求的点A有(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2),…,(2,8),(3,1),(3,2),…,(3,7),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(7,1),(7,2),(7,3),(8,1),(8,2),共8+8+7+6+5+4+3+2=43(个),故△AOB的面积不大于5的概率为,D正确.故选ACD.第50讲　两直线的位置关系
【课标要求】　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的位置关系
直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置关系如下表:
位置关系 l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件
平行 　　　 　　　 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1,B1C2-B2C1中至少有一个不为0
垂直 　　　 A1A2+B1B2=0
相交 　　　 A1B2-A2B1≠0
2.两条直线的交点
设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的　　　　就是方程组的解.
(1)若方程组有唯一解,则两条直线　　　,此解就是　　　　　　;
(2)若方程组无解,则两条直线　　　　,此时两条直线　　　　,反之,亦成立.
3.距离公式
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|=||= 　　　　　　　
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d=| ·n|=　　　　　(其中n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,P1为直线l上任意一点)
两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离 d=　　　　　
常用结论
1.点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
2.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
3.点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
4.点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).
5.点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).
6.点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k).
题组一　常识题
1.[教材改编] 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3),则△ABC是　　　　(填“锐角”“直角”“钝角”)三角形.
2.[教材改编] 已知点P(-1,2)到直线l:4x-3y+C=0的距离为1,则C=　　　　.
3.[教材改编] 经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为　　　　　　.
题组二　常错题
◆索引:忽略检验两条直线重合的情况;判断两条直线的位置关系时忽视斜率不存在的情况;求两条平行线间的距离时忽视两个直线方程的系数的对应关系.
4.若直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my+1=0平行,则实数m的值为　　　　.
5.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=　　　　.
6.两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为　　　　.
　两条直线的位置关系
例1 已知两直线l1:(m+3)x+5y=5-3m,l2:2x+(m+6)y=8,当m为何值时,l1与l2:(1)相交 (2)平行 (3)重合 (4)垂直


总结反思
(1)充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2),l1∥l2 k1=k2,l1⊥l2 k1·k2=-1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况.
(2)若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2 A1A2+B1B2=0;l1∥l2 A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1.
变式题 (1)已知m,n∈R,则“直线x+my-1=0与nx+y+1=0平行”是“mn=1”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知三条直线l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+ky=0将平面分为六个部分,则满足条件的k的值共有 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1个 B.2个
C.3个 D.无数个
(3)已知点A(2,3),B(3,1),直线x-2y+4=0与y轴相交于点C,则△ABC中AB边上的高CE所在直线的方程是　　　　　　　.
　两条直线的交点与距离问题
例2 (1)已知直线3x+my-3=0与6x+4y+1=0互相平行,则它们之间的距离是 (　 )
A.4 B.
C. D.
(2)在平面直角坐标系xOy中,点P(x,y)在直线x+2y-5=0上,当|OP|最小时,点P的坐标为　　　　.
总结反思
(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;
(2)运用两平行直线间的距离公式d=的前提是两直线方程中x,y的系数对应相等.
变式题 (1)点(0,-1)到直线y=k(x+1)的距离的最大值为 (　 )
A.1 B.
C. D.2
(2)过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点,且点P(0,4)到该直线的距离为2的直线方程为　　　　　　.
　对称问题
角度1　关于点对称
例3 (1)直线l:2x-3y+1=0关于点A(-1,-2)对称的直线m的方程为　　　　　　.
(2)过点P(0,1)的直线l与直线l1:2x+y-8=0和直线l2:x-3y+10=0分别交于A,B两点,若线段AB的中点为P,则直线l的方程为　　　　　　　.
角度2　关于线对称
例4 (1)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为 (　 )
A.5 B.
C.5 D.2
(2)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则线段AP的长度为　　　　.
总结反思
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解;(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解决,两点对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解.
变式题 (1)若光线自点(2,4)射入,经倾斜角为135°的直线l:y=kx+1反射后经过点(5,0),则反射光线还经过点 (　 )
A.(14,2) B.(14,1)
C.(13,2) D.(13,1)
(2)已知直线l:2x-3y+1=0,则直线m:3x-2y-6=0关于直线l对称的直线m'的方程为　　　　.
　直线系方程的应用
例5 (1)过点P(1,-2)且与直线3x+2y-5=0垂直的直线方程是　　　　　　.
(2)已知两条直线l1:3x+4y-2=0与l2:2x+y+2=0的交点为P,则过点P且平行于直线l3:x-y-1=0的直线l4的方程为　　　　　　 .
总结反思
直线系方程是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决有关平行、垂直或两直线交点问题时,利用直线系方程可以简化解题过程.
平行直线系方程:与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+m=0(m为参数,且m≠C).
垂直直线系方程:与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+m=0(m为参数).
过两直线交点的直线系方程:经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数,此直线不包括直线l2).
变式题1 经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线l的方程为　　　　　　.
变式题2 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图,在平面直角坐标系中,下列方程(其中θ为参数,θ∈R)表示的直线能形成这种效果的是 (　 )
A.x+ysin θ-3=0
B.xcos θ+y+3sin θ=0
C.xcos θ+ysin θ-2=0
D.xcos θ+y-3=0第50讲　两直线的位置关系
(时间:45分钟)
1.直线x-y-1=0与直线x+y-1=0的交点坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,1) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(-1,0)
2.已知直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若l1⊥l2,则a+b= (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.2
3.直线3x-2y=0关于点对称的直线方程为 (　 )
A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0
C.x-y=0 D.2x-3y-2=0
4.过直线x+y=2与x-y=0的交点,且平行于向量v=(3,2)的直线的方程为 (　 )
A.3x-2y-1=0
B.3x+2y-5=0
C.2x-3y+1=0
D.2x-3y-1=0
5.(多选题)已知直线l1:x-y+m=0,l2:2x+my-1=0,下列说法正确的有 (　 )
A.若l1∥l2,则m=-2
B.若l1⊥l2,则m=2
C.若l1,l2在x轴上的截距相等,则m=1
D.l2的倾斜角不可能是l1的倾斜角的2倍
6.已知直线m:2x-y-3=0与直线n:x+y-3=0的交点为P.若直线l过点P,且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等,则直线l的方程为　　　　　　.
7.点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为　　　　.
8.[2024·厦门二模] 在平面直角坐标系xOy中,点P在直线3x+4y+1=0上.若向量a=(3,4),则在a上的投影向量为 (　 )
A. B.
C. D.
9.如图,已知两点A(22,0),B(0,11),从点P(2,0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上,最后经直线OB上的点N反射后又回到点P,则直线MN的方程为 (　 )
A.4x-3y-6=0
B.4x+3y+8=0
C.3x-4y+6=0
D.4x-3y+8=0
10.[2024·泰州四调] 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1:y=2x+6,l2:y=kx+1(k<0).若直线l1,l2与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数k的值是 (　 )
A. B.1
C.2 D.-
11.[2024·南昌二中模拟] 在平面直角坐标系中,集合A={(x,y)|kx-y+k=0},集合B={(x,y)|y=kx-1},已知点M∈A,点N∈B,记d表示线段MN长度的最小值,则d的最大值为 (　 )
A.2 B.
C.1 D.
12.(多选题)已知M(3,4),若直线l上存在点P,使|PM|=2,则称该直线为点M的“2域直线”.下列直线中是点M的“2域直线”的是 (　 )
A.4x-3y=0 B.y=2
C.x-4y=0 D.x=5
13.已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my+m-2=0和过定点B的动直线l2:mx+y+2m-4=0交于点P(P与A,B不重合),则|PA|·|PB|的最大值为　　　　;2|PA|+|PB|的最大值为　　　　.
14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x2+y2≤1,若将军从点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为　　　　.
15.费马点是指三角形内到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当三角形的三个内角均小于120°时,费马点与三个顶点的连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质,F(x,y)=
++
的最小值为 (　 )
A.4 B.2+2
C.3+2 D.4+2
16.(多选题)[2024·日照一模] 从标有1,2,3,…,8的8张卡片中有放回地抽取两次,每次抽取一张,依次得到数字a,b,记点A(a,b),B(1,-1),O(0,0),则 (　 )
A.∠AOB是锐角的概率为
B.∠ABO是直角的概率为
C.△AOB是锐角三角形的概率为
D.△AOB的面积不大于5的概率为(共95张PPT)
第50讲 两直线的位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求
两条平行直线间的距离.
◆ 知识聚焦 ◆
1.两条直线的位置关系
直线,, ,
的位置关系如下表：
位置关 系 , 满足的条件 , 满足的条件
平行 ________________ 且 ，
中至少有一个不为0
垂直 ____________
相交 ________
且
2.两条直线的交点
设, ,则两条直线的
__________就是方程组 的解.
交点坐标
（1）若方程组有唯一解,则两条直线______,此解就是____________;
（2）若方程组无解,则两条直线__________,此时两条直线______,反
之,亦成立.
相交
交点的坐标
无公共点
平行
3.距离公式
点 ， 之间的距离
_______________________
点 到直线 的 距离 ___________（其中 是与
直线的方向向量垂直的单位向量, 为直线
上任意一点）
两条平行线 与 间的 距离 _ ______
常用结论
1.点关于原点的对称点为.
2.点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为.
3.点关于直线的对称点为,关于直线的对称点
为.
4.点关于直线的对称点为,关于直线的对
称点为.
5.点关于点的对称点为 .
6.点关于直线的对称点为 ,关于直线
的对称点为 .
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 已知,,，则 是______
（填“锐角”“直角”“钝角”）三角形.
直角
[解析] 因为边所在直线的斜率，边 所在直线的斜率
，且，所以，所以 是直角三角形.
2.［教材改编］ 已知点到直线 的距离为1，
则 _______.
15或5
[解析] 点到直线 的距离为1，
即，即，故或 .
3.［教材改编］ 经过两条直线和 的交
点且平行于直线 的直线方程为________________.
[解析] 由 解得
所以两条直线的交点坐标为 ，又直线的斜率为，
故所求直线方程为 ，即 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽略检验两条直线重合的情况;判断两条直线的位置关系
时忽视斜率不存在的情况;求两条平行线间的距离时忽视两个直线方
程的系数的对应关系.
4.若直线与 平行，
则实数 的值为__.
[解析] 方法一：因为直线 与
平行，
所以两直线的斜率相等或斜率均不存在，
所以或，即或.
当 时，与重合，不符合题意，所以 .
方法二:因为 ,所以解得 .
5.若直线 与
垂直,则 ______.
0或1
[解析] 当或 时,两直线不垂直，不符合题意;
当且时,由,
得 或 .
6.两条平行直线与 之间的距离为_ _.
[解析] 依题意得,可变形为 ,
所以两条平行直线之间的距离为 .
探究点一 两条直线的位置关系
例1 已知两直线 ,
，当为何值时，与 （1）相交
解：当时，直线的方程为，
的方程为，显然两直线相交；
当时，由 ，解得，.
综上，当且时，直线与 相交.
［思路点拨］ 判断两直线的位置关系，
关键是判断两直线斜率之间的关系.
解：由（1）知，当时，直线与相交.
当 时，由，解得（舍去）
或 ，所以当时，直线与 平行.
（2）平行？
解： 由，得，
所以当时，直线 与 重合.
（3）重合？
（4）垂直？
解： 由，得，
所以当 时，直线与 垂直.
[总结反思]
（1）充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键,
对于斜率都存在且不重合的两条直线（斜率为）和（斜率为
）,,.解题时一定要特别注
意直线的斜率不存在的情况.
（2）若,,则
;且.
变式题（1）已知,,则“直线与
平行”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若直线与直线平行,
则 , ，所以,所以,
且， ，充分性成立.
当,时,,
但直线 与 重合,必要性不成立.故选A.
√
（2）已知三条直线，，
将平面分为六个部分，则满足条件的 的值共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
[解析] 当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
由解得将代入 中，
得，解得.
当与 平行时，三条直线可将平面分为
六个部分，此时 ；当与 平行时，
三条直线可将平面分为六个部分，此时.
综上，满足条件的 的值共有3个.故选C.
√
（3）已知点，，直线与轴相交于点 ，
则中边上的高 所在直线的方程是______________.
[解析] 直线与轴的交点为，点， ，
则直线的斜率，所以边上的高 所在直线的斜
率为,所以高所在直线的方程为 .
探究点二 两条直线的交点与距离问题
例2（1）已知直线与 互相平行，则
它们之间的距离是( )
A.4 B. C. D.
［思路点拨］直线过定点 ，计算定点到直线
的距离即可.
[解析] 直线过定点，则直线
到直线的距离即为点到直线 的
距离，故所求距离 .故选D.
√
（2）在平面直角坐标系中，点在直线 上，
当最小时，点 的坐标为______.
［思路点拨］求出过原点且与已知直线垂直的直线方程，与已知方
程联立求解即可.
[解析] 当垂直于直线时， 取得最小值，
此时，则所在直线的方程为.
由 解得即 .
[总结反思]
（1）点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线
方程应为一般式;
（2）运用两平行直线间的距离公式的前提是两直线方程
中,的系数对应相等.
[解析] 由,可得直线过定点,易知当点 与
的连线与直线 垂直时,所求距离最大,所以点
到直线的距离的最大值为 .故
选B.
变式题（1）点到直线 的距离的最大值为( )
A.1 B. C. D.2
√
（2）过直线与直线 的交点，
且点 到该直线的距离为2的直线方程为______________________.
或
[解析] 由得与的交点为 .
当所求直线的斜率不存在时，其方程为，
点 到该直线的距离为1，不满足题意， 所求直线的斜率存在.
设所求直线的方程为，即，
点 到所求直线的距离为2，，解得或，
所求直线方程为或 .
探究点三 对称问题
角度1 关于点对称
例3（1）直线关于点对称的直线 的方
程为________________.
［思路点拨］设出直线关于点对称的直线上的点，再根据点关于点
对称的关系求解.
[解析] 设直线关于点对称的直线 上的任意一点为
，则关于点 的对称点为，
在直线上，
则 ，
可得直线的方程为 .
（2）过点的直线与直线 和直线
分别交于，两点，若线段的中点为 ,则直
线 的方程为______________.
［思路点拨］设出点的坐标，根据中点坐标公式求出 点坐标，代入
直线的方程中，解方程求得点坐标，利用截距式求出直线 的方程.
[解析] 设,由题意知,点关于点的对称点
在直线上,则,解得,即点 在直线
上,由截距式得直线的方程为,即 .
角度2 关于线对称
例4（1）已知两定点，，动点在直线
上，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
［思路点拨］易知点，在直线 的同侧，
求出点关于直线的对称点为，则
的最小值为 ，即得结果.
√
[解析] 易知点，在直线的同侧，
设点 关于直线的对称点为，
则 解得.
连接，则 的最小值为
.故选D.
（2）在等腰直角三角形中,,点 是
边上异于,的一点.光线从点出发,经, 反射
后又回到点（如图）.若光线经过 的重心,
则线段 的长度为__.
［思路点拨］首先建立平面直角坐标系,设点的坐标为 ,
分别求出点关于直线与轴的对称点,的坐标,
进而求出直线 的方程,再由,,的坐标求出的重心的坐标,
进而求出 的值,最后得到线段 的长度.
[解析] 以为坐标原点,所在直线为 轴, 所在直线
为 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知
,, ,则直线的方程为 .
设,可得点关于直线 的对称点
的坐标为,点关于 轴的对称点的坐标为.
根据反射定律可知, 连线所在直线就是光线所在的直线.
由,两点的坐标可得直线 的方程为.
设的重心为,易知,因为重心 在光线上,
所以,可得,即 .
[总结反思]
对称问题的求解策略
（1）解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数
关系求解；（2）中心对称问题可以利用中点坐标公式解决，两点对
称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解.
变式题（1）若光线自点射入,经倾斜角为 的直线
反射后经过点 ,则反射光线还经过点( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得.
设点关于直线 的对称点为,
则 解得
所以反射光线所在直线的方程为.
当时,;当时, .
所以反射光线还经过点和 .故选D.
（2）已知直线,则直线 关于直
线对称的直线 的方程为___________________.
[解析] 在直线上取一点,
则点关于直线的对称点 必在直线上.
设 ,则可得.
设直线与直线 的交点为,由得.
因为直线经过点 ,
所以由两点式得直线的方程为 .
探究点四 直线系方程的应用
例5（1）过点且与直线 垂直的直线方程是
________________.
［思路点拨］思路一：由所求的直线与直线 垂直,设
出直线的方程,再将点 的坐标代入直线方程,求出参数可得答案；
[解析] 方法一：由题意，所求的直线与直线 垂直，
可设所求直线的方程为，又直线过点 ，
则，解得，所以过点 且与
直线垂直的直线方程是 .
[解析] 方法二：因为直线的斜率 ，
所以过点且与直线 垂直的直线方程为
，化简得 .
［思路点拨］思路二：先结合垂直关系求出直线斜率，
然后根据点斜式即可得答案.
（2）已知两条直线与 的交点
为，则过点且平行于直线的直线 的方程为
_____________ .
［思路点拨］思路一：求出两直线的交点，
根据平行关系设出直线方程，将交点坐标代入即可；
[解析] 方法一：由解得
由平行关系可设直线的方程为，其中,
将代入 的方程可得， 直线的方程为 .
[解析] 方法二:由题意可设直线 的方程为
,
即,
因为直线 与直线平行,
所以 ,解得 ,
代入①式得直线的方程为,化简得 .
［思路点拨］思路二：设出过两直线的交点的直线系方程，
根据所求直线与 的位置关系结合斜率列方程求解即可.
[总结反思]
直线系方程是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决有关平行、
垂直或两直线交点问题时，利用直线系方程可以简化解题过程.
平行直线系方程:与直线平行的直线系方程为
为参数，且.
垂直直线系方程：与直线垂直的直线系方程为
（为参数）.
过两直线交点的直线系方程：经过两直线,
的交点的直线系方程为
为参数，此直线不包括
直线.
变式题1 经过两条直线和 的交点,并
且垂直于直线的直线 的方程为________________.
[解析] 方法一:由解得
即直线与的交点坐标为.
因为直线 与直线垂直,所以直线的斜率,
由点斜式得直线 的方程为,即 .
方法二:由题可设直线的方程为 ,
由解得代入,
可得 ,故直线的方程为 .
方法三:由题意可设直线的方程为 ,
即,
因为直线 与直线垂直,
所以,解得 ,
代入①式得直线的方程为 .
变式题2 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体
育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平
面直角坐标系中，下列方程（其中 为参数，
）表示的直线能形成这种效果的是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由图可知，原点到直线的距离为定值.
对于A，原点到直线 的距离为
，不是定值，故A错误；
对于B，原点到直线 的
距离为 ，不是定值，故B错误；
对于C，原点 到直线 的距离为 ，
是定值，故C正确；
对于D，原点到直线的距离为 ，
不是定值，故D错误.故选C.
【备选理由】例1考查两条直线位置关系的应用;
例1 ［配例1使用］ 已知，两点分别在直线 和
上，且线段的中点为，则线段 的长为____.
10
[解析] 由已知得直线和的斜率分别为 ，
，， 两条直线互相垂直，
线段 为直角三角形（为坐标原点）的斜边，
又为斜边的中点， 由直角三角形的性质得 .
例2 ［配例1使用］ 已知， ，直线
，，且 ，则
的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.
√
【备选理由】例2考查两条直线位置关系的应用;
[解析] 因为，，直线 ，
，且，
所以，即 ，所以 ，
所以，当且仅当，即, 时取等号，所以的最小值为 .故选D.
例3 ［配例4使用］ 若点在直线 上的射影
是点,则直线关于直线 对称
的直线 的方程为_____________.
【备选理由】例3考查对称问题的应用;
[解析] 由已知得解得
则直线 的方程为.
设直线上任意一点关于直线 的对称点
为,可得解得
又点在直线上,所以,
故直线 的方程为 .
例4 ［补充使用］ （多选题）设直线系
，下列说法中正确的有
( )
A. 中的所有直线均经过一个定点
B.存在定点不在 中的任一条直线上
C.对于任意整数，存在正边形，其所有边均在 中的直线上
D. 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
√
√
【备选理由】例4考查直线系问题，综合性较强.
[解析] 由题知，点 到直线 的距离
，即 为圆 的全体切线组
成的集合，从而中存在平行的直线，故A错误；
点 不在中的任一条直线上，故B正确；
对于任意整数，存在正 边形使其内切圆为圆，故C正确；
如图， 中的直线能围成两种大小
不同的正三角形，故D错误.故选 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.直线与直线 的交点坐标为( )
A. B. C. D.
[解析] 由解得 即交点坐标为 .故选C.
√
2.已知直线,，若，则
( )
A. B.0 C.1 D.2
[解析] 因为直线,，且 ，
所以，所以 .故选B.
√
3.直线关于点 对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：设所求直线上任意一点为，则其关于点
对称的点为，因为点在直线 上，
所以，化简得 ，
所以所求直线方程为 .
方法二：在直线上任取两点，，设点，
关于点的对称点分别为，，则， ，
所以所求直线方程为，化简得 .
4.过直线与的交点，且平行于向量 的直
线的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 方法一：由得所以交点坐标为 ，
又因为直线平行于向量 ，所以所求直线的方程为
，即 .故选C.
方法二:根据题意可设所求的直线方程为 ,
即，
因为此直线平行于向量 ,所以,解得,
所以所求直线的方程为 ,即 .
5.（多选题）已知直线, ,下列说
法正确的有( )
A.若,则
B.若,则
C.若,在轴上的截距相等,则
D.的倾斜角不可能是 的倾斜角的2倍
√
√
[解析] 若,则,得,选项A正确;
若 ,则,得,选项B正确;
若,在 轴上的截距相等,则,解得,选项C错误;
当时,的倾斜角为,恰好是 的倾斜角的2倍,选项D错误.故选 .
6.已知直线与直线的交点为 .若
直线过点，且点和点到直线的距离相等，则直线 的
方程为_____________________.
或
[解析] 方法一：由解得即交点为 ，
由点和点到直线的距离相等,得直线过 的中点或.
当直线过的中点时，的中点为，则直线 ；
当直线时,由的斜率,
得 的方程为，即.
故所求直线的方程为 或 .
方法二：设过点的直线的方程为 ，
即，
因为点和点 到直线的距离相等，
所以 ，
化简得，解得或，
故所求直线 的方程为或 .
7.点到直线 的距离的取值范围为
_ ______.
[解析] 由点到直线的距离公式得，点 到直线的距离
,其中, ,
由三角函数的性质易知,,故 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·厦门二模]在平面直角坐标系中，点 在直线
上.若向量，则在 上的投影向量为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 设直线的一个方向向量为 ，
因为，所以，
即 与直线的方向向量垂直，
又点到直线 的距离，
故在上的投影向量为 .故选C.
√
9.如图，已知两点，，从点 射出的光线经直线
上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点 反射后
又回到点，则直线 的方程为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意得，直线经过点关于轴
的对称点 ，直线也经过点关于直
线的对称点，设为 ，
因为直线的斜率为，
所以直线的方程为 ，
所以 解得
所以点关于直线的对称点为 ，
所以直线过点，，
所以直线的斜率为 ，
所以直线的方程为，即 .故选D.
10.[2024·泰州四调]在平面直角坐标系 中，已知直线
，.若直线， 与两坐标轴围成
的四边形有外接圆，则实数 的值是( )
A. B.1 C.2 D.
√
[解析] 如图，设与轴交于点，与 轴交于
点，与交于点，则， ，
直线,与两坐标轴围成的四边形为四边形 .
因为四边形有外接圆，且 ，
所以 ，即，
又的斜率为2， 的斜率为，所以，即 .故选D.
11.[2024·南昌二中模拟]在平面直角坐标系中，集合
，集合 ，已知点
，点，记表示线段长度的最小值，则 的最大值为
( )
A.2 B. C.1 D.
√
[解析] 集合是直线 上
的点组成的集合，将变形，可得 ，
所以直线过定点.
集合 是直线上的点组成的集合，
直线 过定点.
因为直线,所以线段长度的最小值是平行线 ,间的距离，
所以的最大值为 . 故选D.
12.（多选题）已知，若直线上存在点，使 ，则称
该直线为点的“2域直线”.下列直线中是点 的“2域直线”的是
( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 设点到直线的距离为.根据题意，当 时，
该直线上存在点，使，此时直线为点 的“2域直线”.
对于A，点到直线的距离为，
所以该直线是点 的“2域直线”；
对于B，点到直线的距离为 ，
所以该直线是点的“2域直线”；
对于C，点到直线 的距离为，
所以该直线不是点的“2域直线”；
对于D，点 到直线的距离为，
所以该直线是点 的“2域直线”.故选 .
13.已知，若过定点的动直线 和过定点
的动直线交于点与，不重合 ，则
的最大值为_ __； 的最大值为_____.
[解析] 可以化为 ，
故直线恒过定点， 可以化为
，故直线恒过定点 .
因为，所以,可得 ,
所以 ,
又，故 ，
当且仅当时，等号成立.
因为，设,则 为锐角，
所以, ，
所以,其中 ，
所以当时,取得最大值 .
14.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”
问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后
再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设
军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所
在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到
军营，则“将军饮马”的最短总路程为_________.
[解析] 设点关于直线的对称点为，
则线段 的中点坐标为，，
故解得
所求最短总路程即为点 到军营的最短距离，
故所求最短总路程为 .
◆ 能力拓展 ◆
15.费马点是指三角形内到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当三
角形的三个内角均小于 时，费马点与三个顶点的连线正好三等
分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为
.根据以上性质， 的最小值为( )
A.4 B. C. D.
√
[解析] 由两点间的距离公式得，是点到
点 ，， 的距离之和，
的最小值即为点到点，
，的距离之和的最小值，
取最小值时点为 的费马点，如图所示.
， ，
所以 为等腰直角三角形，
，
延长 交于，则 .
在与中， ，，
又， 均为锐角，，
所以 ，则 ,
所以 ，
则，
所以 ，所以 ，
则 ，
， ，
所以 .故选B.
16.（多选题）[2024·日照一模] 从标有1，2，3， ，8的8张卡片中
有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字， ，记点
，， ，则( )
A.是锐角的概率为
B.是直角的概率为
C.是锐角三角形的概率为
D.的面积不大于5的概率为
√
√
√
[解析] 如图①,设过点的直线与直线垂直，
因为 ，所以直线，
易知64个点中有8个落在直线 上，
剩余56个点中一半在直线上方，
一半在直线 下方，
要使为锐角，则点应在直线 下方，
其中满足要求的点有28个，故是锐角的概率为，A正确；
如图②,过点 作直线，
则点落在直线上时满足为直角，
因为 ，所以直线的斜率为1，
则直线的方程为 ，即，
落在直线上的点有,,,,
, ，共6个，故是直角的概率为 ，B错误；
如图③,要使为锐角三角形，
则点落在直线与直线 之间，
根据点的坐标特征知，
点应落在直线 上，满足要求的点有
,,,,,,，共7个，
故 是锐角三角形的概率为，C正确；
如图④,直线 的方程为，
，设直线，
直线 与直线之间的距离为，则 ，
令，解得，
故要使 的面积不大于5，
则点在直线上或在直线 的下方，
故满足要求的点有,,,,
,, , ,,,,,
,,,,,, ,
,,,,,,,
,,,, , ，
共（个），
故 的面积不大于5的概率为，D正确.故选 .
【知识聚焦】
1.k1=k2且b1≠b2　k1·k2=-1 k1≠k2 2.交点坐标　(1)相交　交点的坐标
(2)无公共点　平行 3.　
【对点演练】
1.直角　2.15或5　3.4x-3y-6=0　4.　5.0或1　6.
课堂考点探究
例1(1)当m≠-1且m≠-8时,直线l1与l2相交. (2)当m=-8时,直线l1与l2平行.
(3)当m=-1时,直线l1与l2重合.(4)当m=-时,直线l1与l2垂直. 变式题(1)A　(2)C
(3)x-2y+4=0　例2(1)D　(2)(1,2) 变式题(1)B　(2)y=2或4x-3y+2=0 例3(1)2x-3y-9=0　
(2)x+4y-4=0 例4(1)D　(2) 变式题(1)D　(2)9x-46y+102=0 例5(1)2x-3y-8=0　
(2)x-y+4=0变式题1　4x-3y+9=0　变式题2　C
教师备用习题
例1 10 例2 D 例3 例4 BC
基础热身
1.C　2.B　3.B　4.C　5.AB 6. x=2或x+2y-4=0 7.
综合提升
8.C 9.D 10.D 11.D 12. ABD 13. 　5 14. -1
能力拓展
15.B 16.ACD

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