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第52讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.<　=　>　>　=　<
2.d>R+r　d=R+r　R-rd=R-r　d【对点演练】
1.相交　[解析] 圆心(0,0)到直线y=x+1,即直线x-y+1=0的距离d==<1,所以直线与圆相交.
2.　[解析] 方法一:由
消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,所以直线l与圆C相交,有两个公共点.设两个公共点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),把x1=1,x2=2分别代入3x+y-6=0,得y1=3,y2=0,所以直线l与圆C的两个公共点分别为A(1,3),B(2,0),则|AB|==.
方法二:圆C:x2+y2-2y-4=0的圆心为C(0,1),半径r=,因为圆心C到直线l:3x+y-6=0的距离d==,所以直线l被圆C截得的弦长为2×=.
3.x+y-3=0　[解析] ∵点A(,)是圆x2+y2=r2上的一点,∴()2+()2=r2,即r2=9.圆x2+y2=9的圆心为O(0,0),直线OA的斜率kOA==,∵直线OA与过点A的圆的切线垂直,∴过点A的圆的切线的斜率是-=-,∴过点A的圆的切线方程是y-=-(x-),即x+y-3=0.
4.x-y+2=0　[解析] 由x2+y2-4=0,x2+y2-4x+4y-12=0两式相减得4x-4y+8=0,即x-y+2=0,故公共弦所在直线的方程为x-y+2=0.
5.±4 或 ±2　[解析] 两圆的圆心距d=,由两圆相切(外切或内切),得=5+1或=5-1,解得a=±4或a=±2.
6.x=3或5x+12y-39=0　[解析] 由题意知P在圆外.当切线的斜率不存在时,切线方程为x=3,满足题意;当切线的斜率存在时,设斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y+2-3k=0,所以=3,解得k=-,所以切线方程为5x+12y-39=0.综上,切线方程为x=3或5x+12y-39=0.
● 课堂考点探究
例1　[思路点拨] (1)由圆心到直线的距离即可得直线l与圆C的位置关系.先找出到直线l的距离为1的点的轨迹,再判断圆C上到直线l的距离为1的点的个数.(2)首先求出点A关于直线y=a的对称点A'的坐标,即可得到直线l的方程,根据圆心到直线l的距离小于或等于半径得到不等式,从而得解.
(1)BD　(2)　[解析] (1)圆C的圆心为C(1,-1),半径r=2,则圆心C(1,-1)到直线l:x+y-=0的距离d==1<2,所以直线l与圆C相交,故选项A错误,选项B正确.到直线l的距离为1的点的轨迹是与直线l平行且与直线l的距离为1的两条平行直线,设到直线l的距离为1的直线的方程为x+y+c=0,则=1,解得c=0或c=-2.当c=0时,到直线l的距离为1的直线的方程为x+y=0,此直线过圆心C(1,-1),所以此直线与圆C有两个交点;当c=-2时,到直线l的距离为1的直线的方程为x+y-2=0,圆心C(1,-1)到此直线的距离d1==2=r,所以此直线与圆C相切,则此直线与圆C有一个交点.综上,圆C上到直线l的距离为1的点共有3个,故选项C错误,选项D正确.故选BD.
(2)由题意知直线l过点B.点A(-2,3)关于直线y=a的对称点为A'(-2,2a-3),所以直线l的方程为y=x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.由题意知,圆心C(-3,-2)到直线l的距离d=≤1,整理得6a2-11a+3≤0,解得≤a≤,故a的取值范围为.
变式题　(1)B　(2)ABD　[解析] (1)根据题意可知,圆M的标准方程为(x-1)2+y2=1,∴圆心为M(1,0),半径为1.∵对直线l上任意一点P,在圆M上存在点Q,使得·=0,∴直线l与圆M相切或相离,∴≥1,解得-≤k≤.故选B.
(2)对于A,∵点A在圆C上,∴a2+b2=r2,∴圆心C(0,0)到直线l的距离d==r,∴直线l与圆C相切,A正确;对于B,∵点A在圆C内,∴a2+b2r,∴直线l与圆C相离,B正确;对于C,∵点A在圆C外,∴a2+b2>r2,∴圆心C(0,0)到直线l的距离d=例2　[思路点拨] (1)求出直线l所过定点P的坐标,并判断点P与圆C的位置关系,进而确定|AB|最小时直线AB与直线CP的位置关系,即可得结果.(2)计算出圆心到直线的距离,利用勾股定理可得出关于m的方程,即可解得m的值.
(1)A　(2)2　[解析] (1)mx-y-3m+1=0可化为m(x-3)-y+1=0,∴直线l恒过点P(3,1).∵(3-1)2+(1-2)2=5<25,∴点P在圆C内部.当圆心C(1,2)与点P的连线与直线AB垂直时,所得弦长最短,即|AB|最小.由|CP|=,圆C的半径为5,得|AB|的最小值为2×=4.故选A.
(2)圆(x-1)2+(y-1)2=3的圆心坐标为(1,1),半径为,则圆心到直线x-y+m=0(m>0)的距离为=<.由勾股定理可得+=3,因为m>0,所以m=2,符合题意.
变式题　(1)0或　(2)2
[解析] (1)由(x-1)2+(y-1)2=4可知圆心为C(1,1),半径为2.设直线与圆交于A,B两点,连接AC,BC,∵直线y=k(x+1)截圆C:(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,∴∠ACB=120°,∴圆心到直线的距离为半径的一半,∴=1,解得k=0或k=.
(2)因为点M(3,1)在圆C:(x-1)2+(y+1)2=r2内,所以(3-1)2+(1+1)20,可得r>2.当过点M的直线被圆C截得的弦长最短时,该直线垂直于点M与圆心C的连线,即圆心到直线的距离为|CM|.因为C(1,-1),M(3,1),所以|CM|=2,由8=2=2,可得r=2.
例3　[思路点拨] (1)分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论,利用圆心到切线的距离等于半径,求解即可.(2)思路一:设圆心为C,切点分别为A,B,求出|PC|,在Rt△PAC中,求出|PA|,进而得到sin∠APC与cos∠APC,结合∠APB=2∠APC得到sin∠APB,cos∠APB,得出α与∠APB的关系,即可求得sin α;思路二:设圆心为C,切点分别为A,B,求出|PC|,进而得到|PA|,|PB|,在△APB与△ACB中,根据余弦定理及∠ACB=π-∠APB得到cos∠APB,从而得到α与∠APB的关系,即可求得sin α;思路三:判断切线的斜率存在,设切线方程为y=kx-2,根据直线与圆相切得到关于k的方程,设两切线的斜率分别为k1,k2,根据根与系数的关系及tan α与k1,k2的关系,结合α∈(0,π),即可求得sin α.
(1)x=0或3x+4y=0　(2)B
[解析] (1)圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为C(2,1),半径r=2.当切线的斜率不存在时,易知切线方程是x=0,满足题意;当切线的斜率存在时,设斜率为k,则切线的方程为y=kx,所以=2,解得k=-,所以切线方程为3x+4y=0.故所求直线的方程为x=0或3x+4y=0.
(2)方法一:由x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得圆心为C(2,0),半径r=,过点P(0,-2)作圆C的切线,设切点分别为A,B,连接PC,AC.因为|PC|==2,所以|PA|==,可得sin∠APC==,cos∠APC==,则sin∠APB=sin 2∠APC=
2sin∠APCcos∠APC=2××=,cos∠APB=cos 2∠APC=
cos2∠APC-sin2∠APC=-=-<0,即∠APB为钝角,所以sin α=sin(π-∠APB)=sin∠APB=.
方法二:圆x2+y2-4x-1=0的圆心为C(2,0),半径r=,过点P(0,-2)作圆C的切线,设切点分别为A,B,如图,连接AB,PC,AC,BC,可得|PC|==2,则|PA|=|PB|==.因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB=|CA|2+|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB且∠ACB=π-∠APB,所以3+3-6cos∠APB=5+5-10cos(π-∠APB),即3-3cos∠APB=5+5cos∠APB,解得cos∠APB=-<0,即∠APB为钝角,则cos α=cos(π-∠APB)=-cos∠APB=,且α为锐角,所以sin α==.
方法三:圆x2+y2-4x-1=0的圆心为C(2,0),半径r=.若切线斜率不存在,则切线方程为x=0,则圆心到切线的距离d=20.设两切线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=-8,k1k2=1,可得|k1-k2|==2,所以tan α==,即=,可得cos α=,则sin2α+cos2α=sin2α+=1,因为α∈(0,π),所以sin α>0,故sin α=.故选B.
变式题　(1)B　(2)C
[解析] (1)如图,当PA和PB均与圆C相切时,∠APB最大,要使圆C上存在两点A,B使得∠APB=,则∠APC≥,
∴|PC|≤=2,
即≤2,解得-1≤x0≤3.故选B.
(2)方法一:由题意知圆C:x2+(y-2)2=16的圆心C(0,2)在直线ax+by-12=0上,所以2b-12=0,解得b=6.设点P(t,-6),则|PC|2=t2+(-6-2)2=t2+64,故以PC为直径的圆的方程为+(y+2)2=(t2+64),与方程x2+(y-2)2=16相减可得直线MN的方程为-tx+8y=0,故直线MN恒过定点Q(0,0).故选C.
方法二:由题意知圆C:x2+(y-2)2=16的圆心C(0,2)在直线ax+by-12=0上,所以2b-12=0,解得b=6.设点P(t,-6),因为圆C:x2+y2-4y-12=0,所以直线MN的方程为tx-6y-4×-12=0,即tx-8y=0,故直线MN恒过定点Q(0,0).故选C.
例4　[思路点拨] (1)设P(x0,y0),用x0表示y0,确定切线长|PM|的表达式,再根据二次函数求最值的方法求解即可.(2)当x0=3时,可确定y0,进而在Rt△PAO中求|PA|;根据四边形OAPB的面积为|PO|·|AB|=|OA|·|PA|+|OB|·|PB|,得到|PO|·|AB|=2,则要使|PO|·| AB|最小,只需|PO|最小,此时PO与直线x-y-2=0垂直,进而得解.
(1)A　(2)3　1　[解析] (1)圆O:x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2.设P(x0,y0),则2x0+y0=10,即y0=10-2x0,则|PM|==
==
≥=4(当且仅当x0=4时等号成立).故选A.
(2)当x0=3时,y0=1,即P(3,1),所以|PO|==,则|PA|==3.如图,易知PO⊥AB,PA⊥OA,PB⊥OB,所以=|PO|·|AB|=|OA|·|PA|+|OB|·|PB|=|OA|·|PA|=|PA|,所以|PO|·|AB|=2|PA|=
2=2,当OP垂直于直线x-y-2=0时,|PO|取得最小值,最小值为=,此时|PO|·|AB|取得最小值2,且点P的坐标为(1,-1),即x0=1.
变式题　(1)BD　(2)D　[解析] (1)圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1恒过定点O(0,0),直线l:y=kx也恒过定点O(0,0),故B正确;圆心M(-cos θ,sin θ)到直线l的距离d==≤1(α为辅助角),则直线与圆相切或相交,故对任意实数k,必存在实数θ,使得直线与圆相交,对任意实数k,必存在实数θ,使得直线与圆相切,故D正确,A,C错误.故选BD.
(2)设P(x0,y0),则=2x0,圆C的圆心为C(4,0),半径r=1.连接AC,BC,由PA,PB分别与圆C相切于点A,B,得PC⊥AB,PA⊥AC,则|AB|·|PC|=2S四边形PACB=4S△PAC=2|PA|·|AC|=2=2=2=2≥2,当且仅当x0=3时取等号,所以|AB|·|PC|的最小值为2,故选D.
例5　[思路点拨] 根据两点间的距离公式,得出两圆的圆心距,从而判断A选项;分圆O与圆C内切和外切两种情况计算a的值,从而判断B选项;根据圆O与圆C恰有两条公切线得到两圆相交,列式计算a的取值范围,从而判断C选项;当圆O的圆心在两圆的公共弦上时,公共弦长有最大值,从而判断D选项.
AD　[解析] 根据题意,可得圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,圆C:(x-a)2+(y-1)2=4的圆心为C(a,1),半径R=2.对于A,两圆的圆心距|OC|=≥1,故A正确.对于B,当两圆内切时,圆心距|OC|=R-r=1,即=1,解得a=0;当两圆外切时,圆心距|OC|=R+r=3,即=3,解得a=±2.综上所述,若圆O与圆C相切,则a=0或a=±2,故B不正确.对于C,若圆O与圆C恰有两条公切线,则两圆相交,故圆心距|OC|∈(R-r,R+r),即∈(1,3),即1<<3,解得-2变式题　(1)BD　(2)3x+4y-5=0(或x=-1或7x-24y-25=0)
[解析] (1)由已知得圆C1的圆心为C1(0,0),半径r1=3,圆C2的圆心为C2(3,4),半径r2=4,|C1C2|==5,则r2-r1<|C1C2|(2)方法一:如图,由图易知x=-1为公切线CD的方程.设切点B(cos θ,sin θ),则由A(3,4)可知cos θ=,sin θ=,所以B,又kOA=,所以过点B的公切线的斜率为-,所以过点B的公切线的方程为y-=-,即3x+4y-5=0.由可得C,设公切线CE的方程为y+=k(x+1),即3kx-3y+3k-4=0,由=1,解得k=,所以公切线CE的方程为7x-24y-25=0.
方法二:显然公切线的斜率不为0,设公切线的方程为x+by+c=0,则=1,=4,故c2=1+b2①,|3+4b+c|=|4c|,所以3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c,再结合①可得或或所以公切线有三条,其方程分别为x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0(填一个即可).第52讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.C　[解析] 将两圆的一般方程化为标准方程得C1:(x-2)2+(y+1)2=9,C2:(x+2)2+(y-2)2=4,可知圆心为C1(2,-1),C2(-2,2),圆C1的半径r1=3,圆C2的半径r2=2.因为|C1C2|==5=r1+r2,所以两圆外切.故选C.
2.C　[解析] 因为直线mx-y+m+=0与圆x2+y2=4相切,所以由圆心到直线的距离等于半径得=2,解得m=.故选C.
3.A　[解析] 由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=<1<,故直线l与圆C相交.故选A.
4.C　[解析] 圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0的圆心为C2(3,4),半径r2=4,则|C1C2|==5=r1+r2,故两圆外切,则两圆公切线的条数为3.故选C.
5.CD　[解析] 易知直线y=kx+1恒过点P(0,1),圆C:(x-2)2+y2=9的圆心为C(2,0),半径r=3.当直线经过圆心时,|AB|最大,|AB|max=2r=6;连接PC,当直线与PC所在直线垂直时,|AB|最小,|AB|min=2=2×=4.所以4≤|AB|≤6.故选CD.
6.y=x+2或y=x-2　[解析] 因为切线的一个方向向量为(1,),所以切线的斜率为,故可设切线方程为y=x+b.因为直线y=x+b与圆x2+y2=1相切,圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1,圆心(0,0)到直线y=x+b的距离为=,所以=1,所以b=2或b=-2,所以与圆x2+y2=1相切且一个方向向量为(1,)的直线的方程为y=x+2或y=x-2.
7.
[解析] 由题得=k(x+3)-1,作出曲线y=与直线y=k(x+3)-1,如图所示,则原问题转化为当直线与曲线有两个不同的交点时,求实数k的取值范围.直线y=k(x+3)-1过定点(-3,-1).当直线与半圆相切时,圆心O到直线的距离d=2,即=2,解得k=(舍去)或k=;当直线过点(-2,0)时,可得直线的斜率k==1.故实数k的取值范围为.
8.C　[解析] 圆x2+y2=2的圆心坐标为(0,0),半径为,直线mx-y+1=0(m∈R)过圆内的定点(0,1),斜率可正可负可为0,A,B,D选项都有可能,C选项不可能.故选C.
9.B　[解析] 圆心坐标为(2,2),半径为2.因为l将该圆分成的两段弧长之比为2∶1,所以两段弧所对的圆心角分别为和,由几何性质可知,圆心到l的距离为1,设l的方程为y=kx,则=1,解得k=.故选B.
10.D　[解析] 圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),由题意得|PO|2=|PA|2+|OA|2=1+1=2,所以a2+b2=2.令a=cos θ,b=sin θ,θ∈[0,2π),则a+2b=cos θ+2sin θ=sin(θ+φ),其中tan φ=,所以a+2b的最大值为.故选D.
11.ACD　[解析] 因为12+12+a+a-2a-4=-2<0,所以P(1,1)在圆M内,所以过点P的任意直线与圆M都相交,故A选项正确.圆M的圆心为M,半径r=,点M到直线x+y+2=0的距离为,因为圆M与直线x+y+2=0无交点,所以>r=,即>,所以|-a+2|>,两边平方得a2-4a+4>a2+4a+8,解得a<-,故B选项错误.圆M的半径r=,当a=-2时,圆M的半径最小,则面积最小,此时圆心为M(1,1),半径r=,圆Q:x2+y2+6x-10y+16=0的圆心为Q(-3,5),半径R==3,可得|MQ|==4=R+r=3+,所以当圆M的面积最小时,圆M与圆Q外切,圆M与圆Q有三条公切线,故C选项正确.圆M的半径r==≥,则2r≥2,所以无论a为何值,圆M都有弦长为2的弦.|MP|==,r=,当弦长为2时,圆心M到弦所在直线的距离d====,所以d=|MP|,所以MP垂直平分弦, 所以无论a为何值,圆M都有弦长为2的弦,且被点P平分,故D选项正确.故选ACD.
12.[0,8+4]
[解析] 以AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-2,0),B(2,0),点P在☉O:x2+y2=4上.设M(x,y),则=×,化简得x2+y2-12x+4=0,即(x-6)2+y2=32,所以点M的轨迹是以Q(6,0)为圆心,4为半径的圆.因为4-2<|OQ|=6<4+2,所以☉O与☉Q的位置关系是相交,所以|PM|的取值范围是[0,8+4].
13.3　[解析] 圆M:(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4,当∠PBA最小时,如图所示,PB与圆M相切.连接MP,BM,则PM⊥PB,又|BM|==,|MP|=4,所以由勾股定理得|PB|==3,所以当∠PBA最小时,|PB|=3.
14.解:(1)两圆方程相减得x-2y+4=0,故公共弦AB所在直线的方程为x-2y+4=0.因为圆C1的圆心为C1(-1,-1),半径r1=,圆心C1到直线AB的距离d==,所以|AB|=2=2.
(2)圆C2的圆心为C2(1,-5),过点C1,C2的直线方程为=,即2x+y+3=0.由得故所求圆的圆心为(-3,3),点(-3,3)到直线AB的距离为=,则所求圆的半径为=,所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.
(3)经过A,B两点且面积最小的圆就是以AB为直径的圆,由
得故所求圆的圆心为(-2,1),又|AB|=2,所以所求圆的半径为,故所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.
15.解:(1)由题意得O(0,0),x2+y2-2x-2y=0可化为(x-1)2+(y-1)2=2,故E(1,1),圆E的半径为.
由(0-1)2+(0-1)2=2,知O(0,0)在圆E上,又圆O与圆E内切,故r>,所以|OE|=r-=,解得r=2.
将y=kx+1与x2+y2=8联立得(1+k2)x2+2kx-7=0,
Δ=4k2+28(1+k2)>0恒成立.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,
故y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-+1=,
由·=x1x2+y1y2=+=-7,解得k=±1.
(2)当直线AB的斜率不存在时,直线CD的斜率也不存在,
此时|AB|=|CD|,λ==1.
当直线AB或直线CD的斜率为0时,不满足倾斜角互补.
当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB:y-1=k(x-1),圆心O到直线AB的距离d=,
故|AB|=2=2=2.
直线CD的方程为y-1=-k(x-1),
故|CD|=2=
2,则λ====
==
.
当k>0时,λ=≤=,当且仅当7k=,即k=1时,等号成立,且λ>1;
当k<0时,λ=≥=,当且仅当-7k=-,即k=-1时,等号成立,且λ<1.综上,λmax=.
16.D　[解析] 取线段AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,则·(+)=2·=2(+)·=2||2.直线l经过点M(0,4),考虑临界情况.当线段AB的中点D与点M重合时(此时CM⊥AB),弦AB的长最小,此时CD最长,且|CD|=|CM|=4-3=1,但此时直线l与x轴平行,点P不存在;当线段AB的中点D与点C重合时,点P与原点O重合,此时CD最短,为0,符合题意.故·(+)的取值范围为[0,2).故选D.
17.①②④　[解析] 对于①,当m=时,S=∪,对于(x-2)2+=1,令y=0,解得x=2±,对于(x-2)2+=1,令y=0,解得x=2±,画出S表示的区域,如图甲所示,所以S∩{(x,y)|y=0}=,所以①正确.对于②,当m=+1时,S=∪=,画出S表示的区域,如图乙所示.圆(x-2)2+=1的圆心为,半径为1,作出直线y=x,即直线x-2y=0,因为点到直线x-2y=0的距离为=1,所以圆(x-2)2+=1与直线y=x相切,又T=,P=S∩T,所以P中有1个元素,所以②正确.对于③,当m=0时,S={(x,y)|(x-2)2+y2=1,y≥0},画出S表示的区域与直线y=x,如图丙所示,半圆的圆心为(2,0),半径为1,点(2,0)到直线x-2y=0的距离为<1,故半圆与直线y=相交,此时P中有2个元素,所以③错误.对于④,若|m|≥1,则S={(x,y)|(x-2)2+(y-m)2=1,y≥0}∪{(x,y)|(x-2)2+(y+m)2=1,y≥0}={(x,y)|(x-2)2+(y-|m|)2=1},此时直线y=x与圆(x-2)2+(y-|m|)2=1至多有2个公共点,不符合题意.若m=0,则由③的分析可知P中有2个元素.综上所述,若P中有4个元素,则m无整数解,所以④正确.故填①②④.第52讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
【课标要求】　1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
位置关系 相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ　　　0 Δ　　　0 Δ　　　0
几何观点 d　　　r d　　　r d　　　r
2.圆与圆的位置关系
设圆O1,圆O2的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形
数量的 关系 　　 　　 　　 　　 　　
公切线 条数 4 3 2 1 0
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2.
(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,联立直线与圆的方程,消去y,得关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系,得到xM+xN,xMxN,则|MN|=·.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论
(1)圆(x-a)2+(y-b)2=r2在点P(x0,y0)处的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.特别地,圆x2+y2=r2在点P(x0,y0)处的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外一点P(x0,y0)向圆作切线,经过两个切点的直线方程为x0x+y0y+D·+E·+F=0.
特别地,过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
2.圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0②,则公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1),其中不含圆C2的方程,所以注意检验圆C2的方程是否满足题意,以防丢解.
题组一　常识题
1.[教材改编] 直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为　　　　.
2.[教材改编] 已知直线l:3x+y-6=0与圆C:x2+y2-2y-4=0,则直线l被圆C截得的弦长为　　　　.
3.[教材改编] 已知点A(,)是圆x2+y2=r2上的一点,则过点A的圆的切线方程是　　　　　　　.
4.[教材改编] 圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为　　　　　　.
题组二　常错题
◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视直线斜率不存在的情形.
5.若圆x2+y2=1与圆(x-2)2+(y-a)2=25相切,则a=　　　　　　.
6.已知圆C:x2+y2=9,过点P(3,2)作圆C的切线,则切线方程为　　　　　　　　.
　直线与圆的位置关系
例1 (1)(多选题)已知直线l:x+y-=0与圆C:(x-1)2+(y+1)2=4,则 (　 )
A.直线l与圆C相离
B.直线l与圆C相交
C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个
D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个
(2)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为　　　　.
总结反思
判断直线与圆的位置关系的常用方法:
(1)若易求出圆心到直线的距离d,则用几何法,利用d与半径r的大小关系判断.
(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.
变式题 (1)已知直线l:y=kx-k+2和圆M:x2+y2-2x=0满足对直线l上任意一点P,在圆M上存在点Q,使得·=0,则实数k的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.k≥
B.-≤k≤
C.k≥2
D.-2≤k≤2
(2)(多选题)已知直线l:ax+by-r2=0(r>0)与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 (　 )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
　圆的弦长与切线问题
角度1　圆的弦长
例2 (1)已知直线l:mx-y-3m+1=0恒过点P,过点P作直线与圆C:(x-1)2+(y-2)2=25相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 (　 )
A.4 B.2
C.4 D.2
(2)[2022·天津卷] 若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=　　　　.
总结反思
直线被圆截得的弦长的求法:
(1)几何法.利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+,整理出弦长公式为l=2.
(2)代数法.若直线与圆的交点坐标易求出,则求出交点坐标后,直接用两点间的距离公式计算弦长.
(3)弦长公式法.设直线l:y=kx+b与圆的交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得到弦长l=|x1-x2|=.
变式题 (1)已知直线y=k(x+1)截圆C:(x-1)2+(y-1)2=4所得两段圆弧的弧长之比为1∶2,则k=　　　　.
(2)已知点M(3,1)在圆C:(x-1)2+(y+1)2=r2(r>0)内,过点M的直线被圆C截得的弦长的最小值为8,则r=　　　　.
角度2　圆的切线方程
例3 (1)已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4,则过原点且与圆C相切的直线方程为　　　　　　　　.
(2)[2023·新课标Ⅰ卷] 过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= (　 )
A.1 B.
C. D.
总结反思
求圆的切线方程时常用的两种方法:
(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.
(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数,解决问题.
变式题 (1)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2和点P(x0,0),若圆C上存在两点A,B使得∠APB=,则实数x0的取值范围是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.[-3,1] B.[-1,3]
C.[-2,3] D.[-2,4]
(2)已知圆C:x2+(y-2)2=16关于直线ax+by-12=0对称,动点P在直线y+b=0上,过点P引圆C的两条切线PM,PN,切点分别为M,N,若直线MN恒过定点Q,则点Q的坐标为 (　 )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(0,0) D.(0,12)
角度3　与圆的切线有关的最值问题
例4 (1)已知圆O:x2+y2=4,过直线l:2x+y=10上的一点P作圆O的一条切线,设切点为M,则|PM|的最小值为 (　 )
A.4 B.5
C. D.2
(2)过直线x-y-2=0上一点P(x0,y0)作两条直线,与圆O:x2+y2=1分别相切于A,B两点,当x0=3时,切线长|PA|=　　　　;当|PO|·|AB|最小时,x0的值为　　　　.
总结反思
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题,解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,再利用求函数的取值范围(或最值)的方法求得结果.
变式题 (1)(多选题)已知圆M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直线l:y=kx,下列说法中正确的是 (　 )
A.对任意实数k和θ,直线和圆相切
B.对任意实数k和θ,直线和圆有公共点
C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线与圆相离
D.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线与圆相切
(2)[2024·江西景德镇三模] 过抛物线y2=2x上的一点P作圆C:(x-4)2+y2=1的切线,切点分别为A,B,则|AB|·|PC|可能的取值是 (　 )
A.1 B.4
C. D.5
　圆与圆的位置关系
例5 (多选题)已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-a)2+(y-1)2=4,a∈R,则 (　 )
A.两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B.若圆O与圆C相切,则a=±2
C.若圆O与圆C恰有两条公切线,则-2D.若圆O与圆C相交,则公共弦长的最大值为2
总结反思
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.
(3)求两圆公共弦长时,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.
变式题 (1)(多选题)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是 (　 )
A.C1与C2的公切线恰有4条
B.C1与C2公共弦所在直线的方程为3x+4y-9=0
C.C1与C2公共弦的弦长为
D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12
(2)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　　. 第52讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
1.圆C1:x2+y2-4x+2y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-4y+4=0的位置关系为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
2.直线mx-y+m+=0与圆x2+y2=4相切,则m的值为 (　 )
A. B.1
C. D.-
3.直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是 (　 )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
4.[2024·石家庄三模] 已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y+9=0,则两圆公切线的条数为 (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.(多选题)若直线y=kx+1与圆C:(x-2)2+y2=9相交于A,B两点,则|AB|的值可能为 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
6.[2024·杭州二模] 与圆x2+y2=1相切且一个方向向量为(1,)的直线的方程为　　　　　　　　　　.
7.已知关于x的方程2+=k(x+3)+1有两个不同的实数根,则实数k的取值范围为　　　　　　.
8.[2024·南通模拟] 在同一平面直角坐标系中,直线mx-y+1=0(m∈R)与圆x2+y2=2的位置不可能为 (　 )
9. 过坐标原点的直线l与圆(x-2)2+(y-2)2=4相交,且将该圆分成的两段弧长之比为2∶1,则l的斜率为 (　 )
A.4± B.
C.或 D.或
10.[2024·浙江绍兴二模] 过点P(a,b)作圆x2+y2=1的切线PA,A为切点,若|PA|=1,则a+2b的最大值是 (　 )
A. B.
C. D.
11.(多选题)已知圆M的方程为x2+y2+ax+ay-2a-4=0(a∈R),点P(1,1),给出以下结论,其中正确的有 (　 )
A.过点P的任意直线与圆M都相交
B.若圆M与直线x+y+2=0无交点,则a∈
C.当圆M的面积最小时,圆M与圆Q:x2+y2+6x-10y+16=0有三条公切线
D.无论a为何值,圆M都有弦长为2的弦,且被点P平分
12.已知|AB|=4,点P是以线段AB为直径的圆上任意一点,动点M到点A的距离是它到点B的距离的倍,则|PM|的取值范围为　　　　.
13.已知点P在圆M:(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则当∠PBA最小时,|PB|=　　　　.
14.已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0相交于A,B两点.
(1)求公共弦AB的长;
(2)求圆心在直线y=-x上,且过A,B两点的圆的方程;
(3)求经过A,B两点且面积最小的圆的方程.
15.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与圆E:x2+y2-2x-2y=0内切.
(1)直线l:y=kx+1与圆O交于M,N两点,若·=-7,求k的值;
(2)过点E作倾斜角互补的两条直线分别与圆O相交,所得的弦为AB和CD,若|AB|=λ|CD|,求实数λ的最大值.
16.[2024·河北唐山二模] 已知圆C:x2+(y-3)2=4,过点M(0,4)的直线l与x轴交于点P,与圆C交于A,B两点,则·(+)的取值范围是 (　 )
A.[0,1] B.[0,1)
C.[0,2] D.[0,2)
17.已知S={(x,y)|(x-2)2+(y-m)2=1,y≥0}∪{(x,y)|(x-2)2+(y+m)2=1,y≥0},T=,P=S∩T,则下列结论中正确的是　　　　.(填序号)
①当m=时,S∩{(x,y)|y=0}=;
②当m=+1时,P中有1个元素;
③若P中有2个元素,则m∈∪;
④若P中有4个元素,则m无整数解.(共120张PPT)
第52讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
◆ 知识聚焦 ◆
1.直线与圆的位置关系
设圆的半径为，圆心到直线的距离为 ，则直线与圆的位
置关系可用下表表示：
位置关系 相离 相切 相交
图形 ________________________________________ ______________________________________ ___________________________________
量化 方程观点 几何观点
2.圆与圆的位置关系
设圆，圆的半径分别为，，两圆圆心间的距离为 ，
则两圆的位置关系可用下表表示：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形 ___________________________________ ______________________________ ______________________________ _____________________________ _____________________________
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
数量 的关 系 __________ _________ __________ __________ ________ ________
公切 线条 数 4 3 2 1 0
续表
3.直线被圆截得的弦长
（1）几何法：弦心距、半径和弦长 的一半构成直角三角形，
弦长 .
（2）代数法：设直线与圆 相
交于点，，联立直线与圆的方程，消去，得关于 的一元二次
方程，根据根与系数的关系，得到， ，则
.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论
（1）圆在点处的切线方程为
.特别地，圆在
点处的切线方程为.
（2）经过圆外一点向圆作切线，
经过两个切点的直线方程为.
特别地，过圆外一点作圆的两条切线，则两切
点所在直线方程为.
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时公共弦的方程
设圆 ，圆
，则公共弦所在直线的方程可
由得到，即 .
（2）两个圆系方程
①过直线与圆 交点的圆
系方程为 ；
②过圆 和圆
交点的圆系方程为 ，
其中不含圆的方程，所以注意检验圆 的方程是否满足题意，
以防丢解.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 直线与圆 的位置关系为______.
相交
[解析] 圆心到直线，
即直线 的距离 ,所以直线与圆相交.
2.［教材改编］ 已知直线 与圆
,则直线被圆 截得的弦长为_____.
[解析] 方法一：由 消去,得,
解得,,所以直线与圆 相交,有两个公共点.
设两个公共点分别为,,
把, 分别代入,得,,
所以直线与圆 的两个公共点分别为,,
则 .
方法二：圆的圆心为,半径 ,
因为圆心到直线的距离,
所以直线被圆 截得的弦长为 .
3.［教材改编］ 已知点是圆 上的一点，则过
点 的圆的切线方程是__________________.
[解析] 点是圆 上的一点，
，即.
圆的圆心为 ，直线的斜率，
直线与过点 的圆的切线垂直，过点的圆的切线的斜率
是，过点 的圆的切线方程是,
即 .
4.［教材改编］ 圆与圆 的公
共弦所在直线的方程为_____________.
[解析] 由,
两式相减得,即 ,
故公共弦所在直线的方程为 .
题组二 常错题
◆ 索引：忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视直线斜率不存在的情形.
5.若圆与圆相切,则 ________
_______.
或
[解析] 两圆的圆心距 ,由两圆相切（外切或内切）,
得或,解得或 .
6.已知圆,过点作圆 的切线,则切线方程为_____
____________________.
或
[解析] 由题意知在圆外.当切线的斜率不存在时,
切线方程为 , 满足题意;
当切线的斜率存在时,设斜率为 ,则切线方程为,
即,所以 ,解得,
所以切线方程为.
综上,切线方程为 或 .
探究点一 直线与圆的位置关系
例1（1）（多选题）已知直线 与圆
,则( )
A.直线与圆 相离
B.直线与圆 相交
C.圆上到直线 的距离为1的点共有2个
D.圆上到直线 的距离为1的点共有3个
√
√
［思路点拨］由圆心到直线的距离即可得直线与圆 的位置关系.
先找出到直线的距离为1的点的轨迹，
再判断圆上到直线 的距离为1的点的个数.
[解析] 圆的圆心为,半径,
则圆心 到直线的距离,
所以直线与圆 相交,故选项A错误,选项B正确.
到直线的距离为1的点的轨迹是与直线 平行且与直线的距离为1的
两条平行直线,设到直线 的距离为1的直线的方程为,
则,解得或 .
当时,到直线的距离为1的直线的方程为 ,
此直线过圆心,所以此直线与圆有两个交点;
当时,到直线 的距离为1的直线的方程为,
圆心 到此直线的距离,
所以此直线与圆相切,则此直线与圆 有一个交点.
综上,圆上到直线 的距离为1的点共有3个,
故选项C错误,选项D正确.故选 .
（2）[2022·新高考全国Ⅱ卷] 设点，,直线 关于直
线的对称直线为，已知与圆 有公
共点，则 的取值范围为_ _____.
[解析] 由题意知直线过点.
点关于直线 的对称点为,
所以直线的方程为 ,即.
由题意知，圆心到直线 的距离,
整理得,解得 ，故的取值范围为 .
［思路点拨］首先求出点关于直线的对称点 的坐标,即可得
到直线的方程,根据圆心到直线 的距离小于或等于半径得到不等式,
从而得解.
[总结反思]
判断直线与圆的位置关系的常用方法:
（1）若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用与半径的大小
关系判断.
（2）若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用
代数法,联立方程后利用 判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.
变式题（1）已知直线和圆 满
足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得 ，则
实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意可知，圆的标准方程为，
圆心为，半径为
对直线上任意一点,在圆上存在点 ,使得，
直线与圆相切或相离, ,解得 .故选B.
√
（2）（多选题）已知直线 与圆
,点 ,则下列说法正确的是( )
A.若点在圆上,则直线与圆 相切
B.若点在圆内，则直线与圆 相离
C.若点在圆外，则直线与圆 相离
D.若点在直线上，则直线与圆 相切
√
√
√
[解析] 对于A, 点在圆上，, 圆心到
直线 的距离， 直线与圆相切，A正确；
对于B， 点 在圆内，, 圆心到直线
的距离， 直线与圆相离,B正确；
对于C， 点在圆 外，, 圆心到直线
的距离， 直线与圆相交,C错误；
对于D， 点在直线上， , 圆心到直线
的距离， 直线与圆 相切,D正确.故选 .
探究点二 圆的弦长与切线问题
角度1 圆的弦长
例2（1）已知直线恒过点，过点 作直线
与圆相交于，两点，则 的最小值
为( )
A. B.2 C.4 D.
√
［思路点拨］求出直线所过定点的坐标，并判断点与圆 的位置关
系，进而确定最小时直线与直线 的位置关系，即可得结果.
[解析] 可化为，
直线 恒过点
， 点在圆 内部.
当圆心与点的连线与直线垂直时，
所得弦长最短，即 最小.
由，圆的半径为5，
得 的最小值为 .故选A.
（2）[2022·天津卷] 若直线 与圆
相交所得的弦长为，则 ___.
2
[解析] 圆的圆心坐标为，半径为 ，
则圆心到直线的距离为 .
由勾股定理可得,因为,所以 ,符合题意.
［思路点拨］计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于
的方程，即可解得 的值.
[总结反思]
直线被圆截得的弦长的求法:
（1）几何法.利用圆的半径,圆心到直线的距离,弦长之间的关系
,整理出弦长公式为.
（2）代数法.若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标后，直
接用两点间的距离公式计算弦长.
（3）弦长公式法.设直线与圆的交点为,,
将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长
.
变式题（1）已知直线截圆
所得两段圆弧的弧长之比为,则 _ ____.
0或
[解析] 由可知圆心为 ,半径为2.
设直线与圆交于,两点,连接，，
直线 截圆所得两段圆弧的
弧长之比为 , , 圆心到直线的距离为半径的一半,
,解得或 .
（2）已知点在圆 内，过点
的直线被圆截得的弦长的最小值为8，则 _____.
[解析] 因为点在圆 内，
所以，又，可得.
当过点 的直线被圆截得的弦长最短时，
该直线垂直于点与圆心 的连线，即圆心到直线的距离为.
因为，，所以 ，
由，可得 .
角度2 圆的切线方程
例3（1）已知圆，则过原点且与圆 相切
的直线方程为___________________.
或
[解析] 圆的圆心为，半径 .
当切线的斜率不存在时，易知切线方程是 ，满足题意；
当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线的方程为，
所以 ，解得，所以切线方程为 .
故所求直线的方程为或 .
［思路点拨］分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论,利用圆心到
切线的距离等于半径,求解即可.
（2）[2023· 新课标Ⅰ卷]过点与圆 相切的
两条直线的夹角为 ，则 ( )
A.1 B. C. D.
√
［思路点拨］思路一：设圆心为 ，切点分别为，，求出，
在中，求出 ，进而得到与 ，
结合得到， ，
得出 与的关系，即可求得 ；
[解析] 方法一：由，即 ，
可得圆心为，半径，过点作圆 的切线，
设切点分别为,，连接，.
因为 ，所以，
可得 ,，
则 ，
，即 为钝角，
所以 .
［思路点拨］思路二：设圆心为，切点分别为，，
求出 ，进而得到，，
在与 中，根据余弦定理及得
到 ，从而得到 与的关系，即可求得 ；
[解析] 方法二：圆 的圆心为，半径，
过点作圆 的切线，设切点分别为,，
如图，连接， ，，，
可得 ，
则 .
因为 且 ，所以
，
即，
解得，即 为钝角，
则，且 为锐角，
所以 .
［思路点拨］ 思路三：判断切线的斜率存在，
设切线方程为，根据直线与圆相切得到关于 的方程，
设两切线的斜率分别为， ，根据根与系数的关系及
与， 的关系，结合，即可求得 .
[解析] 方法三：圆 的圆心为，半径 .
若切线斜率不存在，则切线方程为 ，则圆心到切线的距离
， 不合题意，故切线的斜率存在.
设切线方程为 ，即，则 ，
整理得 ，且.
设两切线的斜率分别为 ,，则, ，
可得 ，
所以，即 ，
可得 ，则 ，
因为，所以 ，故 .故选B.
[总结反思]
求圆的切线方程时常用的两种方法:
（1）代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数或,令
一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.
（2）几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等
于半径,求出相关参数,解决问题.
变式题（1）已知圆和点，若圆
上存在两点，使得，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 如图,当和均与圆 相切时,最大,
要使圆上存在两点， 使得，
则 ， ，
即 ，解得 .故选B.
√
（2）已知圆关于直线 对称，
动点在直线上，过点引圆的两条切线， ，切点
分别为，，若直线恒过定点，则点 的坐标为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 方法一：由题意知圆的圆心
在直线上，所以,解得.
设点 ，则，
故以 为直径的圆的方程为，
与方程 相减可得直线的方程为，
故直线恒过定点 .故选C.
方法二:由题意知圆的圆心 在直线
上,所以,解得.
设点 ,因为圆，
所以直线 的方程为，
即,故直线 恒过定点 .故选C.
角度3 与圆的切线有关的最值问题
例4（1）已知圆，过直线上的一点
作圆的一条切线，设切点为，则 的最小值为( )
A.4 B.5 C. D.
√
［思路点拨］设，用表示，确定切线长 的表达式,
再根据二次函数求最值的方法求解即可.
[解析] 圆的圆心为，半径.
设 ，则，即，
则
（当且仅当 时等号成立）.故选A.
（2）过直线上一点 作两条直线，与圆
分别相切于,两点,当时,切线长 ___;当
最小时, 的值为___.
3
1
［思路点拨］当时，可确定 ，进而在中求；
根据四边形 的面积为 ，
得到,则要使 最小,只需最小,
此时 与直线 垂直，进而得解.
[解析] 当时,,即 ,所以
,则.
如图,易知 , ,,
所以,所以
,当 垂直于直线时, 取得最小值，
最小值为,此时取得最小值2,
且点 的坐标为,即 .
涉及与圆的切线有关的线段长度范围（或最值）问题,解题关键是能够
把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,再
利用求函数的取值范围（或最值）的方法求得结果.
[总结反思]
变式题（1）（多选题）已知圆 ，
直线 ，下列说法中正确的是( )
A.对任意实数和 ，直线和圆相切
B.对任意实数和 ，直线和圆有公共点
C.对任意实数，必存在实数 ，使得直线与圆相离
D.对任意实数，必存在实数 ，使得直线与圆相切
√
√
[解析] 圆恒过定点 ，
直线也恒过定点，故B正确；
圆心到直线 的距离
（ 为辅助角），
则直线与圆相切或相交，故对任意实数，必存在实数 ，
使得直线与圆相交，对任意实数，必存在实数 ，
使得直线与圆相切，故D正确，A，C错误.故选 .
（2）[2024·江西景德镇三模]过抛物线上的一点 作圆
的切线，切点分别为，，则 可能
的取值是( )
A.1 B.4 C. D.5
√
[解析] 设，则，圆的圆心为，半径 .
连接，，
由,分别与圆相切于点,，得 ,，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为 ，故选D.
探究点三 圆与圆的位置关系
例5 （多选题）已知圆 ，圆
， ，则( )
A.两圆的圆心距 的最小值为1
B.若圆与圆相切，则
C.若圆与圆恰有两条公切线，则
D.若圆与圆 相交，则公共弦长的最大值为2
√
√
［思路点拨］ 根据两点间的距离公式，
得出两圆的圆心距，从而判断A选项；
分圆与圆内切和外切两种情况计算 的值，从而判断B选项；
根据圆与圆恰有两条公切线得到两圆相交，
列式计算 的取值范围，从而判断C选项；
当圆 的圆心在两圆的公共弦上时，
公共弦长有最大值，从而判断D选项.
[解析] 根据题意,可得圆的圆心为 ,半径,
圆的圆心为,半径 .
对于A，两圆的圆心距 ，故A正确.
对于B，当两圆内切时，圆心距，
即，解得 ；
当两圆外切时，圆心距，
即 ，解得.
综上所述，若圆与圆相切，则或 ，故B不正确.
对于C，若圆与圆 恰有两条公切线，则两圆相交，
故圆心距，即，
即 ，解得或，故C不正确.
对于D，若圆与圆 相交，
则当圆的圆心 在公共弦上时，
公共弦长取到最大值，此时公共弦长为，故D正确.故选 .
[总结反思]
（1）处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的
和或差的大小关系判断,一般不采用代数法.
（2）若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差
消去,项得到.
（3）求两圆公共弦长时,常选其中一圆,由弦心距,半弦长,半径构
成直角三角形,利用勾股定理求解.
变式题（1）（多选题）已知圆 与圆
，下列说法正确的是( )
A.与 的公切线恰有4条
B.与公共弦所在直线的方程为
C.与公共弦的弦长为
D.若，分别是圆，上的动点，则
√
√
[解析] 由已知得圆的圆心为，半径，
圆 的圆心为，半径，
,则，
故两圆相交，所以与 的公切线恰有2条，故A错误.
两圆的方程相减得与 公共弦所在直线的方程为，
故B正确.
点到直线 的距离为，
故公共弦的弦长为，故C错误.
若， 分别是圆，上的动点，
则 ，故D正确.故选 .
（2）[2022·新高考全国Ⅰ卷] 写出与圆 和
都相切的一条直线的方程_______________
_________________________________.
（或或）
[解析] 方法一：如图，由图易知 为公切线的方程.
设切点 ,则由可知,
，所以，又,
所以过点 的公切线的斜率为，
所以过点 的公切线的方程为,即 .
由可得,设公切线 的方程为 ,
即,由 ,解得,
所以公切线 的方程为 .
方法二：显然公切线的斜率不为0,设公切线的方程为
,则, ,故 ①，
，所以 或 ，
再结合①可得或或 所以公切线有三条，
其方程分别为， ，
（填一个即可）.
【备选理由】例1考查圆的弦长的最值问题;
例1 ［配例2使用］ （多选题）[2024·浙江名校一联] 已知圆
，直线
，则下列说法正确的是
( )
A.直线恒过定点
B.当直线被圆截得的弦最长时，
C.当直线被圆截得的弦最短时，
D.当直线被圆截得的弦最短时，弦长为
√
√
√
[解析] 直线的方程可化为 ，
由解得所以直线恒过定点 ，故A正确；
当直线过圆心时，直线被圆 截得的弦最长，
此时，解得 ，故B正确；
设点,当直线时，直线被圆截得的弦最短，
此时直线 的斜率，，
由 ，解得，故C正确；
由C选项知，当直线被圆 截得的弦最短时，
圆心到直线的距离，
设直线与圆 的两个交点为,,又圆的半径 ，
所以 ，
所以此时的弦长是，故D不正确.故选 .
例2 ［配例4使用］ [2024·广东湛江一模] 已知点 为直线
上的动点，过作圆 的两条切线，切点
分别为，，若点为圆 上的动点，则点
到直线 的距离的最大值为___.
7
【备选理由】例2考查与圆的切线有关的最值问题;
[解析] 设,, ，
则,, ,
易知圆的圆心为，半径 ，
圆的圆心为 ，
半径，连接， ，如图所示.
易知,，所以 ，
即，整理可得 ，
同理可得，故点, 的坐标均满足
方程 ，
可得直线 的方程为 ，
又，故 ，
令 解得
即当, 时，等式与 无关，
所以直线恒过定点，连接 ，
可得.
当 ，且点为的延长线与圆的交点时，
点 到直线的距离最大，最大值为 .
例3 ［配例4使用］ （多选题）[2024·湖南衡阳二模] 已知圆
,是直线上一动点，过点作直线 ,
分别与圆相切于点, ，则( )
A.圆上恰有一个点到的距离为
B.直线恒过定点
C.的最小值是
D.四边形面积的最小值为
√
√
√
【备选理由】例3考查与圆的切线有关的多角度问题，综合性较强;
[解析] 易知圆心为，半径 ，如图所示.
对于A，圆心 到直线的距离
，可得圆上的点到直线 的距离的
最小值为,
圆上的点到直线 的距离的最大值为，
所以圆 上恰有两个点到的距离为，故A错误；
对于B，设, , ，
可得, ，
易知, ，
由 ，
整理可得 ，同理可得，
可知, 两点均在直线上，
所以直线 的方程为 ，即，
令 解 得所以直线恒过定点 ，故B正确 ；
对于C，由直线恒过定点 知，
当点与圆心的连线垂直于 时，
的值最小，点与圆心 之间
的距离 ，所以 ，故C正确；
对于D，四边形 的面积为，连接 ，
根据切线长公式可知，
当 最小时，最小， ，所以，
故四边形 面积的最小值为，故D正确.故选 .
例4 ［配例4使用］ [2024·潍坊二模] 已知为抛物线 上的一
个动点，过作圆的两条切线，切点分别为， ，
则 的最大值为( )
A. B. C. D.
√
【备选理由】例4结合抛物线考查与圆的切线有关的最值问题，
有一定的综合性;
[解析] 如图，连接，， ，易知，
则求 的最大值即求的最大值.
由题意得圆心为 ，半径.
设，则在 中，
，易知，
则当 最大时， 最大，最小.
设，，则 ，
所以
，
当时，，此时 取得最大值，
，结合，得 ，此时 .故选B.
例5 ［配例5使用］ [2024·浙江天域协作体联考]
如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森
特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和
变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆的一段圆弧，且弧 所对的
圆心角为.设圆的圆心在点与弧 中点的连线所在直线上.若存在圆
满足：弧上存在四点满足过这四点作圆的切线，这四条切线与圆
也相切，则弧上的点与圆 上的点间的最短距离的取值范围为_______
【备选理由】例5考查情境下的两圆的公切线问题，难度较大.
[解析] 如图，弧所对的圆心角为 ，
设弧的中点为，圆的半径为.
在弧 上取两点,，连接，，
则 ， 分别过点,作圆的切线，均交直线于点，
当过点, 的切线刚好是圆与圆的外公切线时，
劣弧上一定还存在点,，使过点, 的切线为两圆的内公切线，
则圆的圆心只能在线段 上，且不包括端点.
过点，分别向,作垂线，垂足分别
为,，则即为圆 的半径，设线段
交圆于点，则弧上的点与圆 上的点
的最短距离即为线段的长度.
在 中， ，
则 ，
故弧上的点与圆上的点间的最短距离的取值范围为 .
作业手册
◆ 基础热身 ◆
1.圆与圆
的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
[解析] 将两圆的一般方程化为标准方程得，
,可知圆心为,,
圆的半径,圆的半径 .
因为 ,所以两圆外切.故选C.
√
2.直线与圆相切，则 的值为
( )
A. B.1 C. D.
[解析] 因为直线与圆 相切，
所以由圆心到直线的距离等于半径得，解得 .故选C.
√
3.直线与圆 的位置关系是
( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
[解析] 由题意知,圆心到直线的距离 ,
故直线与圆 相交.故选A.
√
4.[2024·石家庄三模]已知圆 和圆
，则两圆公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 圆的圆心为，半径 ，
圆的圆心为，半径 ，
则 ，故两圆外切，
则两圆公切线的条数为3.故选C.
√
5.（多选题）若直线与圆相交于 ，
两点，则 的值可能为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[解析] 易知直线恒过点，
圆 的圆心为，半径.
当直线经过圆心时， 最大，；
连接,当直线与所在直线垂直时， 最小，
.所以 .故选 .
√
√
6.[2024·杭州二模] 与圆相切且一个方向向量为 的
直线的方程为_________________________.
或
[解析] 因为切线的一个方向向量为，
所以切线的斜率为 ，故可设切线方程为.
因为直线 与圆相切，
圆的圆心坐标为 ，半径为1，
圆心到直线的距离为，
所以 ，所以或，所以与圆 相切且一个
方向向量为的直线的方程为或 .
7.已知关于的方程 有两个不同的实数根，
则实数 的取值范围为_ ________.
[解析] 由题得 ，
作出曲线与直线 ，
如图所示，则原问题转化为当直线与曲线有
两个不同的交点时，求实数 的取值范围.
直线过定点 .
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离 ，即，
解得（舍去）或 ；
当直线过点 时，可得直线的斜率.
故实数的取值范围为 .
◆ 综合提升 ◆
8.[2024·南通模拟]在同一平面直角坐标系中，直线
与圆 的位置不可能为( )
A. B. C. D.
[解析] 圆的圆心坐标为，半径为 ，
直线过圆内的定点 ，
斜率可正可负可为0，A，B，D选项都有可能，C选项不可能.故选C.
√
9.过坐标原点的直线与圆 相交，且将该圆分
成的两段弧长之比为，则 的斜率为( )
A. B. C.或 D.或
[解析] 圆心坐标为，半径为2.
因为 将该圆分成的两段弧长之比为，
所以两段弧所对的圆心角分别为和 ，
由几何性质可知，圆心到的距离为1，
设的方程为，则 ，解得 .故选B.
√
10.[2024·浙江绍兴二模]过点作圆的切线， 为
切点，若，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
[解析] 圆的圆心为 ，
由题意得，所以 .
令 ，， ，
则，其中 ，
所以的最大值为 .故选D.
√
11.（多选题）已知圆 的方程为
，点 ，给出以下结论，
其中正确的有( )
A.过点的任意直线与圆 都相交
B.若圆与直线无交点，则
C.当圆的面积最小时，圆与圆
有三条公切线
D.无论为何值，圆都有弦长为的弦，且被点 平分
√
√
√
[解析] 因为,所以在圆 内,
所以过点的任意直线与圆都相交,故A选项正确.
圆 的圆心为,半径,
点到直线 的距离为,
因为圆与直线 无交点,所以,
即 ,所以,
两边平方得 ,解得,故B选项错误.
圆的半径,当 时，圆的半径最小，
则面积最小,此时圆心为，半径 ，
圆的圆心为 ,
半径 ,
可得 ,
所以当圆的面积最小时，圆与圆外切，
圆与圆 有三条公切线,故C选项正确.
圆的半径,则 ,
所以无论为何值，圆都有弦长为 的弦.
, ,
当弦长为时，圆心 到弦所在直线的距离
,
所以,所以垂直平分弦, 所以无论为何值，
圆 都有弦长为的弦，且被点平分,故D选项正确.故选 .
12.已知，点是以线段为直径的圆上任意一点，动点
到点的距离是它到点的距离的倍，则 的取值范围为______
______.
[解析] 以的中点为坐标原点， 所在直线为 轴，
建立平面直角坐标系，如图所示，则，
，点在 上.
设 ，则 ，
化简得，即，
所以点 的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
因为 ,
所以与的位置关系是相交,所以的取值范围是 .
13.已知点在圆上，点, ，
则当最小时， _____.
[解析] 圆 的圆心为，
半径为4，当 最小时，如图所示，与圆相切.
连接,，则 ，
又 ，，
所以由勾股定理得 ，
所以当最小时， .
14.已知圆 与圆
相交于， 两点.
（1）求公共弦 的长；
解：两圆方程相减得，
故公共弦 所在直线的方程为.
因为圆的圆心为，半径 ，
圆心到直线的距离 ，
所以 .
（2）求圆心在直线上，且过， 两点的圆的方程；
解：圆的圆心为，过点，的直线方程
为 ，即.
由得 故所求圆的圆心为，
点到直线的距离为 ，
则所求圆的半径为，
所以所求圆的方程为 .
（3）求经过， 两点且面积最小的圆的方程.
解：经过，两点且面积最小的圆就是以 为直径的圆，
由 得故所求圆的圆心为，
又 ，所以所求圆的半径为,
故所求圆的方程为 .
15.已知圆与圆 内切.
（1）直线与圆交于，两点，若 ，
求 的值；
解：由题意得, 可化为
,故,圆的半径为 .
由,知在圆上,
又圆与圆 内切,故,所以,解得 .
将与联立得 ，
恒成立.
设,，则, ，
故 ，
由，解得 .
（2）过点作倾斜角互补的两条直线分别与圆 相交，所得的弦为
和，若，求实数 的最大值.
解：当直线的斜率不存在时，直线 的斜率也不存在，
此时， .
当直线或直线 的斜率为0时，不满足倾斜角互补.
当直线的斜率存在且不为0时，设直线 ，
圆心到直线的距离 ，
故 .
直线的方程为 ，
故 ，则
.
当时， ，当且仅当
，即时，等号成立，且 ;
当时， ，当且仅
当，即时，等号成立，且.综上， .
◆ 能力拓展 ◆
16.[2024·河北唐山二模]已知圆，过点 的
直线与轴交于点，与圆交于，两点，则 的取
值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 取线段的中点，连接，则 ，
则
直线 经过点，考虑临界情况.
当线段的中点与点重合时 此时，
弦的长最小，此时 最长，且，
但此时直线与轴平行，点 不存在；
当线段的中点与点重合时，点与原点重合，
此时 最短，为0，符合题意.
故的取值范围为 .故选D.
17.已知 ,
, ，
， ，则下列结论中正确的是________.
（填序号）
①当时， ；
②当时， 中有1个元素；
③若中有2个元素，则 ；
④若中有4个元素，则 无整数解.
①②④
[解析] 对于①，当 时，
，
对于，令 ，解得，
对于，令，解得 ，
画出 表示的区域，如图甲所示，
所以
，所以①正确.
对于②，当 时，
，
画出表示的区域，如图乙所示.
圆 的圆心为，半径为1，
作出直线，即直线 ，
因为点到直线的
距离为 ，
所以圆与直线 相切，
又 ,,所以中有1个元素，所以②正确.
对于③，当时，,，
画出表示的区域与直线,如图丙所示，
半圆的圆心为 ，半径为1，
点到直线的距离为，
故半圆与直线 相交，此时中有2个元素，所以③错误.
对于④，若，则,
,
，此时直线与
圆 至多有2个公共点，不符合题意.
若，则由③的分析可知中有2个元素.
综上所述,若中有4个元素,则 无整数解,所以④正确.故填①②④.
【知识聚焦】
1.<　=　>　>　=　< 2.d>R+r　d=R+r　R-r【对点演练】
1.相交　2.　3.x+y-3=0 4.x-y+2=0　5.±4 或 ±2 6.x=3或5x+12y-39=0
课堂考点探究
例1(1)BD　(2) 变式题(1)B　(2)ABD 例2(1)A　(2)2 变式题(1)0或　(2)2
例3(1)x=0或3x+4y=0　(2)B 变式题(1)B　(2)C 例4(1)A　(2)3　1
变式题(1)BD　(2)D　例5　AD 变式题(1)BD　(2)3x+4y-5=0(或x=-1或7x-24y-25=0)
教师备用习题
例1 ABC 例2 7 例3 BCD 例4 B 例5
基础热身
1.C　2.C　3.A　4.C　5.CD 6. y=x+2或y=x-2 7.
综合提升
8.C 9.B 10.D 11.ACD 12.[0,8+4] 13. 3
14.(1) (2) (3)
15.(1) (2)
能力拓展
16.D 17. ①②④

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