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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 B（小学高年级组）
（时间: 4月 20日 10:00～11:30）
一、填空题（每小题 10 分, 共 80分）
1
1. 计算: 19 0.125 281 12.5 ________.
8
2. 农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九,
二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年 12月 21日是冬至, 那
么 2013 年 2月 10日是________九的第________天.
5 7 9 11
3. 某些整数分别被 , , , 除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别
7 9 11 13
2 2 2 2
是 , , , , 则满足条件且大于 1的最小整数为________.
5 7 9 11
4. 如图所示, P, Q 分别是正方形 ABCD的边 AD和对角线 AC
上的点 , 且 AP: PD 1: 4 , AQ : QC 3 : 2 . 如果正方形
ABCD的面积为 25, 那么三角形 PBQ的面积是 .
5. 有一箱苹果, 甲班分, 每人 3 个还剩 10 个; 乙班分, 每人 4 个还剩 11 个; 丙
班分, 每人 5个还剩 12个. 那么这箱苹果至少有________个.
6. 两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形,
其中, 小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边不是
中点的一个四等分点．如果大积木的棱长为 4, 则这个立体图形的表面积为
________.
7. 甲、乙两车分别从 A, B两地同时出发相向而行, 甲车每小时行 40 千米, 乙
车每小时行 60千米. 两车分别到达 B地和 A地后, 立即返回. 返回时, 甲车
的速度增加二分之一, 乙车的速度不变. 已知两车两次相遇处的距离是 50千
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米, 则 A, B两地的距离为_______千米.
8. 用“学”和“习”代表两个不同的数字, 四位数“学学学学”与“习习习习”
的积是一个七位数, 且它的个位和百万位数字与“学”所代表的数字相同, 那
么“学习”所能代表的两位数共有 个.
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40分, 要求写出简要过程）
9. 右图中, 不含“*”的长方形有多少个
10. 如右图, 三角形 ABC 中, AD = 2BD, AD = EC, BC =
18, 三角形 AFC的面积和四边形DBEF的面积相等,
那么 AB的长度是多少
11. 若干人完成了植树 2013棵的任务, 每人植树的棵数相同. 如果有 5人不参加
植树, 其余的人每人多植 2 棵不能完成任务, 而每人多植 3 棵可以超额完成
任务. 问：共有多少人参加了植树
12. 由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则
立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至多是多少
三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30分，要求写出详细过程）
13. 用八个右图所示的2 1的小长方形可以拼成一个4 4的正方形.
若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形
相同, 则认为两个拼成的正方形相同. 问: 可以拼成几种两条对
角线都是其对称轴的正方形图形
14. 对于 155 个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子, 有三种分类方法: 对于每种
颜色, 将该颜色的球数目相同的盒子归为一类. 若从 1到 30之间所有的自然
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数都是某种分类中一类的盒子数, 那么, 1) 三种分类的类数之和是多少 2)
说明, 可以找到三个盒子, 其中至少有两种颜色的球, 它们的数目分别相同.
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第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 B参考答案
（小学高年级组）
一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
1000
答案 50 6, 7 3466 6.5 67 136 3
7
二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）
9. 答案：106
10. 答案：9
11. 答案：61
12. 答案：59
三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）
13. 答案：4
14.
解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了 i, j, k 类, 每类的盒子数目分别为
a1 , a2 , , ai , b1, b , , b , c1 , c2 , , c2 j k ,
令n i j k .
1) 因为a1 , a2 , , ai , b c , c , , c1, b2 , , b j , 1 2 k 包含了 1到 30 的所有整数, 所以
n 30 . 另一方面,
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3 155 a1 a2 ai b1 b2 b j c1 c2 ck
30 31
1 2 30 465 3 155,
2
所以 n i j k 30 , 三种分类各自分类的类数之和是 30.
2) 不妨设a1 30 , 记这 30 个盒子的类为 A 类. 因为 i j k 30 , 必有 j 14或
k 14, 不妨设 j 14 . A 类的 30 个盒子分到这不超过 14 个类中去, 必有一类至少有三个
盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.
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