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浙江省杭州市余杭区2025-2026学年第一学期八年级10月月考数学预测训练试题（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1．下面是部分汽车标志图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故符合题意．
故选：D．
2. 若三角形的两边长分别为，，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围：第三边的范围为大于两边差且小于两边和．
【详解】解：设第三边为x，
则6-2＜x＜6+2，
故4＜x＜8，
故选：C．
如图，小华为估计水塘边A，B两点间的距离，在池塘同侧选取一点O，
测出点O与点A间的距离为15米，点O与点B间的距离为10米，则长可能是（ ）
A. 5米 B. 15米 C. 25米 D. 30米
【答案】B
【解析】
【分析】应用三角形三边的关系，两边之和大于第三边两边之差小于第三边，进行计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
，
即：．
∴长可能是15米．
故选：B．
4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解．
【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意；
B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意；
C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意；
D、添加，不能证明，故选项D符合题意；
故选：D．
5. 在中，，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】设，因为，所以，，根据三角形内角和为进行列式即可解答．
【详解】解：设，
因为，
所以，，
在中，，
即，
解得，
那么，，，
所以此三角形是直角三角形，
故选：B．
如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
如图，在中，是的垂直平分线，连接．
以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，
以大于长为半径画弧，两圆弧交于G点，作射线交于点H，则的度数为（ ）

A．36° B．25° C．24° D．21°
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可求得的度数，再由线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可求得的度数，从而求得的度数；由作图知平分，则可求得的度数．
【详解】解：∵，
∴；
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
由作图知，平分，
∴；
故选：C．
8. 等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3，则腰长为（ ）
A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】分两种情况：当（AB＋AD） （BC＋CD）＝3时，当（BC＋CD） （AB＋AD）＝3时，然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，BD是AC边上的中线，
∴AD＝DC＝AC，
分两种情况：
当（AB＋AD） （BC＋CD）＝3时，
∴AB BC＝3，
∴AB＝8，
当（BC＋CD） （AB＋AD）＝3时，
∴BC AB＝3，
∴AB＝2，
∴2＋2＝4＜5，
∴不能组成三角形，
综上所述：腰长为8，
故选：B．
9. 如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，
当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（　　）
A．21° B．23° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠DAF和∠CAD的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BAC的度数，最后依据三角形内角和定理即可得到∠B的度数．
【详解】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°
∴∠DAF＝21°，
∵AD⊥BC，∠C＝65°，
∴∠CAD＝25°，
∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝92°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣92°﹣65°＝23°，
故选：B．
如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，
PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：
①AP平分∠EAC；②；③；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PN＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴AP平分∠EAC，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC，
∴
∴∠BAC＝2∠BPC，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D
二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 如图，一般轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，当轮船从点行驶到B点时， °．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：，
．
故答案为：40．
12.如图，一棵大树在一次强风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在离根部4m处，
这棵大树在折断前的高度为________m．
【答案】8
【分析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：由勾股定理得,断下的部分为=5米，折断前为5+3=8米．
13. 如图，在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AB=3，BC=5，则△ABD的周长是 .
【答案】8
【分析】根据垂直平分线的性质，可知AD=CD，进而可知BC=BD+CD，即可求出△ABD的周长.
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴BC=BD+CD=BD+AD
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BC=8.
故答案为8
14. 等腰三角形中两条边长分别为4和7，则该等腰三角形的周长等于_________．
【答案】15或18．
【解析】
【分析】本题没有明确说明已知的边长哪个是腰，则有两种情况：①腰长为4；②腰长为7．然后判断是否符合三角形三边关系，再计算周长即可．
【详解】①腰长为4时，符合三角形三边关系，则其周长＝4+4+7＝15；
②腰长为7时，符合三角形三边关系，则其周长＝7+7+4＝18．
所以三角形周长为15或18．
故答案为15或18．
15. 如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ．
【答案】17
【详解】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理；
连接，先由勾股定理求得的长，再根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后根据（当且仅当A、P、C共线时取等号）求出的最小值为的长，所以周长的最小值为．
【分析】解：连接，如图，
在中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵（当且仅当A、P、C共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∴周长的最小值．
故答案为：17．
如图，已知和都是等边三角形，点 在同一条直线上，
交于，交于， 交点；下列说法：
①；②为等边三角形；③；④平分∠．
其中一定正确的是 （只需填写序号）．
【答案】①②④
【分析】①根据等边三角形的性质得，则，利用“”可判断，则；②由得到，然后根据“”判断，所以得到，加上，则根据等边三角形的判定即可得到为等边三角形；③根据三角形内角和定理可得，而，则，然后再利用三角形内角和定理即可得到；④作于，于，如图，由得到，于是根据角平分线的判定定理即可得到平分；
【详解】证明：①∵和都是等边三角形，
在和中，
，
；①正确；
②
在和中，
∴为等边三角形；②正确；
③
而
；③错误；
④如图：作于 ，于；
∴平分；④正确；
故答案为：①②④
三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知，，求证：．
【答案】见解析
【分析】欲证明，只要证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
18．如图，在ABC中，AE是边BC上的高线．
(1)若AD是BC边上的中线，AE=3cm，．求DC的长．
(2)若AD是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小．
【答案】(1)4cm；
(2)∠DAE=5°．
【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出底边长，再根据中线性质求出DC的长度；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求出∠BAD的度数，三角形外角与内角的关系可求出∠ADE的度数，在直角三角形中进而求出∠DAE的大小．
【详解】（1）解：∵AE=3cm，=12，
∴BC=12×2÷3=8（cm），
∵AD是BC边上的中线，
∴DC=BC=4cm；
（2）解：∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=45°，
∠ADE是ABD的一个外角，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=40°+45°=85°，
在直角三角形ADE中，∠DAE=90°85°=5°．
19．如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上．
(1)画出与关于直线l成轴对称的；
(2)求的面积；
(3)求边上的高．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)边上的高为．
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B关于直线l的对称点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
（3）先计算出的长，然后利用面积法求边上的高．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积；
（3）解：设边上的高为h，
∵，
∴，
解得，
即边上的高为．
20．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，与相交于点O，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，得到，，根据得到，即可得到，即可证明结论；
（2）根据，得到，结合可得，结合即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．
小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．
点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
求A′到BD的距离；
求A′到地面的距离．
【答案】(1)1m
(2)1m
【分析】（1）作A'F⊥BD，交BD于点F．设∠A'BF=∠1，∠BA'F=∠2，∠ABC=∠3．先证明△ACB≌△BFA'（AAS），则有A'F＝BC，即有CD＝AE；则可求出BC＝BD﹣CD＝1（m），即A'到BD的距离可求；
（2）作A'H⊥DE，交DE的延长线于点H．证得四边形A'HDF是矩形，则有A'H＝FD，问题得解．
【详解】（1）（1）如图，作A'F⊥BD，交BD于点F，设∠A'BF=∠1，∠BA'F=∠3，∠ABC=∠2．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°，
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°，
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC，
∵且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m；
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'，
∴BF＝AC＝1.5m，
如图，作A'H⊥DE，交DE的延长线于点H．
∵A'H⊥DE，BD⊥DE，
∵，
∴四边形A'HDF是长方形，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），
A'即到地面的距离为1m．
22．如图，已知点是等边内一点，连结，，，D为外一点，且，连接，，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．
（1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在与中，
∴（SAS）；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图，在与中，，，，
连接且，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的长度．
(3)和有何位置关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，然后即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到；
（3）根据全等三角形的性质得到，证明四点共圆，再由圆周角得出．
【详解】（1）证明：，
，
，
在，中，
，
；
（2）解：，
，
由（1）得，
；
（3）；
证明：由（1）得，
，
故四点共圆，
，
．
如图，在中，，，，，
、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，
点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

(1)_____（用t的代数式表示）
(2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
(3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？
【答案】(1)
(2)秒
(3)11秒或12秒
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
（1）根据题意即可用可分别表示出；
（2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；
（3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值．
【详解】（1）由题意可知，，
，
，
故答案为：；
（2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有，
即，解得，
出发秒后，能形成等腰三角形；
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，

则，
，
．
，
，
，
，
，
；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，

则，
，
综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11秒或12．
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浙江省杭州市余杭区2025-2026学年第一学期八年级10月月考数学预测训练试题
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1．下面是部分汽车标志图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 若三角形的两边长分别为，，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A． B． C． D．
如图，小华为估计水塘边A，B两点间的距离，在池塘同侧选取一点O，
测出点O与点A间的距离为15米，点O与点B间的距离为10米，则长可能是（ ）
A. 5米 B. 15米 C. 25米 D. 30米
4. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ）

A． B． C． D．
5. 在中，，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，是的垂直平分线，连接．
以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，
以大于长为半径画弧，两圆弧交于G点，作射线交于点H，则的度数为（ ）

A．36° B．25° C．24° D．21°
8. 等腰三角形底边长为5，一腰上的中线把周长分成两部分的差为3，则腰长为（ ）
A. 2 B. 8 C. 2或8 D. 10
9. 如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，DF⊥AE于点F，
当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（　　）
A．21° B．23° C．25° D．30°
如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，
PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：
①AP平分∠EAC；②；③；④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 如图，一般轮船按箭头所示方向行驶，处有一灯塔，当轮船从点行驶到B点时， °．
12.如图，一棵大树在一次强风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在离根部4m处，
这棵大树在折断前的高度为________m．
13. 如图，在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AB=3，BC=5，则△ABD的周长是 .
14. 等腰三角形中两条边长分别为4和7，则该等腰三角形的周长等于_________．
15. 如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ．
如图，已知和都是等边三角形，点 在同一条直线上，
交于，交于， 交点；下列说法：
①；②为等边三角形；③；④平分∠．
其中一定正确的是 （只需填写序号）．
三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知，，求证：．
18．如图，在ABC中，AE是边BC上的高线．
若AD是BC边上的中线，AE=3cm，．求DC的长．
若AD是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小．
19．如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上．
画出与关于直线l成轴对称的；
求的面积；
求边上的高．
20．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，与相交于点O，，，．
求证：；
若，，求的度数．
如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．
小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．
点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
求A′到BD的距离；
求A′到地面的距离．
如图，已知点是等边内一点，连结，，，D为外一点，且，
连接，，．
求证：．
若，，，求的度数．
如图，在与中，，，，
连接且，连接．

求证：；
若，求的长度．
和有何位置关系？请说明理由．
如图，在中，，，，，
、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，
点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．

(1)_____（用t的代数式表示）
(2)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
(3)当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？
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