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九年級 9月数学练习卷
一． 选择题 (每小题 3分，共 30分)
1.把方程 2x= x2- 3化为一般形式，二次项系数为 1，则一次项系数及常数项分别为 ( )
A. 2、 3 B. - 2、 3 C. 2、-3 D. - 2、-3
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A. 三角形 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 菱形
3.将抛物线 y= 1 (x+ 1)2- 1 1平移后得到抛物线 y= x2，下列平移方法正确的是 ( )
2 2
A. 先向左平移 1个单位，再向上平移 1个单位 B. 先向左平移 1个单位，再向下平移 1个单位
C. 先向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位 D. 先向右平移 1个单位，再向下平移 1个单位
4.如图，在△ABC中，∠B= 55°，∠ACB= 30°，将△ABC绕点C顺时针旋转 n度 (0< n< 180)得到
△EDC，若CE∥AB，则n的值为 ( )
A. 65 B. 90 C. 95 D. 125
5.用配方法解方程 x2- 4x- 3= 0．下列变形正确的是 ( )
A. (x- 4)2= 19 B. (x- 2)2= 7 C. (x- 2)2= 1 D. (x+ 2)2= 7
6.在同一平面直角坐标系中，一次函数 y= kx- 1与二次函数 y= kx2+ 3的大致图象可以是 ( )
A. B.
C. D.
7.已知关于 x的一元二次方程 x2-mnx+m+ n= 0，其中m， n在数轴上的对应点如图所示，则这个
方程的根的情况是 ( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
8.如图所示，在菱形ABCD中，AB= 6，∠BAD= 120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的
1
边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C、D重合．当点E、F在BC、CD上滑动时，△CEF的面
积最大值是 ( )
A. 4 3 B. 5 3 C. 3 3 D. 9 3
4 4
9.如图，在平面直角坐标系中，已知A(10， 0)，点P为线段OA上任意一点．在直线 y= 34 x上取点
E，使PO=PE，延长PE到点F，使PA=PF，分别取OE、AF中点M、N，连接MN，则MN的
最小值是 ( )
A. 4.8 B. 5 C. 5.4 D. 6
10.对于一个函数，自变量 x取 a时，函数值 y也等于 a，我们称 a为这个函数的不动点．如果二次函数 y
= x2+ 2x+ c有两个相异的不动点 x1， x2，且 x1< 2< x2，则 c的取值范围是 ( )
A. c<-5 B. c<-6 C. c<-7 D. c<-8
二．填空题 (每小题 3分，共 18分)
11.一元二次方程 x2+ 3x= 0的解是 ．
12.关于 x的一元二次方程 kx2+ 2x- 1= 0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 ．
13.设 a、 b为 x2+ x- 2021= 0的两个实数根，则 a3+ a2+ 3a+ 2024b= ．
14.圣诞节时，某班一个小组有 x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡 110张，则可列
方程为 ．
15.如图，已知A(1， 1)，B(3， 9)是抛物线 y= x2上的两点，在 y轴上有一动点P，当△PAB的周长最
小时，则此时△PAB的面积为 ．
16.下列关于二次函数 y= x2- 2mx+m2- 1的结论：
①该函数图象的对称轴为直线 x=m；
②若函数图象的顶点为M，与 x轴交于A、B两点，则S△ABM为定值；
③若P(x1， y1)，Q(x2， y2)在该函数图象上，且 x1> x2， x1+ x2> 2m，则有 y1< y2；
④该函数图象与 y轴交于C点，与 x轴交于A、B两点，△ABC不可能为直角三角形．
2
其中正确的结论是 ．
三．解答题 (共 72分)
17. (8分)用公式法解下列方程： 2x2- 3x+ 1= 0．
18. (8分)已知关于 x的方程 x2+ (2k- 1)x+ k2- 1= 0有两个实数根 x1， x2．
(1)求实数 k的取值范围；
(2)若 x1， x2满足 x21+ x22= 16+ x1x2，求实数 k的值．
19. (8分)已知抛物线 y= x2+ bx+ c的对称轴为 x= 2，且过点C(0， 3)
(1)求此抛物线的解析式；
(2)证明：该抛物线恒在直线 y=-2x+ 1上方．
20. (8分)如图，Rt△ABC中，∠C= 90°，BC= a，AC= b(a< b)，AB= 5， a， b是方程 x2- (m- 1)
x+ (m+ 4) = 0的两根
(1)求 a， b；
(2)P，Q两点分别从A，C出发，分别以每秒 2个单位， 1个单位的速度沿边AC，BC向终点C，B
运动， (有一个点达到终点则停止运动)，求经过多长时间后PQ= 2？
21.如图，由边长为 1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点在格点
上．请用无刻度尺按要求作图：
(1)作△ABC的高AH；
(2)①找一格点D使AD⊥AC且AD=AC；
②连接CD，在CD上画出一点F，连AF，使AF将四边形ABCD的面积平分．
3
22.如图，用长 30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长 10米，墙的对面有一个 2米宽的
门，设垂直于墙的一边长为 x米，菜园的面积为S平方米．
(1)直接写出S与 x的函数关系式；
(2)若菜园的面积为 96平方米，求 x的值；
(3)若在墙的对面再开一个宽为 a(0< a< 3)米的门，且面积 S的最大值为 124平方米，直接写出 a的
值．
23.在△ABE和△CDE中，∠ABE=∠DCE= 90°，AB=BE，CD=CE．
(1)连接AD、BC，点M、N分别为AD、BC的中点，连接MN，
①如图 1，当B、E、C三点在一条直线上时，MN与BC关系是 ．
②如图 2，当等腰Rt△CDE绕点E顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；
如果不成立，请说明理由．
(2)如图 3，当等腰Rt△CDE绕点 E顺时针旋转时，连接AC、BD，点P、Q分别为BD、AC的中
点，连接PQ，若AB= 13，CD= 5，则PQ的最大值是 ，此时以A、B、C、D为顶点的四
边形的面积为 ．
24.如图，平面直角坐标系中，直线 y= x+ 4分别交 x、 y轴于A、B两点，点P为线段AB的中点．
(1)直接写出点P的坐标 ；
(2)如图 1，点C是 x轴正半轴上的一动点，过点P作PD⊥PC交 y轴正半轴于点D，连接CD，点
M、N分别是CD、OB的中点，连接MN，求∠MNO的度数；
(3)如图 2，点Q是 x轴上的一个动点，连接PQ．把线段PQ绕点Q逆时针旋转 90°至线段QT，连接
PT、OT．当PT+OT的值最小时，求此时点T的坐标．
4

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