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湖北省部分高中协作体 2025—2026 学年上学期 9 月联考高二数学试题
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
设集合 A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x2},则集合 A∩B 的元素个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
已知 a=log2e,b=ln 2,c=log1 ,则 a,b,c 的大小关系为( )
23
a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
已知 f(x)=|3x-1|+2,若关于 x 的方程[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0 有三个实根,则实数 a 的取值范围是
( )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(2,3) D.(3,+∞)
已知函数 f(x)=2cos +
,设 a=f
,b=f
,c=f
,则 a,b,c 的大小关系是( )
a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c
“勾三股四弦五”是勾股定理的一个特例。根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾三股四弦五”的问题,比毕达哥拉斯发现勾股定理早了 500 多年。如图,在矩形 ABCD
中,△ABC 满足“勾三股四弦五”,且 AB=3,E 为 AD 上一点,BE⊥AC。若 =λ +μ ,则 λ+μ 的值为( )
A.- 9
25
C.16
25
7
25
D.1
已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=π,B=π,a=1,则 b=( )
6 4
A.2 B.1
D.
若直线 a 不平行于平面 α,且 a α,则下列结论成立的是( )
α 内的所有直线与 a 异面
α 内不存在与 a 平行的直线
α 内存在唯一的直线与 a 平行
α 内的直线与 a 都相交
为实现乡村生态振兴,走乡村绿色发展之路,乡政府采用按比例分层随机抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研,已知甲村和乙村人数之比是 3∶1,被抽到的参与环保调研的村民中,甲村的人数比乙村多 8,则参与环保调研的总人数是( )
A.16 B.24
C.32 D.40
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
下列各图中,能表示函数 y=f(x)的图象的是( )
A B
C D
已知复数 z,w 均不为 0,则( )
z2=|z|2 B. = 2
| |2
C. = D.| | = | |
| |
有 一 组 样 本 数 据 x1,x2,…,xn, 由 这 组 数 据 得 到 新 样 本 数 据 y1,y2,…,yn, 其 中
yi=xi+c(i=1,2,…,n),c 为非零常数,则( ) A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x,则
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)= 。
如图,有一个圆锥形粮堆,其轴截面是边长为8 m 的等边三角形ABC,粮堆母线AC 的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食,此时小猫正在B 处,它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程是 m。
若 A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则 m+n= 。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15.（本小题满分 14 分）
已知二次函数 f(x)=ax2-x+2a-1。
若 f(x)在区间[1,2]上单调递减,求 a 的取值范围;(7 分)
若 a>0,设函数 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式。(7 分)
16.（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)= 3cos xsin x+sin2x。
化简 f(x)的表达式; (7 分)
求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间。(7 分)
17.（本小题满分 15 分）
已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,
向量 m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
求角 C 的大小; (7 分)
若 sin A,sin C,sin B 成等差数列,且 ·( )=18,求 c。(8 分)
18.（本小题满分 16 分）
如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 4,点 M 为棱 AA1 的中点,P,Q 分别为棱 BB1,CC1 上的点,
且 B1P=CQ=1,PQ 交 BC1 于点 N。
求证:MN∥平面 ABCD; (8 分)
求多面体 BDMPQ 的体积。(8 分)
19.（本小题满分 18 分）
如图,已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,
AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°。
求线段 AC1 的长; (6 分)
求异面直线 AC1 与 A1D 所成角的余弦值;(6 分)
求证:AA1⊥BD。(6 分)
高二数学试题答案
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A B D B A
二、选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.答案：ACD 10.答案：BCD 11.答案：CD
三、填空题：本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分
答案：340 13.答案：4 14.答案：3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分
15.（本小题满分 14 分）
当 a>0 时,f(x)=ax2-x+2a-1 的图象开口向上,对称轴方程为 x= 1 ,所以 f(x)在区间[1,2]上
2
单调递减需同时满足 1 ≥2,a>0,解得 02 4
方程为 x= 1 <0,所以 f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足 a<0。综上,a 的取值范围
2
是(-∞,0)∪0, 1 。(7 分)
①当 0< 1 <1,即 a>1时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时 g(a)=f(1)=3a-2。
2 2
②当 1≤ 1 ≤2,即1≤a≤1时,f(x)在区间 1, 上单调递减,在区间 ,2 上单调递增,此时 g(a)=f
2 4 2
=2a- 1 -1。③当 1 >2,即 04
2 4
6 3, ∈ 0, 1 ,
4
综上所述,g(a)= 2 1 1, ∈ 1 , 1 , (7 分)
4 4 2
3 2, ∈ 1 , + ∞ 。
2
16.（本小题满分 14 分）
解 (1)f(x)= 3cos sin +sin2 = 3sin 2 1cos 2 + 1 = sin 2
1 (7 分)
2 2 2
+ 2。
(2)函数 f(x)的最小正周期为2π=π,令-π+2kπ≤2x-π ≤ π+2kπ,k∈Z,则-π+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,所以函
2 2 6 2 6 3
数 f(x)的单调递增区间为 π + π, π + π ,k∈Z。(7 分)
6 3
17.（本小题满分 15 分）
解 (1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC 中,A+B=π-C,0所以 sin(A+B)=sin C,所以 m·n=sin C。又 m·n=sin 2C,所以 sin 2C=sin C,得 cos C=1。
又因为 C∈(0,π),故 C=π。(7 分)
(2)由 sin A,sin C,sin B 成等差数列,可得 2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得 2c=a+b。因为
· ( )=18, 所 以 · =18, 即 abcos C=18, 所 以 ab=36 。 由 余 弦 定 理 , 得
c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以 c2=4c2-3×36,所以 c2=36,所以 c=6。(8 分)
18.（本小题满分 16 分）
解 (1)证明:因为 B1P=CQ=1,正方体的棱长为 4,所以 BP=C1Q=3,BP∥C1Q,
所以△BPN≌△C1QN。所以 BN=C1N,即点 N 为线段 BC1 的中点。过点 N 作 NE⊥BC,垂足为点 E,连接 AE(图略),则 NE∥CC1,且 NE=1CC1=2,所以 NE∥AM,且 NE=AM=2,
所以四边形 AMNE 为平行四边形。所以 MN∥AE。又 MN 平面 ABCD,AE 平面 ABCD,
所以 MN∥平面 ABCD。(8 分)
(2)设多面体 BDMPQ 的体积为 V,连接 DP(图略),
则 V=VB MPD+V
B QPD
=2V
D BMP=2×1 × △ × = 2 × 1×3×4×4=16。(8 分)
19.（本小题满分 18 分）
解 (1)设 =a, =b, 1=c,这三个向量不共面,{a,b,c}构成空间的一个基底,
则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1。
因为 1 = + 1 = + + 1=a+b+c,
所以| 1|=|a+b+c|= =
= = 2。
所以线段 AC1 的长为 2。(6 分)
(2)设异面直线 AC1 与 A1D 所成的角为 θ,
则 cos θ=|cos< 1, 1 > | = | 1· 1 | 。因为 1=a+b+c, 1 =b-c,所以
| 1|| 1 |
1· 1
=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,| 1 | =
= 7。所以 cos θ= | 1· 1 | = | 2|
| 1|| 1 |
= =
14。
7
故异面直线 AC 与 A D 所成角的余弦值为 14。(6 分)
1 1 7
(3)证明:因为 1=c, =b-a,所以 1· =c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,所以 1 ⊥ ,
即 AA1⊥BD。(6 分)

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