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八年级下学期综合练习一数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图， ABCD中，∠A＝70°，则∠D的度数为（　　）
A．60° B．70° C．40° D．110°
3．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．使式子有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≤3 B．x≤3且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜3且x≠﹣2
5．若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝5：12：13；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④b2＝（a+c）（a﹣c）中，不能判定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝BD B．OA＝OC，OB＝OD C．AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC
第2题图 第6题图 第7题图
7．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（　　）米．
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，BC＝5，AC＝6，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
10．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，连结EF、FG、EG，EG交BD于点N．下列结论：①；②AE⊥GF；③CA平分∠BCD；④GN＝NE．其中正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第8题图 第9题图 第10题图
二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分）
11．比较大小：4 　 　2．
12．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|的结果是 　．
13．若二次根式是正整数，则整数m的最小值为　 　．
14．若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则它的第三边是 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝8，点P是对角线AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥AD于点E，PF∥BC交CD于点F，连接EF，则EF的最小值为 　．
第12题图 第15题图
三、解答题（本题有9个小题，共75分）
16．（6分）计算：（1）； （2）．
17．（6分）如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE＝BD，连接AE、CE．
求证：四边形ABCE是平行四边形．
18．（6分）已知，．
（1）求x+y和xy的值； （2）求x2+3xy+y2的值．
19．（8分）（1）若实数m、n满足等式，求的值；
（2）已知，求x+y的平方根．
：20．（8分）如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）四边形ABCD的周长＝　 　；
（2）四边形ABCD的面积＝　 　 ；
（3）∠ABC是直角吗？试做出判断并说明理由．
21．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
22．（9分）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：
等．
【猜想】 （1）　 　；
【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，n≥2）表示含有上述规律的等式，
并给出证明．
【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求a+b的值．
23．（11分）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图2，四边形ABCD是垂美四边形，请猜想两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝2，AB＝3，求GE长．
（12分）如图，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，边OC、OA分别在x轴、y轴上，
A（0，a），C（c，0），且a、c满足|a﹣4|+（8﹣c）2＝0．
（1）求B，C两点的坐标；
（2）把△ABC沿AC翻折，点B落在B′处，线段AB′与x轴交于点D，求CD的长；
（3）在平面内是否存在点P，使以A，D，C，P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
八下综合练习一数学参考答案
选择题
1-5 DDDBA 6-10CDAAC
二．填空题（共5小题）
11．> 12．2a﹣3 13．7 14．或10 15．
三．解答题（共9小题）
16．（1）原式＝1；…………………………………………3分
（2）原式
＝4．……………………………………………………………………3分
17．解：∵BD是△ABC的AC边上的中线，
∴AD＝CD，
∵DE＝BD，
∴四边形ABCE是平行四边形．……………………………………………………6分
18．解：（1）∵，，………………2分
∴x+y＝（）+（）
＝2；………………………………………………………………………………4分
xy＝（）（）
＝7﹣5
＝2；……………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）知：x+y＝2，xy＝2，
∴x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝（2）2+2
＝28+2
＝30．……………………………………………………………………………………8分
19．解：（1）∵，|m﹣2|≥0，0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
∴2m+n＝4+4＝8，
∴2m+n的立方根为2；…………………………………………………………………4分
（2）∵，
∴，
∴x＝24，y＝﹣8，
∴x+y＝24﹣8＝16．
∴±±4．…………………………………………………………………………8分
20．解：（1）由勾股定理得：AB2，BC，AD，
∵DC＝2，
∴四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝2232，
故答案为：32；……………………………………………………………2分
（2）△ABCD的面积＝4×4（2×1+2×4+4×1）＝9，
故答案为：9；………………………………………………………4分
（3）∠ABC是直角，
理由是：连接AC，由勾股定理得：AC5，
∵AB＝2，BC，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
即∠ABC是直角．…………………………………………………8分
21．解：（1）海港C受台风影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB
∴300×400＝500×CD
∴CD240（km）
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受到台风影响．…………………………………………5分
（2）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED70（km），
∴EF＝140km
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20＝7（小时）
即台风影响该海港持续的时间为7小时．…………………………9分
22．解：（1），证明如下，
，
故答案为：；……………………………………………………2分
（2），证明如下，
；………………………6分
（3）由条件可知a＝8，b＝a2﹣1，
∴b＝82﹣1＝63，
∴a+b＝8+63＝71，
故答案为：71．…………………………………………………………9分
23．解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：
连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是垂美四边形；……………………………………………………3分
（2）AD2+BC2＝AB2+CD2，
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
由勾股定理得，AE2+DE2＝AD2，BE2+CE2＝BC2，AE2+BE2＝AB2，DE2+CE2＝CD2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；………………………………………………………………7分
（3）连接CG、BE，设CE与BG交于点O，
∵四边形ACFG、ABDE是正方形，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠GAC＝∠BAE，
∴∠GAB＝∠CAE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠CEA，
∴∠BOE＝∠BAE＝90°，
∴BG⊥CE，
∴四边形BCGE是垂美四边形，
∴BC2+GE2＝CG2+BE2，
∵AC＝2，AB＝3，
∴CG＝2，BE＝3，BC，
∴5+GE2＝8+18，
∴GE．…………………………………………………………………………11分
24．解：（1）∵|a﹣4|+（8﹣c）2＝0，
∴a﹣4＝0，8﹣c＝0，
解得：a＝4，c＝8，
∴A（0，4），C（8，0），
∵四边形AOCB是矩形，
∴AB＝OC＝8．BC＝AO＝2，
∴B（8，4）；…………………………………………………………………………3分
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACO，
∵折叠
∴∠BAC＝∠B′AC，BC＝B′C，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
设DA＝DC＝x，则DB′＝AB′﹣AD＝8﹣x，
在Rt△DB′C中，DB′2+B′C2＝DC2，
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，即CD＝5，……………………………………………………………………7分
（3）∵A（0，4），C（8，0），D（3，0），设P（m，n），
当AD为对角线时，，
解得：，
∴P（﹣5，4）；
当AC为对角线时，，
解得：，
∴P（5，4）；
当AP为对角线时，，
解得：，
∴P（11，﹣4）；
综上所述，P（﹣5，4）或P（5，4）或P（11，﹣4）．…………………………………12分
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