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课时作业(四)　等差数列的概念及其通项公式(二)
[练基础]
1．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(　　)
A．5 B．8
C．10 D．14
2．若等差数列的前三项依次是x－1，x＋1，2x＋3，则其通项公式为(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
3．设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a2＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝51
5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是(　　)
A． B．
C． D．
6．(多选题)若等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中是等差数列的是(　　)
A．{λan}(λ为常数) B．{an＋bn}
} D．{anbn}
7．已知等差数列{an}中，a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，则an＝________．
8．古代中国数学辉煌灿烂，在《张邱建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等十人官赐金，以等次差降之．上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中央三人未到者，亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金________斤．
9．已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)画出这个数列的图象；
(3)判断这个数列的单调性．
10．已知三个数组成一个公差为2的等差数列，并且它们的和等于它们的积，求这三个数．
[提能力]
11．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或2
12．(多选题)已知b是a，c的等差中项，且lg (a＋1)，lg (b－1)，lg (c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15.则a，b，c的值是(　　)
A．1，5，9 B．5，1，9
C．3，5，7 D．7，5，3
13.若数列{an}满足a1＝15，3an＋1＝，则使ak·ak＋1<0的k值为________．
14．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________．
15．某产品按质量分10个档次，生产最低档次的产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润每件增加2元，同时每提高一个档次，产量减少3件，在相同的时间内，最低档次的产品可生产60件．
试问：在相同的时间内，应选择生产第几档次的产品可获得最大利润？(设最低档次为第一档次)
[培优生]
16．已知等差数列{an}的公差大于零，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，是否存在非零实数c，使数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数c的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(四)　等差数列的概念及其通项公式(二)
1．解析：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.故选B.
答案：B
2．解析：∵x－1，x＋1，2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，∴d＝2.
∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，故选B.
答案：B
3．解析：设前三项为a－d，a，a＋d，则
由a－d＋a＋a＋d＝12，知a＝4.
又由(4－d)·4·(4＋d)＝48知d2＝4.
∵{an}为递增数列，∴d＝2.
故选B.
答案：B
4．解析：根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，所以a3＋a99＝2a51＝0，故选C.
答案：C
5．解析：由题意可得中间的那份为20个面包，
设最小的一份为a1，公差为d，
由题意可得[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝，故选D.
答案：D
6．解析：等差数列{an}和{bn}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λan＋1－λan＝λ(an＋1－an)＝λd为常数，知数列{λan}是等差数列；对于B，由an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝2d为常数，知数列{an＋bn}是等差数列；对于C，由＝(an＋1－an)(an＋1＋an)－(bn＋1－bn)(bn＋1＋bn)＝d[2a1＋(2n－1)d]－d[2b1＋(2n－1)d]＝2d(a1－b1)为常数，知数列}是等差数列；对于D，由an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d)(bn＋d)－anbn＝d2＋d(an＋bn)不为常数，知数列{anbn}不是等差数列．
答案：ABC
7．解析：设等差数列{an}的公差为d，
由题意知a4＝5，a5＝7，∴d＝2，∴an＝2n－3.
答案：2n－3
8．解析：设十人得金按等级依次设为a1，a2，…，a10，
则a1，a2，…，a10成等差数列，
且设等差数列a1，a2，…，a10的公差为d，
则
解得d＝－，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋9d＝.
答案：
9．解析：(1)由于 (1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1＝1，a3＝5，
由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝5，
解得d＝2，于是an＝2n－1.
(2)图象是直线y＝2x－1上在第一象限内一些离散的点，如图所示．
(3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列．
10．解析：由已知可设此三数分别为a－2，a，a＋2，由已知可得方程3a＝a(a2－4)，解得a＝0或a＝±.∴三个数分别为－2，0，2或＋2或－＋2.
11．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.所以二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
故选D.
答案：D
12．解析：解法一　∵2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，∴3b＝15，b＝5.
设等差数列a，b，c的公差为d，
则a＝5－d，c＝5＋d.
∵2lg (b－1)＝lg (a＋1)＋lg (c－1)．
∴2lg 4＝lg (6－d)＋lg (4＋d)．
∴16＝(6－d)(4＋d)，
∴d2－2d－8＝0，
∴d1＝4或d2＝－2，
∴a，b，c三个数分别为1，5，9或7，5，3.
经验算，上述两组都符合题意．
解法二　由题意，
由①②两式，解得b＝5，将c＝10－a代入③，整理得a2－8a＋7＝0.
解得a＝1或a＝7.
故a＝1，b＝5，c＝9或a＝7，b＝5，c＝3.
经验算，上述两组数都符合题意．
答案：AD
13．解析：∵3an＋1＝3an－2(n∈N*)
∴an＋1－an＝－(n∈N*)
∴数列{an}是递减等差数列．
又∵a1＝15，
∴an＝15－(n－1)＝－.
令an＝0，即－＝0，
解得n＝＝23.5，
∴a23·a24<0，故k的值为23.
答案：23
14．解析：由题设可得＋1＝0，
即＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
15．解析：设在相同的时间内，
从低到高每档产品的产量分别为
a1，a2，…，a10，
利润分别为b1，b2，…，b10，
则{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝60，d1＝－3，b1＝8，d2＝2，
所以an＝60－3(n－1)＝－3n＋63，
bn＝8＋2(n－1)＝2n＋6，
所以利润f(n)＝anbn
＝(－3n＋63)(2n＋6)
＝－6n2＋108n＋378
＝－6(n－9)2＋864.
显然，当n＝9时，f(n)max＝f(9)＝864.
所以在相同的时间内生产第9档次的产品可以获得最大利润．
16．解析：(1)因为数列{an}为等差数列，所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.
又a3·a4＝117，所以得
解得或
又公差d>0，所以a3所以解得所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3.
(2)存在非零实数c，使数列{bn}为等差数列．
若bn＝为等差数列，则必有2b2＝b1＋b3，
又b1＝，其中c≠0，
所以，
所以2c2＋c＝0，所以c＝－或c＝0(舍去)．
将c＝－代入bn＝，得bn＝2n，此时{bn}为等差数列，即存在非零实数c＝－，使数列{bn}为等差数列．等差数列的概念及其通项公式(一)
[练基础]
1．(多选题)下列命题中正确的是(　　)
A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)
D．数列{2n＋1}是等差数列
2．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列的首项与公差分别是(　　)
A．－1，4 B．－1，－4
C．4，1 D．－4，－1
3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列是(　　)
A．公差为2的等差数列
B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列
D．公差为n的等差数列
4．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝17，则a14等于(　　)
A．45 B．41
C．39 D．37
5．已知数列3，9，15，…，3(2n－1)，…那么81是它的第几项(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
6．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，如果在每相邻两项间各插入一个数，使之成为新的等差数列，那么新的等差数列的公差是(　　)
A． B．－
C．－ D．－1
7．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________．
8．由a1＝1，d＝2确定的等差数列{an}中，当an＝59时，n等于________．
9．在等差数列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？
10．数列{an}的通项公式是an＝5n＋4.
(1)判断数列{an}是否是等差数列？
(2)判断104、110是否是数列{an}中的项，如果是，是第几项？
[提能力]
11．若等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　)
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
12．(多选题)已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d可能是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
13.已知{an}是公差为d的等差数列，若3a6＝a3＋a4＋a5＋12，则d＝________．
14．若a，x1，x2，x3，b与a，y1，y2，y3，y4，y5，b均为等差数列，则＝________．
15．已知等差数列{an}：3，7，11，15，….
(1)135，4m＋19(m∈N＋)是{an}中的项吗？试说明理由．
(2)若ap，aq(p，q∈N＋)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．
[培优生]
16．已知等差数列{an}中，a2＝4，a6＝16.
(1)证明：数列是公差为－2的等差数列；
(2)若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，求新数列的第41项．
等差数列的概念及其通项公式(一)
1．解析：A中的公差为－2，A错误；B、C、D均正确．
答案：BCD
2．解析：n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.
故选B.
答案：B
3．解析：因为an＝2n＋5，
所以an＋1＝2(n＋1)＋5＝2n＋7，
故an＋1－an＝(2n＋7)－(2n＋5)＝2，
故数列{an}是公差为2的等差数列．
故选A.
答案：A
4．解析：设公差为d，则d＝＝3，∴a1＝a2－d＝2，＝a1＋13d＝2＋13×3＝41.故选B.
答案：B
5．解析：an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.
故选C.
答案：C
6．解析：设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，则a5＝a1＋8d，所以d＝.故选B.
答案：B
7．解析：设{an}的公差为d，
由题意知
即解得
所以a5＝a1＋4d＝47－32＝15.
答案：15
8．解析：由a1＝1，d＝2确定的等差数列{an}中，an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
所以当an＝59时，2n－1＝59，解得n＝30.
答案：30
9．解析：由题意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.
令450解得85.510．解析：(1)∵an＝5n＋4，则an＋1＝5＋4＝5n＋9，
∴an＋1－an＝＝5，
所以，数列是等差数列；
(2)104是数列{an}中的项，110不是该数列的项．
令an＝104，即5n＋4＝104，解得n＝20；
令an＝110，即5n＋4＝110，解得n＝.
所以，104是该数列的第20项，110不是该数列中的项．
11．解析：an＝a1＋(n－1)d＝70＋(n－1)×(－9)＝79－9n，
∴a8＝7，a9＝－2，a10＝－11，故绝对值最小的一项为a9.
故选B.
答案：B
12．解析：由题可设an＝3＋(n－1)d，2 019是该数列的一项，即2 019＝3＋(n－1)d.
∴n＝＋1.
∵d∈N*，所以d是2 016的约数，选项当中2，3，4均为2 016的约数，只有5不是2 016的约数．
故选ABC.
答案：ABC
13．解析：∵3a6＝a3＋a4＋a5＋12＝3a4＋12，
∴a6－a4＝4，即2d＝4，∴d＝2.
答案：2
14．解析：设两等差数列的公差分别为d1，d2，
则有b－a＝4d1＝6d2，∴d1＝d2.
∴.
答案：
15．解析：a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.
(1)135，4m＋19(m∈N＋)是{an}中的项．
令an＝4n－1＝135，∴n＝34，
∴135是数列{an}中的第34项．
令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5(m∈N＋)．
∴4m＋19是{an}中的第m＋5项．
(2)2ap＋3aq是数列{an}中的项．
∵ap，aq是{an}中的项，∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.
∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)
＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1(p，q∈N＋)，
∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项．
16．解析：(1)证明：设数列{an}的公差为d，
因为a2＝4，a6＝16，
所以4d＝a6－a2＝12，得d＝3，
所以an＝a2＋(n－2)d＝3n－2，
设bn＝an－3n，则bn＝－2n－，
所以bn＋1－bn＝－2，
即数列是公差为－2的等差数列．
(2)由(1)得a1＝4－3＝1，设新数列为{cn}，其公差为d1，则c1＝1，c5＝4，
所以4d1＝3，得d1＝，
所以c41＝1＋(41－1)×＝31.

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