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课时作业(五)　等差数列的前n项和(一)
[练基础]
1．若等差数列{an}的前3项和S3＝9且a1＝1，则a2等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　)
A．1 B．
C．2 D．3
3．等差数列{an}中，a9＝3，那么它的前17项的和S17＝(　　)
A．51 B．34
C．102 D．不能确定
4．已知等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，则前n项和Sn取最小值时n等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．5或6
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．
6．(多选题)已知Sn是等差数列的前n项和，且S6>S7>S5，则下列命题中正确的是(　　)
A．d<0
B．S11>0
C．S12<0
D．数列{Sn}中的最大项为S11
7．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________．
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则公差d＝________；S6＝________．
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
10．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S2＝8，S3＝9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最大值．
[提能力]
11．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　)
A．38 B．20
C．10 D．9
12．(多选题)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6＝S9，则(　　)
A．d>0
B．a8＝0
C．S7或S8为Sn的最大值
D．S5>S6
13.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
14．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围是________．
15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，bn＝an－30.
(1)求通项an；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
[培优生]
16．设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.
(1)若a11＝0，S14＝98，求数列{an}的通项公式；
(2)若a1≥6，a11>0，S14≤77，求所有可能的数列{an}的通项公式．
课时作业(五)　等差数列的前n项和(一)
1．解析：设公差为d，S3＝3a1＋d＝9，解得d＝2，则a2＝a1＋d＝3.
故选A.
答案：A
2．解析：由解得d＝2.
故选C.
答案：C
3．解析：由题可知数列{an}为等差数列，则由等差数列的性质可得2a9＝a1＋a17，故S17＝＝17a9＝51.
故选A.
答案：A
4．解析：由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10，令an＝－10＋(n－1)×2≤0，得n≤6，所以S5＝S6均为最小值，故选D.
答案：D
5．解析：＝1.
故选A.
答案：A
6．解析：∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确；S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确；S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确．故选AB.
答案：AB
7．解析：设等差数列{an}的公差为d，
则a2＝－2＋d，a6＝－2＋5d，
因为a2＋a6＝2，
所以－2＋d＋(－2＋5d)＝2，
解得d＝1，
所以S10＝10×(－2)＋×1＝－20＋45＝25.
答案：25
8．解析：由等差数列前n项和性质可得
∴d＝
∴
∴S6＝24.
答案：　24
9．解析：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，
得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．解析：(1)由等差数列{an}的前n项和S3＝9，得a2＝3，
又∵S2＝8，即a1＋a2＝8，∴a1＝5，
∴d＝a2－a1＝－2.
∴an＝5－2(n－1)＝7－2n.
(2)由(1)知an＝7－2n，a1＝5，d＝－2，
故Sn＝＝n(6－n)＝6n－n2.
∴当n＝3时，Sn取得最大值9.
11．解析：因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，则由am－1＋am＋1－＝0可得2am－＝0，解得am＝0或am＝2.因为S2m－1＝×(2m－1)＝(2m－1)am＝38，所以am≠0，故am＝2.代入可得，2(2m－1)＝38，解得m＝10.故选C.
答案：C
12．解析：因为Sn＝na1＋d，
所以Sn＝n，
则Sn是关于n(n∈N，n≠0)的一个二次函数，
又a1>0且S6＝S9，
对称轴n＝，开口向下，则d<0，故A错误，
又n为正整数，
所以Sn在[1，7]上单调递增，在[8，＋∞)上单调递减，
所以S5所以最靠近的整数n＝7或n＝8时，Sn最大，故C正确，
所以S7＝S8，∴a8＝0，故B正确，故选BC.
答案：BC
13．解析：设bn＝2n－1，cn＝3n－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，得n＝
＋1，于是m－1＝2k，k∈N，所以m＝2k＋1，k∈N，则ak＝3(2k＋1)－2＝6k＋1，k∈N，得an＝6n－5，n∈N*.故Sn＝×n＝3n2－2n.
答案：3n2－2n
14．解析：由当且仅当n＝8时，Sn有最大值，
可得即
解得－1答案：
15．解析：(1)由a3＝10，S6＝72，得
所以an＝4n－2.
(2)由(1)得bn＝an－30＝2n－31.
由得，
因为n∈N*，所以n＝15.所以{bn}的前15项为负值，所以T15最小，可知b1＝－29，d＝2，所以T15＝－225.
16．解析：(1)由S14＝98，得2a1＋13d＝14.
又a11＝a1＋10d＝0，故解得d＝－2，a1＝20.
因此，{an}的通项公式是an＝22－2n(n∈N*)．
(2)由 得
由①＋②，得－7d<11，即d>－.
由①＋③，得13d≤－1，即d≤－.
于是－又d∈Z，故d＝－1.④
将④代入①②得10又a1∈Z，故a1＝11或a1＝12.
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an＝12－n和an＝13－n(n∈N*)．课时作业(六)　等差数列的前n项和(二)
[练基础]
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a1＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a5的值等于(　　)
A． B．－
C． D．－
3．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，那么它的通项公式是(　　)
A．an＝2n－1 B．an＝2n＋1
C．an＝4n－1 D．an＝4n＋1
4．现在200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　)
A．9 B．10
C．19 D．29
5．为了参加学校的长跑比赛，高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10 800米，则这15天小李同学总共跑的路程为(　　)
A．34 000米 B．36 000米
C．38 000米 D．40 000米
6．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”．题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　)
A．174斤 B．184斤
C．180斤 D．181斤
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，则a5＝________，an＝________．
8．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元．
9．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝an(an＋2)，求数列{an}的通项公式．
10．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位．
(1)求第六排的座位数；
(2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？
(提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多)
[提能力]
11．无穷数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn＋c，其中a，b，c为实数，则(　　)
A．{an}可能为等差数列
B．{an}可能为等比数列
C．{an}中一定存在连续三项构成等差数列
D．{an}中一定存在连续三项构成等比数列
12．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为(　　)
A．71 B．72
C．89 D．90
13.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，则an＝____________________．
14．植树节某班41名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在第n(n＝1，2，…，41)个树坑旁边，则将树苗集中放置在第________个树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小．
15．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝，且an＞0.
(1)求a1，a2；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝20－an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
[培优生]
16．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
课时作业(六)　等差数列的前n项和(二)
1．解析：当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2.
故选C.
答案：C
2．解析：a5＝S5－S4＝.
故选B.
答案：B
3．解析：因为Sn＝2n2＋n，所以a1＝2×12＋1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，
把n＝1代入上式可得a1＝3，即也符合，故通项公式为an＝4n－1.
故选C.
答案：C
4．解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．故选B.
答案：B
5．解析：根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，
则a1＋a2＋a3＝3a2＝3 600，故a2＝1 200，a13＋a14＋a15＝3a14＝10 800，故a14＝3 600，
则Sn＝×15＝36 000.
故选B.
答案：B
6．解析：设第8个儿子分到的绵是a1，第9－n个儿子分到的绵是an，则构成以a1为首项，－16为公差的等差数列
S8＝8a1＋＝992
解得a1＝180
故选C.
答案：C
7．解析：因为Sn＝3＋2n，
所以a5＝S5－S4＝3＋25－(3＋24)＝16.
a1＝S1＝5，n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(3＋2n)－(3＋2n-1)＝2n-1，
当n＝1时，上式不成立，
所以an＝
答案：16　
8．解析：由题意知，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．
设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，
则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，
S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)．
答案：300
9．解析：∵4Sn＝an(an＋2)，∴当n＝1时，4a1＝a1(a1＋2)
解得a1＝2或a1＝0(舍去)；
当n≥2时，4an＝4Sn－4Sn-1
＝an(an＋2)－an-1(an-1＋2)
＝－2an-1
∴-2an-1＝0
∴(an＋an-1)(an-an-1-2)＝0
又an＋an-1≠0
∴an-an-1-2＝0，即an-an-1＝2.
∴数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴an＝2n.
10．解析：(1)依题意得每排的座位数会构成等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝2，
所以第六排的座位数a6＝a1＋d＝19.
(2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，
第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列，
首项b1＝5，公差d′＝1，所以数列前10项和S10＝10b1＋×d′＝95.
故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议．
11．解析：当n＝1时，a1＝S1＝a＋b＋c.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an2＋bn＋c－a－c＝2an－a＋b.
当n＝1时，上式＝a＋b.
所以若是等差数列，则a＋b＝a＋b＋c∴c＝0.
所以当c＝0时，是等差数列， 时是等比数列；当c≠0时，从第二项开始是等差数列．
故选ABC.
答案：ABC
12．解析：设这些老人的年龄形成数列，设最年长者的年龄为a1，
则由题可知数列是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，
则S19＝19a1＋＝1 520，解得a1＝89.
故选C.
答案：C
13．解析：当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n.
此时，当n＝1时，2n＝2≠3.
所以an＝
答案：
14．解析：设每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和为f(n)，
则f(n)＝10(1＋2＋3＋…＋n－1)＋10(1＋2＋3＋…＋41－n)，所以f(n)＝20×＝20[(n－21)2＋420]，所以当n＝21时，f(n)取得最小值．
答案：21
15．解析：(1)∵S1＝(a1＋1)2＝a1，∴a1＝1.
∵S2＝(a2＋1)2＝a1＋a2，∴a2＝3(a2＝－1舍去)．
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[(an＋1)2－(an－1＋1)2]＝＋(an－an－1)，
由此得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2.
∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(3)∵bn＝20－an＝21－2n，∴bn－bn－1＝－2，b1＝19.
∴{bn}是以19为首项，－2为公差的等差数列．
∴Tn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n.
故当n＝10时，Tn取最大值，最大值为100.
16．解析：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3，
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知当n＝1时，a1＝1.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－1
整理得an＝an－1，
于是a2＝an－2，
an＝an－1，
将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，
整理得an＝.
当n＝1时，也满足上式．
综上可知，{an}的通项公式为an＝.

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