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?课时作业(七)　等比数列的概念及其通项公式(一)
[练基础]
1．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a满足的条件是(　　)
A．a≠1 B．a≠0或a≠1
C．a≠0 D．a≠0且a≠1
2．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3．是等比数列4，…的(　　)
A．第10项 B．第11项
C．第12项 D．第13项
4．已知数列{an}是等比数列，且a1＋a3＝－3，a2a4＝4，则公比q的值是(　　)
A． B．－2
C．± D．±2
5．已知等比数列{an}中，a3＝1，a5＝2，则首项a1＝(　　)
A． B．
C． D．0
6．(多选题)已知数列{an}是公比为q的等比数列，bn＝an＋4，若数列{bn}有连续4项在集合{－50，－20，22，40，85}中，则公比q的值可以是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
7．在等比数列{an}中，各项均为正数，且a1＝1，a1＋a2＋a3＝7，则数列{an}的通项公式an＝____________．
8．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________．
9．已知等比数列{an}中，a1＝，a7＝27，求an.
10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[提能力]
11．已知等比数列{an}的首项为1，且a6＋a4＝2(a3＋a1)，则a1a2a3…a7＝(　　)
A．16 B．64
C．128 D．256
12．(多选题)已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A．若a1＝1，a3＝4，则a5＝16
B．若a1＋a3>0，则a2＋a4>0
C．若a2>a1，则a3>a2
D．若a2>a1>0，则a1＋a3>2a2
13.在数列{an}中，a2＝，且数列{nan＋1}是等比数列，则an＝________．
14．若数列{an}的前n项和Sn＝，则{an}的通项公式是________．
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；
(2)设bn＝an＋1＋2an，求证：数列{bn}是等比数列．
[培优生]
16．已知关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N＋)的两根α，β满足6α－2αβ＋6β＝3，且a1＝1.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：数列为等比数列；
(3)求数列{an}的通项公式．
课时作业(七)　等比数列的概念及其通项公式(一)
1．解析：由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.
故选D.
答案：D
2．解析：因为，所以，所以n＝4.
故选B.
答案：B
3．解析：由题意知a1＝4，
∴an＝4，
令an＝4，
解得：n＝11.
故选B.
答案：B
4．解析：∵a1＋a3＝a1＋a1q2＝－3，
∴(1＋q2)2＝9，a2·a4＝·q4＝4.
∴.
∴5q4－8q2－4＝0.
∴q2＝2.∴q＝±.
故选C.
答案：C
5．解析：设等比数列的公比为q，则，解得q2＝2，
所以a1＝.
故选B.
答案：B
6．解析：∵bn＝an＋4
∴an＝bn－4
∵数列有连续四项在集合{－50，－20，22，40，85}中
∴数列有连续四项在集合{－54，－24，18，36，中
又∵数列是公比为q的等比数列，
∴在集合{－54，－24，18，36，中，数列的连续四项只能是：－24，36，－54，81或81，－54，36，－24.
∴q＝或q＝.
故选BD.
答案：BD
7．解析：设公比为q，则1＋q＋q2＝7，
解得q＝2或q＝－3(舍去)，所以an＝2n-1.
答案：2n-1
8．解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又因为{an}单调递增，得q>1，所以q＝2.
答案：2
9．解析：由a7＝a1q6，得27＝·q6，
所以q6＝272＝36，
所以q＝±3.
当q＝3时，an＝a1qn-1＝×3n-1＝3n-4；
当q＝－3时，an＝a1qn-1＝×(－3)n-1＝－(－3)-3·(－3)n-1＝－(－3)n-4.
故an＝3n-4或an＝－(－3)n-4.
10．解析：(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.
又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4.
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列.
(2)解：由(1)可知an－n＝4n-1,
于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n.
11．解析：设等比数列{an}的公比为q，
因为a6＋a4＝2(a3＋a1)，
所以q5＋q3＝2(q2＋1)，解得q3＝2.
则a1a2a3…a7＝q0+1+…+6＝q21＝27＝128.
故选C.
答案：C
12．解析：对于A，若a1＝1，a3＝4，则q2＝＝4，a5＝a3q2＝16，故A正确；对于B，取a1＝1，q＝－2，可得a2＋a4＝－2－8＝－10<0，故B错误；对于C，取a1＝－1，q＝－2，可得a3＝－4，a2＝2，故C错误；对于D，若a2>a1>0，则q>1，可得a1＋a3＝a1＋a1q2＝a1(1＋q2)，2a2＝2a1q，a1＋a3－2a2＝a1(1＋q2－2q)＝a1(q－1)2>0，则a1＋a3>2a2，故D正确．
故选AD.
答案：AD
13．解析：因为数列{an}中，a2＝，
且数列{nan＋1}是等比数列，
2a2＋1＝3＋1＝4，3a3＋1＝7＋1＝8，
所以数列{nan＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以nan＋1＝2n，解得an＝.
答案：
14．解析：当n＝1时，由Sn＝，得a1＝，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝，则an＝Sn－Sn－1＝an－1，即an＝，故数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，从而{an}的通项公式是an＝(－2)n-1.
答案：an＝(－2)n-1
15．解析：(1)证明：因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1，
Sn＋1－Sn＝an＋1＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)
＝2an＋1－2an，
所以an＋1＝2an①，
由已知及①式可知an≠0.
所以由＝2，知{an}是等比数列．
由a1＝S1＝2a1＋1，
得a1＝－1，所以an＝－2n-1.
(2)证明：由第一问知，an＝－2n-1，
所以bn＝an＋1＋2an＝－2n－2×2n-1＝－2×2n＝－2n+1＝－4×2n-1.
所以数列{bn}是－4为首项，2为公比的等比数列．
16．解析：(1)因为α，β是方程anx2－an＋1x＋1＝0(n∈N＋)的两根，
所以
又因为6α－2αβ＋6β＝3，所以6an＋1－3an－2＝0.
所以an＋1＝.
(2)证明：因为an＋1＝ an＋1－ 为常数，且a1－，
所以为以为首项，为公比的等比数列．
(3)令bn＝an－，则{bn}为等比数列，公比为，首项b1＝a1－，
所以bn＝.
所以an＝bn＋.
所以数列{an}的通项公式为an＝.课时作业(八)　等比数列的概念及其通项公式(二)
[练基础]
1．在等比数列{an}中，a4＝6，则a2a6的值为(　　)
A．4 B．8
C．36 D．32
2．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为(　　)
A． B．
C． D．
3．等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
4．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m等于(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
5．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低，现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降低为(　　)
A．300元 B．900元
C．2 400元 D．3 600元
6．(多选题)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a5成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
7．已知数列{an}是等比数列，an>0，a5＝，且a2a8a11＝8，则数列{an}的公比q＝________．
8．已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．
9．在等比数列{an}中，a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．
10．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1b2b3＝－3，求此等比数列的通项公式．
[提能力]
11．(多选题)已知数列{an}是正项等比数列，且，则a5的值可能是(　　)
A．2 B．4
C． D．
12．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则等于(　　)
A． B．或
C． D．以上都不对
13.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．
14．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，则＝________．
15．从盛满a L(a>1)纯酒精的容器中倒出1 L纯酒精，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去……第n次操作后酒精的浓度是多少？若a＝2，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%
[培优生]
16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求数列{an}的通项公式．
课时作业(八)　等比数列的概念及其通项公式(二)
1．解析：因为{an}是等比数列，所以a2a6＝＝36.
故选C.
答案：C
2．解析：设这个数为x，
则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，
解得x＝25，
所以这三个数为45，75，125，公比q为.
故选A.
答案：A
3．解析：a3a6＝a4a5＝a2a7＝4×，所以a3a6＋a4a5＝.
故选C.
答案：C
4．解析：在等比数列{an}中，∵a1＝1，
∴am＝a1a2a3a4a5＝q10＝q10.
∵am＝a1qm-1＝qm-1，∴m－1＝10，∴m＝11.
故选C.
答案：C
5．解析：降低后的价格构成以为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×＝2 400 (元)．
故选C.
答案：C
6．解析：设的公比是q，则an＝a1qn-1，
A．，a1，a3，a5成等比数列，正确；B.＝q3，在q≠1时，两者不相等，错误；C.＝q4，在q2≠1时，两者不相等，错误；D.，a3，a6，a9成等比数列，正确．
故选AD.
答案：AD
7．解析：数列是等比数列，则a2a8a11＝＝8，所以a7＝2，
而an>0，a5＝，所以公比q＝2.
答案：2
8．解析：设一月份产值为1，此年的月平均增长率为x.
则(1＋x)11＝m，解得x＝－1.
答案：－1
9．解析：在等比数列{an}中，由a3a4a5＝＝8，得a4＝2，又因为a2a6＝a3a5＝，所以a2a3a4a5a6＝＝25＝32.
10．解析：由b1＋b2＋b3＝3，得log2(a1a2a3)＝3，
∴a1a2a3＝23＝8.∵＝a1a3，
∴a2＝2.
设等比数列{an}的公比为q.
∵b1b2b3＝－3，
∴log2log22log2(2q)＝－3，即(1－log2q)·1·(1＋log2q)＝－3.
解得log2q＝2或log2q＝－2.
∴q＝4或q＝.
∴所求等比数列{an}的通项公式为an＝22n-3或an＝25-2n.
11．解析：依题意，数列是正项等比数列，∴a3>0，a7>0，a5>0，
∴，因为a5>0，
所以上式可化为a5≥2，当且仅当a3＝时等号成立．
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则其另一根为4，∴m＝4＋，
对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x1＜x2)，则x1x2＝2，
∴等比数列为，x1，x2，4，∴q3＝＝8，∴q＝2，
∴x1＝1，x2＝2，
∴n＝x1＋x2＝1＋2＝3，∴.
若设是x2－nx＋2＝0的根，同理得n＝，m＝3，则.
故选B.
答案：B
13．解析：方法一　设这个等比数列为{an}，其公比为q.
∵a1＝·q4，∴q4＝，
∴q2＝.
∴a2a3a4＝a1q·a1q2·a1q3＝＝63＝216.
方法二　设这个等比数列为{an}，公比为q，
则a1＝，加入的三项分别为a2，a3，a4.
∵由题意可知a1，a3，a5也成等比数列，且a3与a1，a5同号，∴＝36，故a3＝6.
∴a2a3a4＝＝216.
答案：216
14．解析：因为，又因为a8a9＝，所以.
答案：－
15．解析：第一次取出纯酒精1 L，
加水后，浓度为，记为a1＝1－；
第二次取出纯酒精·1 L，
再加水后，浓度为，
记为a2＝；……
依次类推，第n次取出纯酒精·1 L，
再加水后，浓度为，
记为an＝.
当a＝2时，由an＝<10%，得n≥4.
即至少倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.
16．解析：an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，
所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]＝＝3an－1，所以an＋1－，
所以数列是一个以为首项，以3为公比的等比数列，所以an－×3n-1，所以an＝.

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