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课时作业 (九)　等比数列的前n项和(一)
[练基础]
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　)
A．63 B．64
C．127 D．128
2．在公比为正数的等比数列{an}中，a1＋a2＝2，a3＋a4＝8，则S8等于(　　)
A．21 B．42
C．135 D．170
3．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且S3＝2a3－2，则公比q＝(　　)
A． B．2
C．3 D．
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A． B．－
C． D．
5．(多选题)数列{an}对任意的正整数n均有＝anan＋2，若a2＝2，a4＝8，则S10的可能值为(　　)
A．1 023 B．341
C．1 024 D．342
6．某养猪场2021年年初猪的存栏数1 200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，….则2035年年底存栏头数为(　　)
(参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4)
A．1 005 B．1 080
C．1 090 D．1 105
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则q＝________．
8．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
9．在等比数列{an}中，a1a2a3＝27，a2＋a4＝30.
(1)求a1和公比q；
(2)求前6项的和S6.
10．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
[提能力]
11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列一定成立的是(　　)
A．若a3>0，则a2 021<0
B．若a4>0，则a2 020<0
C．若a3>0，则S2 021>0
D．若a4>0，则S2 020>0
12．(多选题)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是(　　)
A．此人第三天走了四十八里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
13.在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项和S15＝________．
14．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2＋a4＋…＋a2n.
[培优生]
16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，求所需的时间约为多少天？
(结果保留一位小数，参考数据：lg 2≈0.30, lg 3≈0.48)
课时作业(九)　等比数列的前n项和(一)
1．解析：设公比为q(q>0)，则1·q4＝16，解得q＝2(q＝－2舍去)．于是S7＝＝127.
故选C.
答案：C
2．解析：q2＝＝4，又q>0，∴q＝2.
∴a1(1＋q)＝a1(1＋2)＝2，∴a1＝.
∴S8＝＝170.
故选D.
答案：D
3．解析：由S3＝2a3－2得a3－a2－a1－2＝0，
又∵a1＝2，∴q2－q－2＝0，
即(q－2)(q＋1)＝0，
∴q＝2或q＝－1(舍去)．
故选B.
答案：B
4．解析：法一　由等比数列前n项和的性质知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，又a7＋a8＋a9＝S9－S6，则S3，S6－S3，a7＋a8＋a9成等比数列，从而a7＋a8＋a9＝.
法二　因为S6＝S3＋S3q3，所以q3＝，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝S3q6＝8× .
故选A.
答案：A
5．解析：因为数列对任意的正整数n均有＝anan＋2，所以数列为等比数列，因为a2＝2，a4＝8，所以q2＝＝4，所以q＝±2，
当q＝2时a1＝1，所以S10＝＝1 023，
当q＝－2时a1＝－1，所以S10＝＝341.
故选AB.
答案：AB
6．解析：由题意得：
a1＝1 200，
a2＝1 200×1.08－100，
a3＝1 200×1.082－100×1.08－100，
a4＝1 200×1.083－100×1.082－100×1.08－100，
a5＝1 200×1.084－100×1.083－100×1.082－100×1.08－100，
…
∴2035年年底存栏头数为：
a16＝1 200×1.0815－100(1.0814＋1.0813＋1.0812＋…＋1.08＋1)
≈1 200×3.2－100×＝1 090.
故选C.
答案：C
7．解析：∵S10＝S5＋(S10－S5)＝S5(1＋q5)，
∴.∴q5＝－，∴q＝－.
答案：－
8．解析：根据题意得
∴∴q＝＝2.
答案：2
9．解析：(1)在等比数列{an}中，
由已知可得
解得或
(2)因为Sn＝，所以当时，
S6＝＝364.
当时，S6＝＝182.
10．解析：由题设知a1≠0，Sn＝，则
由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0.
∴(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0.
因为q<1，解得q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，代入①得a1＝2，an＝2×(－1)n-1；
当q＝－2时，代入①得a1＝×(－2)n-1.
综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n-1；
当q＝－2时，an＝×(－2)n-1.
11．解析：若a3>0，则a3＝a1q2>0，因此a1>0，当公比q>0时，任意n∈N＋，an>0，故有S2 021>0，当公比q<0时，q2 021<0，则S2 021＝>0.
故选C.
答案：C
12．解析：根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．
所以S6＝＝378，解得a1＝192.
a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正确．
由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正确．
a2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5<96，所以C不正确．
a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，则后3天走的路程为378－336＝42
而且42×8＝336，所以D正确．
故选ABD.
答案：ABD
13．解析：设数列{an}的公比为q，则由已知得q3＝－2.
又因为a1＋a2＋a3＝(1－q3)＝1，
所以，所以S15＝(1－q15)＝[1－(q3)5]＝×[1－(－2)5]＝11.
答案：11
14．解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1.
当n＝1时，a1＝1符合上式，∴an＝2n－1(n∈N＋)．
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n+1－n－2.
答案：2n+1－n－2
15．解析：由条件知S1＝a1＝1.
(1)①当c＝1时，an＝ an＝
②当c≠1时，an＝
(2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；
②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝.
16．解析：设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{an}，其a1＝3，公比为，其前n项和为An.莞(植物名)的长度组成等比数列{bn}，其b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn.
则An＝，
令An＝Bn，
化为：2n＋＝7，
解得2n＝6或2n＝1(舍去)．
即：n＝≈2.6.
故所需的时间约为2.6天．课时作业(十)　等比数列的前n项和(二)
[练基础]
1．在等比数列{an}中，其前n项和Sn＝5n+1＋a，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．5 D．－5
2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　)
A．9 B．3
C．－3 D．－9
3．已知数列{an}，{bn}分别为等差数列、等比数列，若a3＋a5＝4，b3b4b5＝－8，则a4＋b4＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)
A．7 B．8
C．15 D．16
5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b3＋b11＝(　　)
A．3 B．6
C．7 D．8
6．(多选题)已知等比数列{an}的公比为q，前4项的和为a1＋14，且a2，a3＋1，a4成等差数列，则q的值可能为(　　)
A． B．1
C．2 D．3
7．两个数的等差中项是20，等比中项是12，则这两个数是________．
8．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．
10．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
[提能力]
11．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S6＝90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是(　　)
A．d＝－2
B．a1＝－20
C．当且仅当n＝10时，Sn取最大值
D．当Sn<0时，n的最小值为22
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，记Sn的最大值为S，an＝9－2n，正项等比数列{bn}的公比为q，满足q4＝S，且b1＝a4，则使anA．6 B．5
C．4 D．3
13.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{an}的公比为__________．
14．已知等差数列{an}中，若a8＝0，则有结论a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a2＋a3＋…＋a15－n(n<15)，类比在等比数列{an}中，若b8＝1，则有结论：________．
15．已知{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，a1＝b2＝1，再从①a2＋a4＝10；②b2b4＝4；③b4＝a5这三个条件中选择________，________两个作为已知．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
[培优生]
16．设数列{an}(n＝1，2，3…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值．
课时作业(十) 　等比数列的前n项和(二)
1．解析：Sn＝5n+1＋a＝5×5n＋a，由等比数列的前n项和Sn＝·qn可知其常数项与qn的系数互为相反数，所以a＝－5.
故选D.
答案：D
2．解析：因为a1，a3，a4成等比数列，所以a1(a1＋3d)＝(a1＋2d)2，所以a1d＋4d2＝0，又因为d＝3，所以a1＝－12，则a2＝a1＋d＝－9，
故选D.
答案：D
3．解析：因为数列分别为等差数列、等比数列，
所以a3＋a5＝2a4＝4，b3b4b5＝＝－8，
所以a4＝2，b4＝－2，
则a4＋b4＝0.
故选B.
答案：B
4．解析：设{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，因为a1＝1，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2，所以S4＝＝15.
故选C.
答案：C
5．解析：因为为等比数列，且a3a11＝4a7，
∴＝4a7≠0，解得a7＝4，
∵数列是等差数列，
则b3＋b11＝2b7＝2a7＝8，
故选D.
答案：D
6．解析：因为a2，a3＋1，a4成等差数列，所以a2＋a4＝2(a3＋1)，
因此，a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋3a3＋2＝a1＋14，故a3＝4.
又因为是公比为q的等比数列，所以由a2＋a4＝2(a3＋1)，
得a3＝2(a3＋1)，即q＋，解得q＝2或.
故选AC.
答案：AC
7．解析：设这两个数为a，b，
因为两个数的等差中项是20，等比中项是12，
所以 或，
即这两个数为4，36.
答案：4，36
8．解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
S2n＝，
S奇＝.
由题意得.
∴1＋q＝3，∴q＝2.
答案：2
9．解析：(1)设{an}的公比为q.由题设可得
解得q＝－2，a1＝－2.
故{an}的通项公式为an＝(－2)n.
(2)由(1)可得Sn＝＋(－1)n.
由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n·＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
10．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10.
解得d＝2.所以an＝2n－1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9.
解得q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n-2＝3n-1.
从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n-1＝.
11．解析：等差数列的前n项和为Sn，公差d≠0，由S6＝90，可得6a1＋15d＝90，即2a1＋5d＝30，①
由a7是a3与a9的等比中项，得＝a3a9，即，化为a1＋10d＝0，②
由①②解得a1＝20，d＝－2，则an＝20－2(n－1)＝22－2n，Sn＝n(20＋22－2n)＝21n－n2，
由Sn＝－，可得n＝10或11时，Sn取得最大值110；
由Sn＝21n－n2<0，解得n>21，则当Sn<0时，n的最小值为22.
故选AD.
答案：AD
12．解析：由题可设等差数列的公差为d，
∵an＝9－2n，
∴a1＝7，d＝－2，
Sn＝－n2＋8n；
当n＝4时，Sn有最大值S＝16，
∴q4＝16，q＝±2，
∵bn>0，b1＝a4＝1，
∴q＝2，bn＝2n-1，
要使an即9－2n<2n-1，且n∈N*，
∴n≥3，
则n的最小值为3.
故选D.
答案：D
13．解析：由S1，2S2，3S3成等差数列知4S2＝S1＋3S3，
即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)，整理得3a3－a2＝0，∴，则数列{an}的公比为.
答案：
14．解析：等差数列与等比数列性质类比时，
往往是等差数列的公差类比等比数列的公比，等差数列的和类比等比数列的积，
所以结论a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a2＋a3＋…＋a15－n(n<15)，类比在等比数列中，
类比可得b1b2b3…bn＝b1b2b3…b15－n(n<15)．
答案： b1b2b3…bn＝b1b2b3…b15－n(n<15)
15．解析：选条件①②，(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝1，a2＋a4＝2a1＋4d＝10，所以d＝2，
则an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*；
(2)设等比数列{bn}的公比为q，q＞0，
所以，解得b1＝，q＝2，
设数列{bn}的前n项和为Sn，
可得Sn＝.
选条件①③，(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a1＝1，a2＋a4＝2a1＋4d＝10，所以d＝2，
则an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*；
(2)由(1)知，b4＝a5＝9，设等比数列{bn}的公比为q，q＞0，
所以，解得b1＝，q＝3，
设数列{bn}的前n项和为Sn，
可得Sn＝.
选条件②③，(1)设等比数列{bn}的公比为q，q＞0，所以
，解得b1＝×23＝4，
设等差数列{an}的公差为d，所以a5＝a1＋4d＝4，又因为a1＝1，故d＝，
所以an＝1＋(n－1)＝.
(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，
由(1)可得Sn＝.
16．解析：(1)由已知Sn＝2an－a1，
有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，
即an＝2an－1(n≥2)．
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，
即a1＋a3＝2(a2＋1)．
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，
解得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
故an＝2n.
(2)由(1)得，
所以Tn＝
＝
＝1－.
由，
得＜，
即2n＞1 000.
因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，
所以n≥10.
于是，使成立的n的最小值为10.

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